Estimasi Parameter Menggunakan Maksimum Likelihood

BAB 3 PEMBAHASAN

3.1 Estimasi Parameter Menggunakan Maksimum Likelihood

Andaikan suatu persoalan penentuan model multiple regresi diberikan data sebagai berikut: Tabel 3.1 Penyajian Data Observasi Y 1 X 2 X 1 4 1 1 2 5 2 2 3 5 3 1 4 7 4 3 5 6 5 2 6 6 6 2 7 9 7 3 dengan menentukan regresi yang terdiri dari 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ X X Y β β β + + = . Fungsi nilai kemungkinan untuk 2 1 , , β β β : 2 1 2 1 , , ,..., , β β β n Y Y Y p . Untuk nilai Y bebas dengan mengalikan semua kemungkinan bersama, dimana: 2 1 2 1 , , ,..., , β β β n Y Y Y p                  =       + + − −       + + − − 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 σ β β β σ β β β π σ π σ i i i i x x Y x x Y e e Universitas Sumatera Utara ∏ =       + + − −         = n i x x Y i i i e 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 σ β β β π σ Dengan ∏ = n i 1 menyatakan hasil kali n kemungkinan bersama untuk nilai Y i yang penggunaannya dikenal untuk eksponensial. Hasil di atas dapat diperlihatkan dengan penjumlahan eksponen: 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , ,..., , ∑       + + − − =       = n i i i i x x Y n n e Y Y Y p σ β β β π σ β β β 3.1 Mengingat Y i amatan yang diberikan dipertimbangkan untuk berbagai nilai 2 1 , , β β β . Sehingga persamaan 3.1 di atas dinamakan fungsi likelihood: ∑ = =       − − − − n i i i i x x Y n e L 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 , , σ β β β π σ β β β 3.2 dimana: 2 1 , , β β β L = fungsi maksimum likelihood pada parameter 2 1 , , β β β σ = parameter yang merupakan simpangan baku untuk distribusi π = nilai konstan π = 3,1416 n = banyak data sampel e = bilangan konstan e = 2,7183 Y i = variabel terikat ke-i i β = parameter regresi ke-i Maka ln 2 1 , , β β β L adalah: ∑ =       − − − − − − = = Λ n i i i i x x Y n n L 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 ln 2 ln 2 , , ln σ β β β σ π β β β 3.3 Universitas Sumatera Utara Setelah diperoleh nilai Λ maka perhitungan differensialnya untuk 2 1 , , β β β dan menetapkan derivatif parsial yang dihasilkan sama dengan nol, yaitu: 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 = = → = − − − = = − − − = ∂ Λ ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = n i i n i i n i i n i i n i i n i i i i x x x x n Y x x Y β β β β β β σ β Y n Y n i i = = ⇒ ∑ =1 ˆ β 3.4 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 = → = + + + − = = − − − − = ∂ Λ ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = n i i n i i i n i i n i i n i i i n i i i i i x x x x x Y x x x Y x β β β β β β σ β 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 = + + − ⇒ ∑ ∑ ∑ = = = n i i i n i i n i i i x x x Y x β β 3.5 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 = → = + + + − = = − − − − = ∂ Λ ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = n i i n i i n i i i n i i n i i i n i i i i i x x x x x Y x x x Y x β β β β β β σ β 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 = + + − ⇒ ∑ ∑ ∑ = = = n i i n i i i n i i i x x x Y x β β 3.6 Dari persoalan di atas diperoleh: Universitas Sumatera Utara Substitusi nilai-nilai tabel di atas ke dalam persamaan 3.4, 3.5 dan 3.6: 6 ˆ 1 = = = ⇒ ∂ Λ ∂ ∑ = Y n Y n i i β β 7 28 18 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 = + + − = + + − = ∂ Λ ∂ ∑ ∑ ∑ = = = β β β β β n i i i n i i n i i i x x x Y x 18 7 28 2 1 = + ⇒ β β 3.7 4 7 7 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 = + + − = + + − = ∂ Λ ∂ ∑ ∑ ∑ = = = β β β β β n i i n i i i n i i i x x x Y x 7 4 7 2 1 = + ⇒ β β 3.8 Dengan menggunakan persamaan 3.7 dan 3.8 diperoleh nilai 3651 , ˆ 1 = β dan 1111 , 1 ˆ 2 = β . Maka persamaan multiple regresinya menjadi: 2 1 2 1 2 1 1111 , 1 3651 , 3174 , 2 2 1111 , 1 4 3651 , 6 1111 , 1 3651 , 6 ˆ X X X X x x Y + + = − + − + = + + =

3.2 Menentukan Persamaan Multiple Regresi dengan Matriks