BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Pengantar Persamaan Diferensial
Definisi 2.1.1
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif – derivatif atau turunan dari satu fungsi.
Contoh : a.
x
e dx
dy
2
=
b. dx
x y
dy +
=
2
c.
3 2
1 4
+ =
+ x
y y
1. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dikelompokkan dalam beberapa cara. Jika fungsi yang tidak diketahui hanya bergantung pada satu variabel bebas,
persamaan tersebut disebut Persamaan Diferensial Biasa. Contoh Persamaan diferensial biasa :
a. dx
x y
dy +
=
2
b.
3 2
1 4
+ =
+ x
y y
c. dx
xdx dy
x 25
3
2
+ +
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial biasa dengan y mewakili fungsi yang belum diketahui atau variabel tak bebas dependent
variable dan x mewakili variabel bebas independent variable. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika fungsi yang tidak diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial
parsial. Contoh Persamaan diferensial parsial :
a. =
∂ ∂
+ ∂
∂ y
u x
u
b. x
t x
u t
u +
= ∂
∂ +
∂ ∂
2 2
2 2
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial, dengan u mewakili satu fungsi yang belum diketahui atau variabel tak bebas dan y, x, t
mewakili variabel – variabel bebas Selanjutnya persamaan diferensial diklasifikasikan berdasarkan orde
derivatif tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial tersebut atau sering disebut sebagai orde atau derajat.
Definisi 2.1.2
Orde dari persamaan diferensial adalah derajat orde tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial.
Klasifikasi persamaan diferensial menurut orde atau derajatnya : 1
Persamaan Diferensial Orde-1 Bentuk umum persamaan diferensial Orde-1
, ,
= y
y x
F PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh : a.
t dt
dx =
b. 1
2
− = t
t x
2 Persamaan Diferensial Orde-2
Bentuk umum dari persamaan diferensial Orde-2 ,
, ,
= y
y y
x F
Contoh : a.
t dt
x d
− =
2 2
b.
4
3 2
2
= −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ x
dt dx
dt x
d
3 Persamaan Diferensial Orde ke-n
Bentuk umum persamaan diferensial Orde ke-n ,......,
, ,
=
n
y y
y x
F
Definisi 2.1.3 :
Persamaan diferensial orde ke-n disebut linear dalam y jika persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk :
1 1
1
x f
y x
a y
x a
y x
a y
x a
n n
n n
= +
+ +
+
− −
K
dimana dan f adalah fungsi kontinu dalam interval x dan
n
a a
a ,
, ,
1
K ≠
x a
n
dalam interval tersebut. Fungsi disebut koefisien fungsi.
x a
k
Definisi di atas menyebutkan bahwa persamaan diferensial biasa linear jika kondisi berikut dipenuhi :
a. Fungsi yang belum diketahui dan derivatif – derivatifnya secara
aljabar berderajat satu. b.
Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan derivatif – derivatifnya atau dua atau lebih derivatif.
c. Tidak ada fungsi transendental dari y, y’, y”, misalnya e
y
, cos y’ dan seterusnya.
Persamaan diferensial yang tidak linear disebut nonlinear.
Contoh 2.1.1 :
a. Persamaan berikut ini adalah linear :
3
3 3
x y
y y
= +
− 5
= +
+
x
ye xy
Perhatikan bahwa pergantian variabel bebas dalam persamaan diferensial tidak mempengaruhi klasifikasi linear.
b. Persamaan Diferensial Biasa Orde-1 :
y’
3
+ 2y = x nonlinear karena derivatif pertama dari fungsi yang belum diketahui
berderajat tiga. c.
Persamaan Diferensial Orde-2 : y” + 5y = cos y
nonlinear karena cos y adalah fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui.
□ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2. Penyelesaian Persamaan Diferensial
Definisi 2.1.4 :
Suatu keluarga berparameter-n dari penyelesaian persamaan diferensial orde-n disebut penyelesaian umum dari persamaan diferensial jika semua
penyelesaian Persamaan Diferensial dapat diperoleh dari keluarga berparameter-n.
Definisi 2.1.5 :
Suatu penyelesaian persamaan diferensial orde-n yang diperoleh dari penyelesaian umum dengan menentukan nilai n parameter disebut
penyelesaian khusus.
Contoh 2.1.2 :
a. Penyelesaian umum dari y” + 9y = 0 adalah keluarga berparameter-
dua y = c
1
cos 3x + c
2
sin 3x Suatu penyelesaian khusus dapat diperoleh dengan mengambil dua
nilai parameter, misal c
1
= 2 dan c
2
= 1, diperoleh penyelesaian : y = 2 cos 3x + sin 2x
b. Diketahui
adalah penyelesaian umum dari persamaan diferensial orde-dua y” – y’ – 2y = 0, carilah penyelesaian
khusus yang memenuhi y0 = 2 dan y’0 = -1.
x x
e c
e c
y
−
+ =
2 2
1
Penyelesaian : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Diberikan nilai x = 0 untuk y dan y’, untuk menentukan y’, penyelesaian yang diketahui diturunkan terhadap x, diperoleh :
x x
e c
e c
y
−
− =
2 2
1
2 untuk menghitung c
1
dan c
2
, dengan mensubstitusikan x = 0, y = 2 dan x = 0, y’ = -1 ke persamaan yang sesuai, diperoleh :
2= c
1
+ c
2
-1 = 2c
1
– c
2
dengan menyelesaikan persamaan untuk c
1
dan c
2
diperoleh
3 5
; 3
1
2 1
= =
c c
, sehingga penyelesaian khusus menjadi :
x x
e e
y
−
+ =
3 5
3 1
2
□
Penyelesaian umum persamaan diferensial orde-n memuat n konstanta sembarang untuk menentukan penyelesaian khusus ditentukan
n persamaan pada fungsi penyelesaian dan derivatif – derivatifnya dan kemudian menyelesaikan n konstanta sembarang. Ada dua metode
menetapkan Syarat – syarat bantu.
Definisi 2.1.6 :
1 Jika syarat bantu pada persamaan diferensial yang diketahui
berhubungan dengan sebuah nilai x, syarat itu disebut syarat awal. Persamaan diferensial dengan syarat awalnya disebut Masalah Nilai
Awal M N A . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2 Jika syarat bantu pada persamaan diferensial yang diketahui
berhubungan dengan dua atau lebih nilai x, syarat itu disebut syarat batas atau nilai batas. Persamaan diferensial dengan syarat batasnya
disebut Masalah Nilai Batas M N B .
Contoh 2.1.3 :
a. y’ + y = 3 , y0 = 1 adalah masalah nilai awal
b. y” + 2y = 0 , y1 = 2, y’1 = 3 adalah masalah nilai awal
c. y”- y’ + y = x
3
, y0 = 2, y1 = -1 adalah masalah nilai batas Orde-2.
□
B. Persamaan Diferensial Orde Dua
Kategori