3 3
2 2
3 7
4 4
3 7
3 2
60
dx dy
y xy
dydx y
xy
4 2
2 1
2 4
2 2
1 2
3 3
. 3
dx y
xy
2 1
4 2
3 2
2
dx x
x
4 2
3 2
3 2
1 2
1 .
2 2
2 .
dx x
2 1
4 2
7 2
3
4 2
2
7 4
3
x
x
14 3
28 12
23
4 2
2 4
2 2
2 sin
2 cos
2 cos
sin .
4 dr
r dr
d r
4 2
. 2
1 .
2 dr
r r
4 2
2 4
2
4 2
1
r r
dr r
5 1
2 4
4
3.3 Integral Ganda Dua dengan Batas Bukan Persegi Panjang
Integral ganda dua dengan batas bukan persegi panjang terindikasi dari batas-batas integrasinya. Jika pada integral ganda dua dengan
batas persegi panjang batas atas dan batas bawah adalah bilangan real yang terdefinisi pada fx,y, maka pada integral ganda dua
dengan batas bukan persegi panjang,bentuk umumnya ditulis sebagai berikut.
R R
dxdy y
x f
dA y
x f
, ,
dimana :
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo -
59
R = { x,y ; f
1
y ≤ x ≤ f
2
y ,a ≤ y ≤ b } sehingga dapat ditulis dalam bentuk umum
b a
y f
y f
R
dxdy y
x f
dA y
x f
2 1
, ,
atau
R R
dydx y
x f
dA y
x f
, ,
dimana : R = { x,y ; f
1
x ≤ y ≤ f
2
x ,a ≤ x ≤ b } sehingga diperoleh bentuk:
b a
x f
x f
R
dydx y
x f
dA y
x f
2 1
, ,
Bentuk di atas dinamakan integral ganda dua dalam koordinat Cartesius. Selanjutnya bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam
bentuk koordinat kutub yakni:
R R
dxdy y
x f
dA y
x f
, ,
R
rdrd r
f
,
dengan hubungan
x y
dan r
y x
tan
2 2
2
Perhatikan beberapa contoh berikut ini:
1 2
2
. 1
x x
dydx xy
Jawab
1 1
3 2
2 2
3 dx
xy dydx
xy
x x
x x
1 3
3 2
3 3
. dx
x x
x x
1 4
7
3 1
. dx
x x
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo -
60
1
5 8
3 1
x x
5 1
8 1
3 1
40 1
2 1
3 2
2 1
3
2 .
2 dy
xy x
dxdy y
x
y y
y y
2 1
2 2
2
2 3
2 3
dy y
y y
y y
2 1
3 3
2 1
2 3
3 1
6 2
3 6
9
y
y y
y
6 1
0
6 1
dx xy
dydx x
x x
x x
x x
2 2
2 2
2 2
2 0 2
. 3
dx xy
x x
x
2 2
2 2
dx x
x x
x x
2 2
2
2
dx x
x x
2 3
2 3
2
dx x
x
2 2
3
2 3
4
3 4
x
x
3 2
4 2
3 4
3 4
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo -
61
2 2
2 sin
2 cos
2 cos
2 2
sin 2
2 .
4
drd
2
2 sin
2 cos
2 sin
2 cos
sin cos
1 1
Soal-soal
Tentukan integral ganda dua berikut 1.
2 1
3
xydxdy
2.
2 1
3 2
dxdy y
xy
3.
3 1
2
2 dxdy
y x
x
4.
1 1
2
1 dxdy
xy y
5.
1 2
2
1 dydx
x y
6.
3 ln
1
2
dydx xye
xy
7.
1 3
2 x
dydx x
8.
2 4
2
x
dydx y
x
9.
5 1 0
2 2
3
x
dydx y
x
10.
2 sin
cos
y x
ydxdy e
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo -
62
11.
2 2
4 4
2
2 2
2
y y
dxdy xy
12. Hitunglah integral ganda dua yang ditunjukkan oleh daerah R a.
R
y x
y x
R dA
xy 1
1 ,
1 :
, ;
3
b.
R
y x
y x
R dA
y x
2 ,
1 1
: ,
;
2 2
c.
R
y x
y x
R dA
xy x
1 1
, 1
: ,
; sin
3
d.
R
y x
y x
R dA
x xy
2 1
, 3
: ,
; 1
2
e.
R
dA xy
;
dengan R adalah daerah yang dibatasi oleh
2
x y
dan y=1 f.
R
dA y
x ;
dengan R adalah daerah antara oleh
2
x y
dan
x y
g.
R
dA x
; 1
2
2
dengan R adalah segitiga yang titik sudutnya 0,0, 2,2, dan 0,2
h.
R
dA y
x f
,
dengan R adalah lingkaran yang berjari-jari 2 satuan dan berpusat di titik asal.
i.
R
dA y
x ;
1
2 2
dengan R adalah daerah antara lingkatan
4
2 2
y x
dan
9
2 2
y x
3.4 Integral Ganda Tiga
