20
Besaran ω biasanya diukur dalam radian per detik dan disebut frekuensi lingka
ran. Oleh karena gerak berulang dalam 2π radian, maka didapat hubungan:
ɷ = = 2πf…………………………………….2.6
dengan τ dan f adalah periode dan frekuensi gerak harmonik bertuturt-turut dan biasanya diukur dalam detik dan siklus perdetik. Kecepatan dan
percepatan gerak harmonik dapat diperoleh secara mudah dengan diferensiasi simpangan gerak harmonik. Dengan menggunakan notasi titik
untuk turunannya, maka didapat: ẋ = ɷA cos ɷt = ɷA sin ɷt +
………………………….....2.7 ẍ =
A sin ɷt =
A sin ɷt + π…………………………..2.8
Gambar 2.17 Gerak Harmonik Sebagai Proyeksi Suatu Titik Yang Bergerak Pada Lingkaran
2.7.4 Gerak Periodik
Gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik. Gerak periodik ini selalu dapat dinyatakan dalam fungsi sinus
atau conisus, oleh sebab itu gerak periodik disebut gerak harmonik. Jika gerak yang periodik ini bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama
disebut getaran atau osilasi. Getaran mesin pada umumnya memiliki beberapa frekuensi yang muncul bersama-sama. Gerak periodik dapat
dihasilkan oleh getaran bebas system dengan banyak derajat kebebasan, dimana getaran pada tiap frekuensi natural member sumbangan. Getaran
Universitas Sumatera Utara
21
semacam ini menghasilkan bentuk gelombang kompleks yang diulang secara periodik seperti pada gambar 2.18.
Gelombang pertama yang harus kita amati adalah gelombang 1. Hal ini diwakili oleh satu siklus. Sebagai skala waktu adalah 1 s, ia
memiliki frekuensi 1 Hz. Gelombang berikutnya untuk dipertimbangkan adalah gelombang
3. Hal ini dapat dilihat bahwa ia memiliki tiga siklus pada periode yang sama dari gelombang pertama. Jadi, ia memiliki frekuensi 3
Hz. Ketiga adalah gelombang 7. Ia memiliki tujuh siklus dan karena
itu frekuensinya 7 Hz. Gelombang 9 adalah berikutnya dengan Sembilan siklus dan akan
memiliki frekuensi 9 Hz.
Jika x t adalah fungsi periodik dengan periode , maka fungsi ini dapat dinyatakan oleh deret Fourier [9] sebagai:
xt = …………...2.9
Dengan
Gambar 2.18 Gerak periodik gelombang sinyal segiempat dan Gelombang pembentuknya dalam domain waktu
Pada gelombang segiempat berlaku xt = ± X pada t =0, dan t = τ, dan
seterusnya. Deret ini menunjukkan nilai rata-rata dari fungsi yang diskontinu. Untuk menentukan nilai koefisien n a dan n b , kedua ruas persamaan 2.9
Universitas Sumatera Utara
22
dengan cos ωt dan sin ωt , kemudian setiap suku diintegrasi untuk lama perioda
τ . Dengan mengingat hubungan berikut, =
= …………………...2.10
=
Dari persamaan 2.10, maka untuk m = n, diperoleh hasil =
……………………………2.11 =
……………………………2.12 Persamaan deret Fourier berdasarkan nilai gelombang empat persegi:
xt = X untuk 0 t τ2
dan xt
= −X untuk τ2 t τ Maka koefisien
dan dapat dihitung, sebagai berikut:
= = 0
Karena = 0
Dan =
= =
Akan menghasilkan nilai = 0 untuk n bilangan genap, dan
= 4X untuk n
bilangan ganjil. Sehingga deret Fourier untuk gelombang empat persegi menjadi :
xt = ………2.13
Universitas Sumatera Utara
23
2.7.5 Getaran Bebas Free Vibration
