BAB III INTEGRAL GANDA
3.1 Integral Ganda Dua
Integral fungsi satu variable telah dibahas pada Kalkulus Integral. Penjelasannya dilakukan dengan cara membentuk partisi suatu
luasan bidang datar yang kontinu dan terdefinisi pada suatu interval [a,b]. Selanjutnya masing-masing interval yang
panjangnya Δx
k
, dengan konstanta k = 1, 2, 3, 4, ….n. dan dituliskan dengan bentuk umum:
n k
b a
dx x
f
1 k
k n
x fx
lim
Analog dengan cara di atas, didefinisikan integral untuk fungsi dua variabel.
Misalkan fungsi z = fx,y didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang XOY. Selanjutnya daerah ini dibagi atas n buah subdaerah
yang masing-masing luasnya A
1
, A
2
, A
3
…… An Dalam setiap subdaerah, pilih suatu titik P
k
x
k
, y
k
dan bentuklah jumlah :
A y
x f
A y
x f
A y
x f
A y
x f
n n
n n
k k
k k
, .......
, ,
,
2 2
2 1
1 1
1
Jika jumlah subdaerah makin besar n→~, maka integral ganda dua dari fungsi fx,y atas daerah R didefinisikan oleh:
n k
k k
k n
R
A y
x f
dA y
x f
1
, lim
,
Untuk menghitung integral ganda dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :
a.
b a
x f
y y
R R
dy dx
y x
f dxdy
y x
f dA
y x
f
x f
2 1
, ,
,
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo -
57
Integral yang ada dalam kurung pada bentuk di atas harus diselesaikan terlebih dahulu dengan menganggap variabel y
konstanta, selanjutnya hasilnya diintegral kembali terhadap y.
b.
b a
y f
x y
f x
R R
dx dy
y x
f dydx
y x
f dA
y x
f
2 1
, ,
, Integral yang ada dalam kurung harus diselesaikan terlebih
dahulu dengan menganggap variabel x konstanta, selanjutnya hasilnya diintegral kembali terhadap x.
Jika integral ganda dua di atas ada, maka a dan b secara umum akan memberikan hasil yang sama.
3.2 Integral Ganda Dua dengan Batas Persegi Panjang.
Bentuk umum :
R R
dxdy y
x f
dA y
x f
, ,
dimana : R = { x,y ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d } dan a,b,c dan d adalah konstanta
Perhatikan contoh berikut ini.
1 1
2 .
1
1 1
2 1
1 2
1 1
2 1
dx dx
x dy
dx dxdy
4 2
2 1
2 2
4 2
2 1
2 2
. 2
dy dx
y x
dxdy y
x
4 2
2 1
2 3
3 1
dy x
y x
4 2
2
3 3
7 dy
y
4 2
3
3 7
y y
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo -
58
3 3
2 2
3 7
4 4
3 7
3 2
60
dx dy
y xy
dydx y
xy
4 2
2 1
2 4
2 2
1 2
3 3
. 3
dx y
xy
2 1
4 2
3 2
2
dx x
x
4 2
3 2
3 2
1 2
1 .
2 2
2 .
dx x
2 1
4 2
7 2
3
4 2
2
7 4
3
x
x
14 3
28 12
23
4 2
2 4
2 2
2 sin
2 cos
2 cos
sin .
4 dr
r dr
d r
4 2
. 2
1 .
2 dr
r r
4 2
2 4
2
4 2
1
r r
dr r
5 1
2 4
4
3.3 Integral Ganda Dua dengan Batas Bukan Persegi Panjang