Daerah Integral Definisi .1 Bilangan Bulat Gaussian Metode ring yang digunakan pada penelitian ini adalah ring [ ], sehingga
Definisi 2.7.7
Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan, N ideal dalam R. N disebut prima jika :
a. b. Untuk setiap
, ;
atau ,
dan atau
, dan
Fraleigh, 2000 .
Definisi 2.7.8
Misalkan R ring dengan elemen satuan 1. Jika A sebarang himpunan bagian dari ring R.
dinotasikan sebagai ideal terkecil dari R yang memuat A dan disebut ideal yang dibangun oleh A. Ideal yang dibangun oleh satu elemen disebut
ideal utama Fraleigh, 2000.
Contoh.
Misalkan , maka ideal utama dari
yang dibangun oleh adalah
= .
2.8 Daerah Integral Definisi 2.8.1
Jika a dan b elemen tak nol dari ring R sedemikian sehingga ab=0 , maka a dan b adalah pembagi nol. Dengan kata lain a adalah pembagi nol kanan
Fraleigh, 2000.
Berdasarkan pengertian pembagi nol terdapat pada Definisi 2.8.1, maka berikut ini akan diberikan teorema tentang pembagi nol.
Teorema 2.8.1
Dalam ring pembagi nol adalah elemen – elemen yang tidak relatif prima
terhadap n Fraleigh, 2000 .
Berdasarkan teorema pembagi nol yang terdapat pada Teorema 2.8.1, maka berikut ini akan diberikan akibat dari Teorema 2.8.1.
Akibat 2.8.2
Jika p sebuah bilangan prima, maka tidak mempunyai pembagi nol.
Definisi 2.8.2
Ring komutatif dengan elemen satuan yang tak memuat pembagi nol disebut daerah integral Fraleigh, 2000 .
Berikut ini akan diberikan pengertian unit dan elemen irreducible yang digunakan dalam pembahasan faktorisasi tunggal.
Definisi 2.8.3
Misalkan adalah Daerah Integral dan 1 adalah elemen satuan di
, merupakan unit jika dan hanya jika u membagi 1 sedemikian sehingga
1 = .
untuk suatu . Dengan kata lain,
mempunyai invers terhadap operasi perkalian pada
Dummit and Foote, 2004 .
Contoh.
Elemen unit di adalah 1 dari -1. karena 1 1 1 = 1 . 1
dan karena -1 1 1 = -1 -1 1 = u.
Definisi 2.8.4
Misalkan 0 dan
bukan unit di daerah integral .
dikatakan irreducible jika
= di
, maka unit atau
unit di Dummit and Foote, 2004.
Berikut ini akan diberikan definisi bilangan bulat Gaussian yang akan digunakan pada penyelesaian persamaan Diophantine non linear.
2.9 Bilangan Bulat Gaussian Metode ring yang digunakan pada penelitian ini adalah ring [ ], sehingga
didefinisikan bilangan Gaussian sebagai berikut.
Definisi 2.9.1
Bilangan bulat Gaussian adalah bilangan kompleks yang bagian riil dan bagian imajinernya adalah bilangan bulat. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian
bilangan kompleks, himpunan bilangan bulat Gaussian membentuk ring yang
dinotasikan dengan [ ] dan dituliskan dengan
[ ] =
{
a + bi
|
a,
}
Andreescu dkk, 2010.
Berikut ini akan dibuktikan bahwa himpunan semua bilangan bulat Gaussian [ ]
dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk ring.
Teorema 2.9.1 Andresescu dkk, 2010
Jika diberikan himpunan semua bilangan bulat Gaussian : [ ] = { +
, }
Pada [ ] didefinisikan dua operasi : i Operasi penjumlahan + , yaitu :
+ + +
= + + + ii Operasi perkalian • , yaitu :
+ +
= +
+ +
maka, [ ], +
′
,
′
membentuk ring.
Bukti.
a. Harus dibuktikan
[ ], +
′
grup komutatif. i Diberikan sebarang
+ , +
[ ] , maka diperoleh: +
+ + = + + +
Karena +
dan +
[ ], maka + + [ ].
Jadi operasi + tertutup pada [ ].
ii Diberikan sebarang +
, + , +
[ ] maka diperoleh: [ +
+ + ] + +
= [ + + + ] + + = + + + + +
= + + + +
= + + + +
+ = +
+ [ + + + ] = +
+ [ + + +
] Jadi operasi
+ bersifat assosiatif pada [ ]. iii Diberikan sebarang
+ [ ], maka terdapat +
[ ] sehingga,
+ + +
= + + +
= + Dari persamaan
+ + +
= + + + +
= + +
= dan
+ =
= 0 dan = 0
Jadi +
= 0 + 0 merupakan elemen netral pada [ ]. iv Untuk setiap
+ [ ], terdapat +
[ ] sehingga, +
+ + = +
+ + = 0 + 0
Dari persamaan +
+ + = 0 + 0
+ + + = 0 + 0
+ = 0 dan
+ = 0
= dan
= Jadi
+ merupakan invers pada
[ ] + [ ].
v Diberikan sebarang +
, + [ ], maka diperoleh :
+ + +
= + + +
= + + +
= + + +
Jadi operasi + komutatif.
Dari i, ii, iii, iv, dan v disimpulkan [ ] , +′ grup komutatif.
b. Terhadap operasi perkalian • harus dibuktikan:
i Diberikan sebarang +
, + [ ], maka
+ +
= +
+ karena
+ dan
+ , maka
+ +
[ ]. Jadi operasi • tertutup pada [ ] .
ii Assosiatif Diberikan sebarang
+ , +
, + [ ], maka diperoleh:
[ + +
] + = [
+ +
] + = [
+ ] + [
+ +
+ ]
= +
+ +
+ =
+ +
+ =
+ +
+ =
+ +
+ =
+ +
+ c.
Terhadap operasi + dan • harus dipenuhi
i Distributif kiri Diberikan sebarang
+ , +
, + [ ], maka diperoleh:
+ [ +
+ + ]
= + [ + + + ]
= [ + + ]+ [ + + + ]
= +
+ +
+ +
= +
+ +
+ +
= + +
+ + +
ii Distributif kanan Diberikan sebarang
+ , +
, + [ ], maka diperoleh:
[ + + +
] + = [ + + + ] +
= [ + + ]+ [ +
+ ] =
+ +
+ =
+ +
+ +
+ = +
+ + +
+ ■
Selanjutnya ring [ ] merupakan daerah integral, yang dituliskan dalam teorema
berikut :
Teorema 2.9.2 Andresescu dkk, 2010
Ring [ ] merupakan daerah integral.
Bukti.
Untuk membuktikan ring [ ]daerah integral cukup dibuktikan. i Ring [ ] komutatif
Diberikan sebarang + , +
[ ], maka diperoleh:
+ +
= +
+ =
+ +
= + +
ii Ring [ ] tidak memuat pembagi nol Ring [ ] tidak memuat pembagi nol, sebab jika diambil sebarang
+ 0, +
0, maka + +
0. ■
Selanjutnya akan dibahas konsep bilangan prima dan unit dalam ring [ ].
2.10 Konsep Norm dan Unit dalam Ring Z[i]