23
2.7.5 Getaran Bebas Free Vibration
Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri inherent dan apabila tidak ada gaya luar yang
bekerja. Sistem yang bergetar bebas akan bergetar pada satu atau lebih frekuensi naturalnya yang merupakan sifat dinamika yang dibentuk oleh
distribusi massa dan kekakuannya. Perhatikan gerak dari sebuah elemen yang ditempatkan pada sebuah
pegas seperti diillustrasikan dalam gambar 2.19 yang menunjukkan sebuah jarak kecil x dari posisi kesetimbangannya. Persamaan diferensial
menjabarkan perpindahan elemen setelah dilepaskan yang diperoleh dengan penjumlahan gaya dalam arah vertikal. Aljabar penjumlahan
ΣF dengan gaya ke atas + adalah:
Gambar 2.19 Sistem Massa Pegas dan diagram benda bebas
Hukum Newton kedua adalah dasar pertama untuk meneliti gerak system seperti ditunjukkan pada gambar 2.17 dimana gaya statik ∆ dan gaya pegas k∆
adalah sama dengan gaya berat w yang bekerja pada massa m: Gerak statik:
k ∆ = W = m.g ………………………………………2.14 k ∆ - W = 0
Gerak dinamik: m ẍ + k∆+x – W = 0………………………………...2.15
Universitas Sumatera Utara
24
dimana menghasilkan persamaan diferensial untuk gerak, karena k ∆= W dan
menggunakan ẍ = a yang merupakan turunan kedua dari x terhadap waktu
[10]. m
ẍ + kx = 0 …………………………………………2.16 Persamaan 2.16 merupakan persamaan gerak getar bebas tanpa peredaman,
selanjutnya diubah menjadi: ẍ +
= 0,
ω
n
= ………………………..2.17
Solusi dari persamaan 2.17 : x = Ae
st
ẋ = sAe
st
ẍ = s
2
Ae
st
….................................... 2.18 Substitusi 2.18 ke 2.17
e
st
s
2
+ s
1
= i ω
n
s
2
= - iω
n
Sehingga:
x
= A
1
e
s
1
t
+ A
2
e
s
2
t
= A
1
e
i ω
n
t
+ A
2
e
–iω
n
t ……………………2.19
Ingat:
e
iq
= cos q + i sin q
e
–iq
= cos q - i sin q Persamaan 2.19 menjadi
x = A
1
cos ω
n
t + i sin ω
n
t + A
2
cos ω
n
t - i sin ω
n
t = A
1
+ A
2
cos ω
n
t + iA
1
- A
2
sin ω
n
t = A cos
ω
n
t + B cos ω
n
t …………………………………………………….2.20
Kondisi pada t=0, x0=X sedangkan v0=V
x = A cos ω
n
t + B cos ω
n
t v =
ẋ = -ω
n
A cos ω
n
t + ω
n
B cos ω
n
t pada t = 0
B = 0, ω
n
A = V
Universitas Sumatera Utara
25
A = x =
sin ω
n
t x = Asin
ω
n
t Persamaan ini merupakan persamaan diferensial linier dimana solusinya dapat
ditemukan sebagai berikut. x = Asin
ɷt…………………………………………..2.21 ẍ =
sin ɷt……………………………………. 2.22
substitusi persamaan 2.16 dan 2.25 sehingga: m
sin ɷt + k A sin ɷt = 0………………....2.23
k A sin
ɷt = 0 A sin
ɷt ≠ 0 k
= 0
2.8 Standarisasi Pengukuran Getaran
Kategori