bab iii integral ganda
BAB III
INTEGRAL GANDA
3.1 Integral Ganda Dua
Integral fungsi satu variable telah dibahas pada Kalkulus Integral. Penjelasannya dilakukan dengan cara membentuk partisi suatu luasan (bidang datar) yang kontinu dan terdefinisi pada suatu interval [a,b]. Selanjutnya masing-masing interval yang panjangnya Δxk , dengan konstanta k = 1, 2, 3, 4, ….n. dan
dituliskan dengan bentuk umum:
n k b
a
dx x f
1
k k nlim f(x ) x
) (
Analog dengan cara di atas, didefinisikan integral untuk fungsi dua variabel.
Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang XOY. Selanjutnya daerah ini dibagi atas n buah subdaerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An
Dalam setiap subdaerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk) dan bentuklah
jumlah :
A y
x f A
y x f A y x f A y
x
f n n n
n k
k k
k
) , ( ... )
, ( )
, ( )
,
( 2 2 2
1
1 1 1
Jika jumlah subdaerah makin besar (n→~), maka integral ganda dua dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan oleh:
n k
k k k n
R
A y x f dA
y x f
1
) , ( lim
) , (
Untuk menghitung integral ganda dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :
a.
b
a
x f y
y R
R
dy dx y x f dxdy
y x f dA y x f
x f
) (
2
) ( 1
) , ( )
, ( )
, (
(2)
Integral yang ada dalam kurung pada bentuk di atas harus diselesaikan terlebih dahulu dengan menganggap variabel y konstanta, selanjutnya hasilnya diintegral kembali terhadap y.
b.
b
a
y f x
y f x R
R
dx dy y x f dydx
y x f dA y x f
) (
) (
2
1
) , ( )
, ( )
,
(
Integral yang ada dalam kurung harus diselesaikan terlebih dahulu dengan menganggap variabel x konstanta, selanjutnya hasilnya diintegral kembali terhadap x.
Jika integral ganda dua di atas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.
3.2 Integral Ganda Dua dengan Batas Persegi Panjang.
Bentuk umum :
R R
dxdy y x f dA y x
f( , ) ( , )
dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d } dan a,b,c dan d adalah konstanta
Perhatikan contoh berikut ini.
2 1
1. 1
1
0 1
0 2 1 1
0 2
1 1
0 2
1
dxdy dx dy x dx dx
4
2 2
1
2 2 4
2 2
1
2 2
) (
.
2 x y dxdy x y dx dy
4
2
2
1 2 3
3 1
dy x y x
4
2
2
3 3 7
dy y 4
2 3
3 7
(3)
3 2 23
3 7 4 4 3 7
3 2 60
dx dy y xy dydx
y
xy
4
2 2
1
2 4
2 2
1
2
) 3 ( )
3 ( . 3
xy y dx
2
1 4
2
3 2
2
x x dx
4
2
3 2 3
2
1 2
1 . 2
2 2 .
dx
x 2
1 4
2
7 2 3
4
2 2 7
4 3
x x
1228
(314) 23
4
2
2
0 4
2 2
0
2 sin 2 cos )
2 cos (sin
.
4 r d dr r dr
4
2
0 . 2 1 0
. 2
0 r r dr
4
2 2 4
2 2 4
1
r dr r r
44
21
53.3 Integral Ganda Dua dengan Batas Bukan Persegi Panjang
Integral ganda dua dengan batas bukan persegi panjang terindikasi dari batas-batas integrasinya. Jika pada integral ganda dua dengan batas persegi panjang batas atas dan batas bawah adalah bilangan real yang terdefinisi pada f(x,y), maka pada integral ganda dua dengan batas bukan persegi panjang,bentuk umumnya ditulis sebagai berikut.
R R
dxdy y x f dA y x
f( , ) ( , )
(4)
R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,a ≤ y ≤ b }
sehingga dapat ditulis dalam bentuk umum
ba y f
y f R
dxdy y x f dA
y x f
) (
) (
2
1
) , ( )
, (
atau
R R
dydx y x f dA y x
f( , ) ( , )
dimana :
R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }
sehingga diperoleh bentuk:
ba x f
x f R
dydx y x f dA
y x f
) (
) (
2
1
) , ( )
, (
Bentuk di atas dinamakan integral ganda dua dalam koordinat Cartesius. Selanjutnya bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat kutub yakni:
R R
dxdy y x f dA y x
f( , ) ( , )
R
rdrd r
f( ,)
dengan hubungan x y dan
r y
x2 2 2 tan
Perhatikan beberapa contoh berikut ini:
1
0 2
2
. 1
x
x
dydx xy
Jawab
1
0
1
0 3 2
2
2 3
dx xy
dydx xy
x
x x
x
1
0
3 3
2
3 ) ( 3
) (
. x x x x dx
1
0
4 7
3 1
(5)
1
0
5 8 3 1
x x
5 1 8 1 3 1
40 1
2
1
3 2
2
1 3
2 )
( .
2 x y dxdy x xy dy
y
y y
y
2
1
2 2 2
2 )
3 ( 2
) 3 (
dy y y y y y
2
1 3 3 2
1 2 3
3 1 6 2
3 6 9
y y y y
6 1 0
6 1
xy dx dydxx
x x
x x
x
x
2
2 2
2 2
2
0 2
0 2
. 3
xy
dxx x
x
2
2
2 2
0
x
x x
x x
dx2
0
2
2 2
x x x
dx2
0
3 2
3 2
x x
dx2
0
2 3
2
0 3 4
3 4
x x
0 3 2 4 24 3
3 4
(6)
2 2 sin2
2 cos
2 cos 2 2 sin 2 2
. 4
drd
cos2 sin2
2
cossin
cos2sin2
10
10
0
Soal-soal
Tentukan integral ganda dua berikut 1.
2
1 3
0
xydxdy
2.
2
1 3
0
2)
(xy y dxdy
3.
3
0 1
0
2
2x x y dxdy
4.
1
0 1
0
2
) 1
(xy dxdy y
5.
1
0 2
0 2
1 x dydx y
6.
3 ln
0 1
0
2 dydx xyexy
7.
1
0 3
0 2
x
dydx x
8.
2
0 4
0
2
) (
x
dydx y
x
9.
5
1 0
2 2
3
x
dydx y
x 10.
20 sin
0
cos
y
x ydxdy
(7)
11.
2
2 4
4
2
2
2
2
y
y
dxdy xy
12. Hitunglah integral ganda dua yang ditunjukkan oleh daerah R
a.
R
y x
y x R dA
xy3 ; , :0 1, 1 1
b.
R
y x
y x R dA y
x ) ; , : 1 1,0 2
( 2 2
c.
R
y
x
y
x
R
dA
xy
x
;
,
:
0
1
,
1
1
sin(
3d.
R
y x
y x R dA x
xy 1 2 ; , :0 3,1 2
e.
R
dA
xy ; dengan R adalah daerah yang dibatasi oleh y x2
dan y=1 f.
R
dA y
x ) ;
( dengan R adalah daerah antara oleh y x2 dan
x y
g.
R
dA
x ;
1 2
2 dengan R adalah segitiga yang titik sudutnya
(0,0), (2,2), dan (0,2)
h.
R
dA y x
f( , ) dengan R adalah lingkaran yang berjari-jari 2
satuan dan berpusat di titik asal. i.
R
dA y
x ;
1
2
2 dengan R adalah daerah antara lingkatan
4
2 2y
x dan x2y2 9
3.4 Integral Ganda Tiga
Secara umum integral ganda tiga dinyatakan dengan
R
dv z y x f( , , )
dan merupakan suatu fungsi tiga variabel dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik (x,y,z) dan volumenya V. Dalam hal ini
(8)
f(x,y,z) bernilai tunggal dan kontinu. Integral ganda tiga merupakan perluasan dari gagasan integral tunggal dan integral ganda dua.
Jika f(x,y,z) =1 maka
R R dv dv z y x f( , , )yang dapat diartikan sebagai ukuran volume daerah R tersebut.
a). Integral Ganda Tiga dalam Koordinat Cartesius
Integral ganda tiga dalam koordinat Cartesius dinyatakan dengan:
R b z a z z y y z y y z y x x z y x x dxdydz z y x f dv z y x f 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) , , (
b y a y y z z y z z y z x x y z x x dxdzdy z y x f 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , , ( atau
R b z a z z x x z x x z x y y z x y y dydxdz z y x f dv z y x f 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) , , (
b x a x x z z x z z x z y y x z x y dydzdx z y x f 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , , ( atau
R b x a x x y y x y y x y z z x y z z dzdydx z y x f dv z y x f 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) , , (
b y a y y x x y x x y x z z y x z z dzdxdy z y x f 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , , (Perubahan dan urutan integrasi dv menjadi bentuk dydxdz atau dydxdz dan seterusnya berakibat pada peubahan batas-batas integrasi integral ganda tiga tersebut. Jika integral tiga dengan batas-batas bilangan real, maka perubahan urutan tanda integrasi mengikuti urutan perubahan batas-batasnya.
(9)
Contoh: 1)
R
dV y
x )
( dengan R adalah kotak
, , ;1 2,0 1,0 2
x y z x y z
R
Jawab
R pada soal di atas dapat digambarkan sebagai berikut:
sehingga
2
0 2
1 1
0
) ( )
(x y dV x y dydxdz
R
2
0 2
1
1
0 2
2 1
dxdz y
xy
2
0 2
1 2
1 dxdz
x
2
0
2
1 2
2 1 2 1
dz x x
2
0
1 3 dz
2 02z
4
2)
R
dV dengan R adalah benda kurva ruang yang dibatasi oleh persamaan x + y + z = 1 pada oktan I.
Jawab
X
Y
(10)
R pada soal di atas dapat digambarkan sebagai berikut:
sehingga
1
0 1
0 1
0
y y z
R
dxdzdy dV
1
0 1
0
1
y
dzdy z y
1
0
1
0 2
2 1
dy z
yz z
y
0
0
2
) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1
( y y y y dy
1
0
2 2
2 1 2
1
1 y y y y y dy
1
0
2
2 1 2
1
dy y y
1
0 3 2
6 1 2 1 2 1
y y y
6 1 2 1 2 1
6 1
b) Integral Ganda Tiga dalam Koordinat Tabung X
Y
Z
) 0 , 0 , 1 (
) 0 , 1 , 0 (
) 01 , 0 (
(11)
Integral rangkap tiga dalam koordinat Tabung (silinder) dinyatakan dalam bentuk:
R
r
r
r z z
r z z
rdzdrd z
r f dv
z r f
2
1 2
1 2
1
) (
) (
) , (
) , (
) , , ( )
, , (
Contoh 1)
2 0 cos 2
0 4
0
2
r
rdzdrd Jawab
d dr rz
rdzdrd r
r
2 2
4 0 2
0 cos 2
0 4
0
2
0 cos 2
0
3
4
d dr r r
2
0
cos 2
0 4 2
4 1 2
d r
r
2
0
4
2 4cos
cos 4
d
2
0
4
2 cos
cos 4
d
2
0
4
2 cos
cos 4
d
2
0 3
2
0 2
1 2
cos sin 4 3 4
cos sin 4 2
1 2
cos sin 4
2 . 8 3 . 4 2 . 2 1 .
8
4 5
(12)
2.
20 sin 2
0 4
2
r
rdzdrd
Jawab
d dr rz
rdzdrd r
r
2
0 sin 2
0 4 2
0 sin 2
0 4
2 2
d
dr
r
r
2 0
sin 2
0
3
4
2
0
sin 2
0 4 2
4 1 2
d r
r
2
0
4
2 4sin
sin 8
d
2
0 3
2
0 2
1 2
cos sin 4 3 4
cos sin 4 2
1 2
cos sin 8
4 3 4
8
4 11
c) Integral Ganda Tiga dalam Koordinat Bola
Integral rangkap tiga dalam koordinat bola dinyatakan dalam bentuk:
R
d d d f
dv f
2
1 2
1 2
1
) (
) (
) , (
) , (
2sin ) , , ( )
, , (
Contoh 1)
2
0 2
0 1
0
2sin
d d d
(13)
d d d
d d
1
0 2
0 2
0 3 2
0 2
0 1
0
2 sin
3 1
sin
2
0
sin 2 3 1
d
2 0cos 3
2
1 cos2
32
Soal-soal
Tentukan hasil integral ganda tiga berikut ini. 1.
6
0 2 12
0
3 3 2 4
0 y
x y
dy dx dz x
2.
1
0 1
0 2
0
x x
dx dy dz xyz
3.
2
0 2 6
2 4
0
2 y
y y
dy dx dz z
4.
2
0 3
0 9
0 2
2
d d dz
5.
4
0 2
0 4
0
2
z x z
dx dz dy
6.
2
2 9
9 9
9
2 3 2 2 2
2
2
2 2
2 2
) (
x
x
z x
z x
dx dz dy z y x
7.
3
0 9
0 2
0
2 2
2
x
dx dy dz y x
8.
2
0 4
0 4
0
2 2
2 2 2
4
x x y
dx dy dz y x
9.
2
1 3 3
6
2 2
x y
dx dy dz x y
(14)
10.
2 0 0 0
) sin(
z y
dz dy dx z y x
11. Tulislah urutan tanda integrasi berikut dengan batas yang ditentukan
a.
S
dV z y x f( , , )
dengan
x y z x y z x y
S 12 3 2
6 1 0
, 2 0
, 1 0
; , ,
b.
S
dV z y x f( , , )
dengan S
x,y,z
;0x 4 y2,0y2,0z3
c.
S
dV z y x f( , , )
dengan S
x,y,z
;0x3z,0y4 x 2z,0z2
d.
S
dV z y x f( , , )
dengan
2 3 0
, 4 0
, 0
; ,
,y z x y y z x x
S
e.
S
dV z y x f( , , )
(15)
(1)
R pada soal di atas dapat digambarkan sebagai berikut:
sehingga
1
0 1
0 1
0
y y z
R
dxdzdy dV
1
0 1
0 1
y
dzdy z y
1
0
1
0 2 2 1
dy z
yz z
y
0
0
2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1
( y y y y dy
1
0
2 2
2 1 2
1
1 y y y y y dy
1
0
2 2 1 2
1
dy y y
1
0 3 2
6 1 2 1 2 1
y y y
6 1 2 1 2 1
6 1
b) Integral Ganda Tiga dalam Koordinat Tabung
X
Y
Z
) 0 , 0 , 1 ( )
0 , 1 , 0 (
) 01 , 0 (
(2)
Integral rangkap tiga dalam koordinat Tabung (silinder) dinyatakan dalam bentuk:
R
r
r
r z z
r z z
rdzdrd z
r f dv
z r f
2
1 2
1 2
1
) (
) (
) , (
) , (
) , , ( )
, , (
Contoh 1)
2 0 cos 2
0 4
0
2
r
rdzdrd Jawab
d dr rz
rdzdrd r
r
2 2
4 0 2
0 cos 2
0 4
0
2
0 cos 2
0
3 4
d dr r r
2
0
cos 2
0 4 2
4 1 2
d r
r
2
0
4
2 4cos
cos 4
d
2
0
4
2 cos
cos 4
d
2
0
4
2 cos
cos 4
d
2
0 3
2
0 2
1 2
cos sin 4 3 4
cos sin 4 2
1 2
cos sin 4
2 . 8 3 . 4 2 . 2 1 .
8
4 5
(3)
2.
20 sin 2
0 4
2
r
rdzdrd
Jawab
d dr rz
rdzdrd r
r
2
0 sin 2
0 4 2
0 sin 2
0 4
2 2
d
dr
r
r
2
0 sin 2
0
3
4
2
0
sin 2
0 4 2
4 1 2
d r
r
2
0
4
2 4sin
sin 8
d
2
0 3
2
0 2
1 2
cos sin 4 3 4
cos sin 4 2
1 2
cos sin 8
4 3 4
8
4 11
c) Integral Ganda Tiga dalam Koordinat Bola
Integral rangkap tiga dalam koordinat bola dinyatakan dalam bentuk:
R
d d d f
dv f
2
1 2
1 2
1
) (
) (
) , (
) , (
2sin
) , , ( )
, , (
Contoh 1)
2
0 2
0 1
0
2sin
(4)
d d d
d d
1
0 2
0 2
0 3 2
0 2
0 1 0
2 sin
3 1
sin
2
0
sin 2 3 1
d
20 cos 3
2
1 cos2
32
Soal-soal
Tentukan hasil integral ganda tiga berikut ini.
1.
6
0 2 12
0
3 3 2 4
0 y
x y
dy dx dz x
2.
1
0 1
0 2
0
x x
dx dy dz xyz
3.
2
0 2 6
2 4
0 2
y
y y
dy dx dz z
4.
2
0 3
0 9
0 2
2
d d dz
5.
4
0 2
0 4
0
2
z x z
dx dz dy
6.
2
2 9
9 9
9
2 3 2 2 2
2
2
2 2
2 2
) (
x
x
z x
z x
dx dz dy z y x
7.
3
0 9
0 2
0
2 2
2
x
dx dy dz y x
8.
2
0 4
0 4
0
2 2 2 2 2
4
x x y
dx dy dz y x
9.
2
1 3 3
6
2 2
x y
dx dy dz x y
(5)
10.
2 0 0 0
) sin(
z y
dz dy dx z y x
11. Tulislah urutan tanda integrasi berikut dengan batas yang ditentukan
a.
S
dV z y x f( , , )
dengan
x y z x y z x y
S 12 3 2
6 1 0
, 2 0
, 1 0
; , , b.
S
dV z y x f( , , )
dengan S
x,y,z
;0x 4 y2,0y2,0z3
c.
S
dV z y x f( , , )
dengan S
x,y,z
;0x3z,0y4 x 2z,0z2
d.
S
dV z y x f( , , )
dengan
2 3 0
, 4 0
, 0
; ,
,y z x y y z x
x S
e.
S
dV z y x f( , , )
(6)