ii. Misalkan , karena
berarti ada sehingga . Maka
berarti maka
. Misalkan .
Akan dibuktikan adalah transformasi dari
atau dan jika
dan maka
. Misalkan
karena , berarti ada sedemikian sehingga
atau maka maka
. Misalkan dan
, maka dan , tetapi berarti dan
adalah sebuah transformasi.
C. Masalah Program Linear
Program linear
linear programming
, adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik riset operasi yang diterapkan dalam berbagai bidang
yang memakai model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Dengan demikian setiap persoalan yang dihadapi dalam suatu sistem
permasalahan, haruslah dapat dirumuskan dalam simbol-simbol matematika tertentu. Misalnya di bidang ekonomi, masalah memaksimumkan laba dan
meminimumkan ongkos produksi. Manusia cenderung untuk hidup berprinsipkan ekonomi dengan usaha sedikit dapat memperoleh hasil
sebanyak mungkin. Suatu perusahaan mempunyai kendala terbatasnya sumber input produksi dan berupaya mengoptimalkan output produksi untuk
memenuhi permintaan pasar dan mengoptimalkan penggunaan sumber produksi yang dimiliki. Permasalahan tersebut ada di dalam dunia nyata,
sedangkan simbol matematika adalah dunia abstraksi yang dibuat sedemikian rupa sehingga mendekati kenyataan. Tujuan program linear adalah membantu
dalam mengambil keputusan yang terbaik dari sekian banyak alternatif yang tersedia.
Kelahiran teknik program linear ini berasal dari seorang ahli matematika bangsa Amerika Serikat yang bernama Dr. George Dantzig, yaitu dengan
dikembangkannya metode simpleks pada tahun 1947. Pada tahun itu, Dantzig merupakan salah seorang teknokrat yang tergabung dalam kelompok Riset
Operasi dari Angkatan Udara Amerika Serikat. Sebelum lahirnya karya Dantzig yang sistematis, telah terdapat pula berbagai ahli matematika lainnya
yang melahirkan teknik-teknik penyelesaian masalah dengan memakai pendekatan aljabar linear aljabar matriks pada tahun 1930-an.
Penerapan program linear untuk pertama kalinya di bidang perencanaan militer, khususnya dalam Perang Dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika
Serikat dan Inggris. Sejak itulah bersamaan dengan berkembangnya waktu, pembagunan dan teknologi, teknik-teknik program linear dengan cepat
menjalar dan diterapkan dalam berbagai bidang dan disiplin ilmu dalam rangka memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi.
Dalam merumuskan masalah program linear, diperlukan adanya fungsi sasaran dan kendala-kendala.
Definisi 2.37 Fungsi Sasaran Fungsi sasaran dalam masalah program linear dapat dinyatakan sebagai
2.29 dengan
n
merupakan bilangan bulat yang menyatakan banyaknya variabel, merupakan variabel ke-
j
, dan merupakan koefisien ongkos dari
variabel ke-
j
, dengan .
Kendala-kendala dibagi dua, yakni kendala utama dan kendala tak negatif.
Definisi 2.38 Kendala utama Kendala utama masalah program linear berbentuk
2.30 dengan
m
merupakan banyaknya persamaan, merupakan koefisien
variabel ke-
j
pada persamaan ke-
i
dan menyatakan konstanta di ruas
kanan untuk persamaan ke-
i
.
Definisi 2.39 Kendala Tak Negatif Kendala tak negatif berbentuk
2.31 Bentuk standart masalah program linear dapat dituliskan sebagai berikut:
Minimumkan 2.32
dengan kendala
2.33
dengan dan
adalah konstanta real, , dan
tidak semua sama dengan nol, untuk .
Fungsi sasaran 2.32 dan sistem pertidaksamaan linear 2.33 di atas dapat dituliskan dengan notasi matriks sebagai berikut:
Minimumkan
2.34
dengan kendala
2.35
Atau dapat ditulis Minimumkan
2.36 dengan kendala
2.37
Dalam masalah program linear timbul hubungan dual antara dua soal program linear tertentu dan masing-masing penyelesaian optimumnya akan
berkaitan. Bentuk umum masalah primal-dual adalah sebagai berikut:
Masalah primal P: Meminimumkan
2.38 Dengan kendala
, 2.39
. 2.40
Masalah Dual D: Maksimumkan
2.41 Dengan kendala
2.42 2.43
dengan x adalah penyelesaian dari soal primal dan y adalah penyelesaian dari
soal dual. Perhatikan bahwa vektor suku tetap dalam 2.39 menjadi vektor ongkos dalam 2.41 dan sebaliknya vektor ongkos dalam 2.38 menjadi
vektor suku tetap dalam 2.42. Sedangkan koefisien matriks kendala 2.39 adalah transpose matriks koefisien dalam 2.42.
Definisi 2.40 Titik Layak dan Daerah Layak
Suatu titik yang memenuhi semua kendala pada
persamaan 2.30 dan 2.31 disebut titik layak
feasible point
atau penyelesaian layak
feasible solution.
Himpunan dari titik layak-titik layak
disebut daerah layak
feasible region
atau himpunan layak
feasible set
dan dinotasikan oleh S.
Pada umumnya sistem pertidaksamaan linear 2.30 mempunyai penyelesaian takhingga banyak. Di antara penyelesaian-penyelesaian tersebut
dicari juga yang memenuhi 2.31, dan pada umumnya masih mempunyai penyelesaian takhingga banyak. Kemudian di antara penyelesaian layak yang
takhingga banyak ini dicari yang meminimumkan fungsi sasaran, maka akan diperoleh penyelesaian optimum.
Definisi 2.41 Penyelesaian optimum
Penyelesaian layak yang juga mengoptimumkan
f
disebut penyelesaian optimum.
BAB III METODE KARMARKAR
Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan atau pertidaksamaan
linear. Untuk menyelesaikan masalah dalam program linear, selain menggunakan metode grafik atau metode simpleks yang sudah umum digunakan dapat juga
diselesaikan dengan menggunakan metode titik-interior. Titik-interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah layak. Ada dua langkah yang diperlukan
dari metode titik-interior, yaitu mencari arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi, dan menentukan besar langkah yang
menghasilkan titik baru yang berada pada daerah layak sesuai arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran.
Algoritma titik-interior dapat dibagi dalam empat kelas utama, yaitu
affine scaling methods
, metode proyektif atau lebih dikenal dengan metode Karmarkar,
path-following methods
, dan
potential-reduction methods
. Dalam bagian ini akan dibahas metode Karmarkar. Disebut metode proyektif karena tranformasi yang
digunakan adalah
tranformasi proyektif.
Pada tahun
1984, seorang
matematikawan dari laboratorium AT T Bell Laboratories bernama Narendra Karmarkar berhasil mengemukakan suatu algoritma baru untuk menyelesaikan
masalah program linear yang besar dalam waktu yang cukup singkat yang tidak bisa dilakukan oleh metode simpleks. Metode Karmarkar untuk menyelesaikan
masalah program linear pada dasarnya berbeda dari metode simpleks yaitu bahwa
