Metode Simpson Metode Runge – Kutta Orde Empat

BAB III METODE RUNGE - KUTTA

A. Metode Simpson

Prinsip dasar metode Simpson yaitu membagi interval batas integral ke dalam n subinterval. Selanjutnya untuk setiap subinterval dibuat kurva kuadratik yang menginterpolasi titik-titik di dalam subinterval tersebut. Nilai pendekatan integral diperoleh dengan menjumlahkan semua luas bidang yang dibatasi sumbu x dan kurva kuadratik tersebut pada semua subinterval. Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik tengahnya seperti telihat pada gambar berikut ini. Atau dengan kata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat. Gambar 3.1 Pembagian kurva setiap dua buah trapezium dengan pembobot berat. Bila menggunakan trapesium luas bangun di atas adalah : 1 1 1 1 2 2 2 2 + − + − + + = + + + = i i i i i i i f f f h f f h f f h L 3.1.1 Pemakaian aturan simpson dimana bobot fi sebagai titik tengah dikalikan dengan 2 untuk menghitung luas bangun diatas dapat dituliskan dengan: 1 1 1 1 4 3 2 3 2 3 + − + − + + = + + + = i i i i i i i f f f h f f h f f h L 3.1.2 perhatikan gambar berikut : Gambar 3.2 Pembagian kurva dengan metode Simpson Dengan menggunakan aturan Simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=fx dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut : n n n n f f h f f h f f h f f h f f h f f h L + + + + + + + + + + + + = − − − 1 1 2 4 3 3 2 2 1 1 2 3 2 3 _ 2 3 2 3 2 3 2 2 3.1.3 atau dapat dituliskan dengan : ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = ∑ ∑ n igenap i iganjil i f f f f h L 2 4 3 3.1.4 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Algoritma Metode Integrasi Simpson adalah : a. Definisikan y = fx b. Tentukan batas bawah a dan batas atas integrasi b c. Tentukan jumlah pembagi n d. Hitung h = b-an e. Hitung : ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = ∑ ∑ n igenap i iganjil i f f f f h L 2 4 3

B. Metode Runge – Kutta Orde Empat

Peninjauan metode perhitungan yang praktis dimulai dengan suatu kelas metode yang luas, yang dikenal dengan metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta mempunyai tiga sifat yang utama : 1. Metodenya satu langkah: untuk mencapai y n+1 hanya diperlukan keterangan yang tersedia pada titik sebelumnya yaitu x n , y n . 2. Mendekati ketelitian metode deret Taylor sampai suku dalam h p , dimana nilai p berbeda, dan p ini disebut derajat dari metode. 3. Tidak memerlukan penghitungan turunan fx, y tetapi hanya memerlukan fungsi itu sendiri. Sifat ketiga tersebut yang menyebabkan metode Runge-Kutta lebih praktis. Metode Runge-Kutta yang akan dibahas dalam Bab ini adalah Metode Runge-Kutta Orde-4. Metode Runge-Kutta Orde-4 mempunyai dua versi yang sering digunakan. Bentuk pertama yaitu berdasarkan aturan Simpson’s 13 dan ditulis sebagai berikut : k 1 = hfy n , x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 1 2 h x k y hf k n n 3.3.1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 2 3 h x k y hf k n n k 4 = hfy n + k 3 , x n + h [ ] 4 3 2 1 1 2 2 6 1 k k k k y y n n + + + + = + bentuk kedua berdasarkan pada aturan Simpson’s 38, dan ditulis : k 1 = hfy n , x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 3 , 3 1 2 h x k y hf k n n 3.3.2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = 3 , 3 3 2 1 3 h x k k y hf k n n k 4 = hfy n + k 1 – k 2 + k 3 , x n + h [ ] 4 3 2 1 1 3 3 8 1 k k k k y y n n + + + + = + dengan nilai n dimulai dari n = 0 dan iterasi berhenti jika nilai x sudah terpenuhi. Contoh 3.2.1 : Hitunglah y1 dengan menyelesaikan 1 , 1 1 2 = + − = y y y dengan metode Runge-Kutta orde-4 dengan h = 1 Penyelesaian : Persamaan ditulis sebagai : 2 1 1 , y x y f + − = dengan y = 1 dan x = 0. Karena hanya diminta untuk satu interval maka penghitungan seluruhnya adalah : n = 0 : 2 1 1 1 1 , 1 − = + − = = x y hf k 64 . 75 . 1 1 2 , 2 2 1 2 − = + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = h x k y hf k 6838 . 68 . 1 1 2 , 2 2 2 3 − = + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = h x k y hf k k 4 = hfy + k 3 , x + h =- 9091 . 3161 . 1 1 2 − = + [ ] 4 3 2 1 1 2 2 6 1 k k k k y y + + + + = [ ] 3238 . 9091 . 6838 . 2 64 . 2 5 . 6 1 1 = − − − − + = Contoh 3.2.2 : Selesaikanlah y’ = xy + 1 ; y0 = 0, dengan metode Runge-Kutta orde-4 dengan h = 0.2 pada x = 1 Penyelesaian : Persamaan ditulis sebagai : fy, x = xy + 1 dengan y = 0 dan t = 0 untuk n = 0 dan x 1 = 0.2 : k 1 = hfy , t = 0.2 0 + 1 = 0.2 [ 202 . 1 1 . 1 . 2 . 2 , 2 1 2 = + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = h x k y hf k ] [ ] 20202 . 1 1 . 101 . 2 . 2 , 2 2 3 = + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = h x k y hf k k 4 = hfy n + k 3 , x n + h = 0.2[0 + 0.202020 + 0.2 + 1] = 0.208 [ ] 4 3 2 1 1 2 2 6 1 k k k k y y + + + + = = [ ] 2026 . 208 . 20202 . 2 202 . 2 2 . 6 1 = + + + + untuk n =1 dan x 2 = 0.4 : k 1 = hfy 1 , x 1 = 0.2 [0.20260.2 + 1] = 0.2081 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 1 1 1 2 h x k y hf k = 0.2[0.2026 + 0.104050.2 + 0.1 + 1] = 0.2184 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 1 2 1 3 h x k y hf k = [ ] 2187 . 1 1 . 2 . 1092 . 2026 . 2 . = + + + k 4 = hfy 1 + k 3 , x 1 + h = 0.2[0.2026 + 0.21870.2 + 0.2 + 1] = 0.2337 [ ] 4 3 2 1 1 2 2 2 6 1 k k k k y y + + + + = = [ ] 4219 . 2337 . 2187 . 2 2184 . 2 2081 . 6 1 2026 . = + + + + untuk n = 2 dan x 3 = 0.6 : k 2 = hfy 2 , x 2 = 0.2 [0.42190.4 + 1] = 0.2337 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 2 1 2 2 h x k y hf k = 0.2[0.4219 + 0.11690.4 + 0.1 + 1] = 0.2539 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 2 2 2 3 h x k y hf k = 0.2[0.4219 + 0.12690.4 + 0.1 + 1] = 0.2549 k 4 = hfy 2 + k 3 , x 2 + h = 0.2[0.4219 + 0.25490.4 + 0.2 + 1] = 0.2812 [ ] 4 3 2 1 2 3 2 2 6 1 k k k k y y + + + + = = [ ] 6773 . 2812 . 2549 . 2 2539 . 2 2337 . 6 1 4219 . = + + + + untuk n = 3 dan x 4 = 0.8 : k 1 = hfy 3 , x 3 = 0.2 [0.67730.6 + 1] = 0.2813 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 3 1 3 2 h x k y hf k = 0.2[0.6773 + 0.14070.6 + 0.1 + 1] = 0.3145 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 3 2 3 3 h x k y hf k = 0.2[0.6773 + 0.15730.6 + 0.1 + 1] = 0.3168 k 4 = hfy 3 + k 3 , x 3 + h = 0.2[0.6773 + 0.31680.6 + 0.2 + 1] = 0.3591 [ ] 4 3 2 1 3 4 2 2 6 1 k k k k y y + + + + = = [ ] 9945 . 3591 . 3168 . 2 3145 . 2 2813 . 6 1 6773 . = + + + + untuk n = 4 dan x 5 = 1 : k 1 = hfy 4 , x 4 = 0.2 [0.99450.8 + 1] = 0.3591 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 4 1 4 2 h x k y hf k = 0.2[0.9945 + 0.17960.8 + 0.1 + 1] = 0.4113 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 , 2 4 2 4 3 h x k y hf k = 0.2[0.9945 + 0.20570.8 + 0.1 + 1] = 0.416 k 4 = hfy 4 + k 3 , x 4 + h = 0.2[0.9945 + 0.41600.8 + 0.2 + 1] = 0.4821 [ ] 4 3 2 1 4 5 2 2 6 1 k k k k y y + + + + = = [ ] 41067 . 1 4821 . 4160 . 2 4113 . 2 3591 . 6 1 9945 . = + + + + diperoleh penyelesaian untuk y’ = xy + 1 pada y1 = y 5 = 1.41067 n = 5 ====================================================== | x | Peny.hampiran | Peny. eksak | P.eksak-P.hamp | Kesalahan relatif | ====================================================== |0.20 | 0.202687 | 0.204082 | 0.001395 | 0.683468 | |0.40 | 0.422029 | 0.434783 | 0.012753 | 2.933260 | |0.60 | 0.677458 | 0.731707 | 0.054250 | 7.414109 | |0.80 | 0.994654 | 1.176471 | 0.181816 | 15.454397 | |1.00 | 1.410676 | 2.000000 | 0.589324 | 29.466213 | Gambar 3.3 Grafik metode Runge kutta orde 4 Untuk h = 0.1 maka hasilnya n = 10 ===================================================== | x | Peny.hampiran | Peny. Eksak | P.eksak-P.hamp | Kesalahan rel | ===================================================== |0.10 | 0.100334 | 0.100503 | 0.000169 | 0.167710 | |0.20 | 0.202688 | 0.204082 | 0.001394 | 0.682860 | |0.30 | 0.309164 | 0.314136 | 0.004972 | 1.582799 | |0.40 | 0.422032 | 0.434783 | 0.012751 | 2.932703 | |0.50 | 0.543826 | 0.571429 | 0.027602 | 4.830394 | |0.60 | 0.677461 | 0.731707 | 0.054246 | 7.413610 | |0.70 | 0.826367 | 0.927152 | 0.100786 | 10.870447 | |0.80 | 0.994660 | 1.176471 | 0.181811 | 15.453930 | |0.90 | 1.187363 | 1.512605 | 0.325242 | 21.502120 | |1.00 | 1.410685 | 2.000000 | 0.589315 | 29.465725 | Gambar 3.4 Grafik metode Runge kutta orde 4 Dari gambar 3.3 dan 3.4 dapat dilihat bahwa jika langkah h diperkecil n menjadi lebih banyak dan selisih antara penyelesaian hampiran dan penyelesaian eksaknya atau kesalahan relatifnya semakin besar. Jadi penyelesaiannya tidak akurat. Aplikasi dari metode Runge-Kutta untuk Persamaan Diferensial Orde Dua untuk Masalah Nilai Awal adalah sebagai berikut. Misalkan suatu Persamaan Differensial orde-2 : y”x + ay’x + byx = qx , y0 = 1 , y’0 = 0 3.2.3 dimana a dan b adalah koefisien dan qx adalah fungsi yang diketahui dan diberikan nilai awal. Dengan mendifinisikan : zt = y’x 3.2.4 persamaan diatas dapat direduksi menjadi dua Persamaan Diferensial Orde-1 y’= fy, z,x = z , y0 = 1 z = gy, z,x = -ay – by + q , z0 = 0 3.2.5 Metode Runge-Kutta orde –4 untuk persamaan diatas tersebut menjadi k 1 = hfy n , z n , x n = hz n l 1 = hgy n , z n , x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 1 1 2 h x l z k y hf k n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 1 1 2 h x l z k y hg l n n n 3.2.6 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 21 2 3 h x l z k y hf k n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 2 2 3 h x l z k y hg l n n n k 4 = hfy n + k 3 , z n + l 3 , x n + h l 4 = hgy n + k 3 , z n + l 3 , x n + h [ ] 4 3 2 1 1 2 2 6 1 k k k k y y n n + + + + = + [ ] 4 3 2 1 1 2 2 6 1 l l l l z z n n + + + + = + nilai n dimulai dengan n = 0 dan iterasi berhenti jika t terpenuhi. Contoh 3.2.3 : Hitunglah y3 untuk y”+ y’ – 12y = 0 dengan y2 = 2, y’2 = 0 dan h = 0,5 Penyelesaian : Dengan mendifinisikan : zt = y’t y’ = fy, z, t = z , y2 = 2 z’ = gy, z, t = -z +12y, z2 = 0 akan diselesaikan dengan h = 0.5, x = 2 dan y = 2 n = 0 dan x 1 = x n + h = 2 + 0,5 = 2,5 k 1 = hfy , z , x = hz = 0.5 0 = 0 l 1 = hgy , z ,x = 0,5 [ 0 + 122] = 12 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 1 1 2 h x l z k y hf k = 0,5 6 = 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 1 1 2 h x l z k y hg l = 0,5 [ -6 + 122 + 0 ] = 9 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 21 2 3 h x l z k y hf k = 0,5 4,5 = 2,25 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 2 2 3 h x l z k y hg l = 0,5 [-4,5 + 122 + 1,5] = 18,75 k 4 = hfy + k 3 , z + l 3 ,x + h = 0,518,75 = 9,375 l 4 = hgy + k 3 , z + l 3 , x + h = 0,5[-18,75 + 12 4,25] = 16,125 [ ] 4 3 2 1 1 2 2 6 1 k k k k y y + + + + = [ ] 3125 , 5 375 , 9 25 , 2 2 3 2 6 1 2 = + + + + = [ ] 4 3 2 1 1 2 2 6 1 l l l l z z + + + + = [ ] 94 , 13 125 , 16 5 , 37 18 12 6 1 = + + + + = untuk n = 1 dan x 2 = 2,5 + 0,5 = 3 k 1 = hfy 1 , z 1, x 1 = hz 1 = 0.5 13,94 = 6,97 l 1 = hgy 1 , z 1 , x 1 = 0,5 [ -13,94 + 125,3125] = 24,9 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 1 1 1 1 1 2 h x l z k y hf k = 0,5 [13,94 + 12,45] = 13,195 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 1 1 1 1 1 2 h x l z k y hg l = 0,5 [ -26,39 + 125,3125 + 3,5 ] = 39,68 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 1 21 1 2 1 3 h x l z k y hf k = 0,5 33,78 = 16,89 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + = 2 2 , 2 1 2 1 2 1 3 h x l z k y hg l = 0,5 [-33,78 + 1211,91] = 54,57 k 4 = hfy 1 + k 3 , z 1 + l 3 , x 1 + h = 0,568,51 = 34,255 l 4 = hgy 1 + k 3 , z 1 + l 3 , x 1 + h = 0,5[-68,51 + 12 22,2] = 98,95 [ ] 4 3 2 1 1 2 2 2 6 1 k k k k y y + + + + = [ ] 2117 , 22 255 , 34 7 , 33 39 , 26 97 , 6 6 1 3125 , 5 = + + + + = [ ] 4 3 2 1 1 2 2 2 6 1 l l l l z z + + + + = [ ] 9 . 65 95 , 98 14 , 109 36 , 79 9 , 24 6 1 94 , 13 = + + + + = Jadi y3 = y 2 = 22,2117 penghitungan atau iterasi berhenti jika x sudah terpenuhi, pertambahan x sesuai dengan h yang diketahui, dimana x n+1 = x n + h. Metode Runge Kutta Orde Empat ini akan digunakan dalam Metode Tembakan untuk menyelesaikan dua masalah nilai awal yang diperoleh dari mereduksi masalah nilai batas.

C. Analisis Galat