Sehingga, 1
1 Karena gcd
1, = 1, maka
1
Contoh.
Tunjukkan bahwa sisa pembagian 5
38
oleh 11 adalah 4. Untuk menunjukkan hal di atas, dengan menggunakan relasi kongruensi cukup
ditunjukan bahwa 5
38
4 mod 11.
Bukti.
5
38
= 5
10 3 + 8
= 5
10 3
5
2 4
1
3
. 3
4
mod 11
81 mod 11
4 mod 11
2.5 Persamaan Diophantine linear
Definisi 2.5.1
Persamaan Diophantine adalah persamaan suku banyak atas bilangan bulat Z dalam n variable dengan solusi bulat, ditulis sebagai fx
1
, x
2
, . . . , x
2
= 0, dengan f adalah fungsi n variabel dengan n ≥ 2 Burton, 1980.
Contoh.
1. 2x + 5y = 2010, dengan x dan y bilangan bulat
2. y
3
= x
2
– 1 , dengan x dan y bilangan bulat 3. x + y + xy = 34 , dengan x dan y bilangan bulat positif
Persamaan Diophantine dapat berbentuk linear contoh 1 maupun non linear contoh 2 dan 3. Beberapa metode penyelesaian persamaan Diophantine, antara
lain: Faktor Persekutuan Terbesar FPB, pemfaktoran, keterbagian, teknik pembatasan, parameter dan struktur aljabar ring.
Definisi 2.5.2
Persamaan Diophantine linear dua variabel adalah suatu persamaan berbentuk ax + by = c dengan a, b, c bilangan – bilangan bulat dan a, b dua-duanya bukan
nol disebut persamaan linear Diophantine jika penyelesaiannya dicari untuk bilangan – bilangan bulat Burton, 19080.
Berdasarkan definisi persamaan Diophantine linear di atas dapat dibentuk teorema berikut ini.
Teorema 2.5.1 Burton, 1980
Persamaan linear Diophantine ax + by = c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari a dan b habis membagi c .
Bukti.
Misalkan d = gcda,b dan d|c d|c
ada k bulat sehingga c = kd. d|gcda,b
ada bilangan bulat m dan n sehingga : am + bn = d a km + b kn = kd
a km + b kn = c
berarti x = mk dan y = nk.
Berikut ini merupakan teorema tentang solusi umum persamaan Diophantine linear.
Teorema 2.5.2
Jika d = gcda,b dan x , y
penyelesaian persamaan Diophantine ax + by = c, maka penyelesaian umum persamaan tersebut adalah x = x
+ dan y = y
- dengan k parameter bilangan bulat Burton, 1980.
Karena ring yang akan dibahas adalah [ ] dimana ruang lingkupnya sangat erat
dengan sistem bilangan kompleks sehingga akan dijelaskan konsep sistem bilangan kompleks sebagai berikut.
2.6 Sistem Bilangan Kompleks
Definisi 2.6.1
Sistem bilangan kompleks adalah bilangan kompleks
yang dilengkapi oleh operasi penjumlahan + dan perkalian • yang memenuhi aksioma atas
lapangan Churchill, 1999.
Berikut ini adalah teorema – teorema tentang sifat – sifat operasi penjumlahan dan perkalian dalam sistem bilangan kompleks yang dirujuk dari buku yang ditulis
oleh Churchill tahun 1999.
Teorema 2.6.1
Untuk semua bilangan kompleks berlaku sifat aditif dan asosiatif terhadap penjumlahan.
+ =
+ 2.6
z
1
+ z
2
+ z
3
= z
1
+ z
2
+ z
3
2.7
Bukti.
Misal =
+ ,
= +
dan
3
=
3
+
3
maka :
1
+
2
=
1
+
1
+
2
+
2
=
1
+
2
+
1
+
2
=
2
+
2
+
1
+
1
=
2
+
1
■
1
+
2
+
3
=
1
+
1
+ [
2
+
2
+
3
+
3
] =
1
+
1
+ [
2
+
3
+
2
+
3
] = [
1
+
2
+
3
] + [
1
+
2
+
3
] = [
1
+
2
+
3
] + [
1
+
2
+
3
] = [
1
+
2
+
1
+
2
] +
3
+
3
=
1
+
2
+
3
Teorema 2.6.2
1. Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat komutatif.
1
•
2
=
2
•
1
2.8 2.
Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat asosiatif.
1
•
2
•
3
=
1
•
2
•
3
2.9 3.
Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat distributif terhadap penjumlahan.
1 2
+
3
=
1 2
+
1 3
2.10
Bukti.
Misal =
+ ,
= +
dan
3
=
3
+
3
maka : 1.
z
1
z
2
=
1
+
1 2
+
2
=
1
+
2
+
1
+
2
+
2 1 2
=
1 2 1 2
+
1 2
+
2 1
=
2 1 2 1
+
2 1
+
2 1
=
2
+
2 1
+
1
=
2 1
2.
1 2
3
=
1
+
1
[
2
+
2 3
+
3
] =
1
+
1
[
2 3 2 3
+
2 3
+
2 3
] =
1 2 3
2 3 1
2 3
+
2 3
+ [
1 2 3
2 3
+
1 2 3
+
2 3
=
1 2 1 2
3 1 2
+
2 1 3
+ [
1
+
2 1 3
+
1 2 1 2
3
] = [
1
+
1 2
+
2
]
3
+
3
=
1 2
3
3.
1 2
+
3
=
1
+
1
[
2
+
2
+
3
+
3
] =
1
+
1
[
2
+
3
+
2
+
3
]
=
1 2
+
3 1
2
+
3
+
1 2
+
3
+
1 2
+
3
=
1 2 1 2
+
1 2
+
1 2
+
1 3 1 3
+
1 3
+
1 3
=
1 2
+
1 3
■
2.7 Ring
