BAB 9 Lingkaran fixs

BAB 9
LINGKARAN
Pada materi ini akan dibahas tentang persamaan lingkaran dan
persamaan garis singgung lingkaran :
A. PERSAMAAN LINGKARAN
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari
– jari r
x2  y2  r2
Rumus :
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik
(0,0) dan berjari – jari 2 2 !
Jawab :





x2  y2  r2 � x2  y2  2 2

2

� x2  y2  8
2. Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari
– jari r

 x a   yb  r2
Rumus :
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di P (3, –
4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 49 = 0 !
Jawab :
Basic concept :
mencari jarak titik (a,b) ke garis px + qy + r = 0 sama
dengan mencari panjang jari – jari lingkaran
2

2

ap bq  r
p2  q2

d=
Jadi, dengan titik ( 3, – 4) dan garis 4x – 3y – 49 = 0,
maka panjang jari – jari lingkaran tersebut :
ap bq  r



3.4  4.  3   49



15
3
5

p q
4   3
d=
maka persamaan lingkaran dengan pusat (3, – 4) dan
menyinggung garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah

2

2

2

111

2

 x 3 2   y 4 2  32
 x 3 2   y 4 2  9
3. Persamaan umum lingkaran
x2  y2  Ax  By  C  0
Contoh :
Tentukan persamaan umum lingkaran dengan pusat (1, 2) dan jari – jari 4 !
Jawab :
 x a 2   yb 2  r2
2
2

�  x 1   y 2  42
� x2  2x 1  y2  4y  4  16
� x2  y2  2x  4y  11  0
4. Menentukan jari – jari lingkaran dan pusat
lingkaran
Metode supertrik :

 1  x  a 2   y  b 2  r2
makapusat e   a,b dan jari  jari  r
 2 jikadiketahui pers e �x2  y2  Ax  By  C  0
1 �
�1
makapusat e  �
 A, B�
2 �
�2
2
2
1
�

� �1 �
Jari  jari  r  �
 A�  � B�  c
�2 � �2 �

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
1. Persamaan garis singgung yang melalui titik
pada lingkaran
x2  y2  r2 pada
 Persamaan garis singgung lingkaran
titik (x1,y1)
Basic concept :
Mencari persamaan garis singgung (P.G.S) lingkaran
x2  y2  r2 pada titik (x ,y ) adalah dengan bagi
1
1
hasil.
Rumus : xx1 + yy1 = r2


Persamaan

 x a

2

garis

  y b  r
2

2

singgung

pada titik (x1,y1)

112

lingkaran

Basic concept :
Mencari persamaan garis singgung (P.G.S) lingkaran

 x a 2   yb 2  r2

pada titik (x1,y1) adalah dengan
bagi hasil.
 x a  x1  a   y b  y1 b  r2
Rumus :
Persamaan



2

garis

singgung

lingkaran

2

x  y  Ax  By  C  0 pada titik (x ,y )
1
1
Basic concept :
Mencari persamaan garis singgung (P.G.S) lingkaran
x2  y2  Ax  By  C  0 pada titik
(x ,y ) adalah
1

1

dengan bagi hasil.

1
1
xx1  yy1  A x x1   B y y1   C  0

2
2
Rumus :

2. Persamaan
tertentu

garis

singgung

dengan

gradien

msejajar  

Jika sejajar garis ax + by = c, maka
Jika tegak lurus garis ax + by




=

x
a

y
b

c,

maka

y b
mtegak lurus  
x a
Rumus P.G.S : y – b = m(x – a) ± r

m2  1

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN
1. UN 2010
Salah
satu

 x 4   y 5
2

2

persamaan

8

garis

singgung

lingkaran

yang sejajar dengan y – 7x + 5 = 0
adalah…
A. y – 7x – 3 = 0
B. y + 7x + 3 = 0
C. – y – 7x – 3 = 0
D. – y + 7x + 43 = 0

113

E. y – 7x + 43 = 0
Pembahasan :
Pusat (4,5) , r =
P.G.S :

8 ;

msejajar  

x
7

7
y
1

y b m x a �r m2  1
y 5 7 x 4 � 8 49 1
y 7x 28 5 �20
* y 7x 23 20 � 7x y 3 0
* y 7x 23 20 � 7x y 43 0
Jawaban:E
2. UN 2011
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12
= 0 di titik (7,1) adalah…
A. 3x – 4y – 41 = 0
B. 4x + 3y – 55 = 0
C. 4x – 5y – 53 = 0
D. 4x + 3y – 31 = 0
E. 4x – 3y – 40 = 0
Pembahasan :
Metode supertrik : langsung subtitusi titik (7,1) ke pilihan
jawaban :
A. 3x 4y 41 0
3 7  4 1  41�0
B. 4x 3y 55 0
4 7  3 1 �0
C. 4x 5y 53 0
4 7  5 1 �0
D. 4x 3y  31  0
4 7  3 1  31  0  benar
E. 4x  3y  40  0
4 7  3 1  40 �0
So : ngeceknya mulai dari options E,D,C,B,dan A
Jawaban:D
3. UN 2012

L� x 1   y 3  9
Lingkaran
memotong garis y = 3. Garis
singgung yang melalui titik potong antara lingkaran dan
garis tersebut adalah…
A. x = 2 dan x = 4
2

2

114

B. x = – 4 dan x = – 2
C. x = – 4 dan x = 2
D. y = 2 dan y = – 4
E. y = – 4 dan y = – 2
Pembahasan :
Metode supertrik : langsung subtitusi ( masukkan) y = 3
ke persamaan lingkaran :

 x 1   3 3  9
2
�  x 1  9 � x 1  �3
2

2

maka:
x 1  3 � x  2
x 1   3 � x   4

Jawaban:C
4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (– 1,– 2) dan
menyinggung garis 3x – 4y – 20 = 0 adalah…
2
2
A. x  y  2x  4y  2  0
2
2
B. x  y  2x  4y  3  0
2
2
C. x  y  2x  4y  4  0
2
2
D. x  y  2x  4y  5  0
2
2
E. x  y  2x  4y  6  0

Pembahasan :
Mencari jari – jari R :
R
R

ap bq  c
p2  q2
1.3   2 . 4   20

32   4
3 8 20 15


3
5
5
Maka, persamaan lingkaran :

 x 1

2

  y 2  32
2
� x  2x 1 y2  4y 4 9 0
� x2  y2  2x  4y  4  0
2

2

Jawaban:C
5. Persamaan lingkaran yang melalui pusat (2, –3) dan
menyinggung sumbu x adalah…

115

 x 2

2

A.

  y 3  9

 x 2

2

B.

  y 3  4

C.

 x 2

D.

 x 2

2

2

2

  y 3  9

2

  y 3  4

2

2

 x 2   y 3  2
E.
Pembahasan :
Metode supertrik : menyinggung sumbu x, jari – jari = x 2
= (2)2 = 4
Jadi,
persamaan
lingkaran
tersebut
adalah
2

 x 2

2

2

  y 3  4
2

Jawaban:B
PAKET SOAL LATIHAN
1. Koordinat titik pusat dan jari – jari lingkaran x 2 + y2 – 4x +
6y + 4 = 0 adalah…
A. Pusat ( - 3, 2) dan R = 3
B. Pusat (3, - 2) dan R = 3
C. Pusat (- 2, - 3) dan R = 4
D. Pusat (2, - 3) dan R = 3
E. Pusat (2,- 3) dan R = 4
2. Diketahui lingkaran x2 + y2 + px + 8y + 9 = 0 mempunyai
jari – jari 4 dan menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran
tersebut adalah…
A. (3,4)
D. (6, - 4)
B. (- 6, - 4)
E. (6,6)
C. (3, - 4)
3. Diketahui persamaan lingkaran : x 2 + y2 – 4x + 2y + c = 0
melalui titik (5, - 1). Jari – jari lingkaran tersebut adalah…
A. 9
D. 3
B. 2 6
E. 7
C. 4
4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (7,5) dan
menyinggung garis x + 5 = 0 adalah…
2
2
A. x  y  14x  10y  70 0
2
2
B. x  y  14x  10y  40 0

116

2
2
C. x  y  14x  10y  70 0
2
2
D. x  y  14x  10y  62 0

E. x  y  14x  10y  85 0
5. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( - 1, - 2) dan
menyinggung garis 3x – 4y – 20 = 0 adalah…
2
2
A. x  y  2x  4y  3  0
2

2

2
2
B. x  y  2x  4y  4  0
2
2
C. x  y  2x  4y  3  0
2
2
D. x  y  2x  4y  4  0
2
2
E. x  y  2x  4y  9  0

6. Persamaan lingkaran yang berpusat di ( - 3, 4) dan
menyinggung sumbu y adalah…
2
2
A. x  y  6x  8y  9 0
2
2
B. x  y  6x  8y  16 0
2
2
C. x  y  6x  8y  9 0
2
2
D. x  y  6x  8y  16 0
2
2
E. x  y  6x  8y  25 0

7. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y2 – 6x + 2y – 15
= 0 pada titik (7,2) adalah…
A. 2x – 7y = 0
D. 4x + 3y – 53 = 0
B. 4x + y – 38 = 0
E. 4x + 3y – 34 = 0
C. 7x + 2y – 53 = 0
8. Salah
satu
persamaan
garis
singgung
lingkaran

 x 4   y 5
2

2

8

yang sejajar dengan garis y = 7x – 14
adalah…
A. y + 7x + 3 = 0
D. – y – 7x – 3 = 0
B. y – 7x – 3 = 0
E. – y + 7x + 43 = 0
C. y – 7x + 43 = 0

 x 4   y 3  40
9. Persamaan garis singgung lingkaran :
yang tegak lurus garis x + 3y + 10 = 0 adalah…
A. y = 3x + 1 dan y = 3x – 30
B. y = 3x + 2 dan y = 3x – 32
C. y = 3x – 2 dan y = 3x + 32
2

117

2

D. y = 3x + 5 dan y = 3x – 35
E. y = 3x – 5 dan y = 3x + 35
10. Lingkaran x2 + y2 – 16x – 12y = 0 memotong sumbu y di p.
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran di titik
p adalah…
A. 4x – 3y + 12 = 0
B. – 4x – 3y + 12 = 0
C. 3x – 4y + 9 = 0
D. – 3x – 4y + 12 = 0
E. 3x – 4y + 12 = 0

118