Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Standar ke Bentuk Kanonik
Langkah 1: Kombinasikan masalah primal dan dual
Bila masalah primal dalam persamaan 3.16 dan malasah dual dalam persamaan 3.17 dikombinasikan akan diperoleh sistem berikut ini:
3.18
Lemma 3.1 Misalkkan x dan
masing-masing adalah penyelesaian layak untuk masalah program linear primal dan dual, maka
.
Bukti :
Karena x dan
adalah penyelesaian layak, maka , , dan . Bila kedua sisi dari pertidaksamaan
dikalikan dengan maka dihasilkan
. Karena , maka atau
Teorema 3.4
Misalkan dan
masing-masing adalah penyelesaian layak untuk primal dan dual. Jika
, maka dan
adalah penyelesaian optimum untuk masing-masing masalah.
Bukti :
Misalkan x adalah sembarang penyelesaian layak untuk masalah primal.
Karena adalah suatu peyelesaian layak untuk dual, maka dengan lemma
dualitas Lemma 3.1 diperoleh
. Jadi jika , maka
. Karena itu adalah penyelesaian optimum untuk
masalah primal. Di lain pihak, misalkan
adalah sembarang penyelesaian layak untuk masalah dual. Karena
adalah suatu penyelesaian layak untuk primal, maka dengan lemma dualitas Lemma 3.1 diperoleh
. Oleh karena itu, jika
, maka . Karena itu
adalah penyelesaian optimum untuk masalah dual.
Langkah 2: Menambahkan variabel pengetat
Berdasarkan Teorema 3.4 masalah program linear asli dapat diselesaikan jika dan hanya jika dapat ditemukan suatu pasangan
sehingga memenuhi relasi dari himpunan pada persamaan 3.18. Selanjutnya dapat
diberikan variabel pengetat u dan surplus v, untuk mendapatkan himpunan
relasi yang ekuivalen berikut:
3.19
Langkah 3: Bentuk variabel semu untuk mendapatkan titik interior awal.
Misalkan ,
, , dan
adalah titik-titik yang memenuhi
, ,
, dan . Sebagai contoh, dapat
memilih dan demikian juga dengan
, dan .
Pertimbangkan masalah program linear berikut yang disebut sebagai masalah Karmarkar semu
Minimumkan Dengan kendala
3.20
Perhatikan bahwa titik berikut adalah suatu titik interior tegas untuk masalah 3.20 di atas.
3.21
Selanjutnya nilai minimum dari fungsi sasaran untuk masalah Karmarkar semu adalah nol jika dan hanya jika himpunan relasi sebelumnya
pada persamaan 3.19 memiliki penyelesaian yakni ada yang
memenuhi. Oleh karena itu, masalah program linear Karmarkar semu ekuivalen ke masalah program linear asli pada persamaan 3.16.
Perbedaan utama antara masalah program linear asli di atas dan masalah Karmarkar semu adalah bahwa terdapat titik layak interior tegas yang
eksplisit untuk masalah Karmarkar semu, sehingga harus dipenuhi asumsi yang telah ditentukan pada bab awal asumsi-asumsi dalam masalah
Karmarkar.
Langkah 4: Mengubah notasi
Untuk mempermuda deskripsi dengan menulis ulang masalah 3.20 di atas dapat diwakili dalam notasi matriks berikut
Minimumkan Dengan kendala
3.22
dimana
3.23
Langkah 5: Menentukan transformasi proyektif dari
ortan positif
ke simpleks Pertama akan ditunjukkan sebuah cara sederhana untuk mengubah
masalah di atas ke dalam bentuk kanonik Karmarkar, dengan mengabaikan syarat untuk memenuhi asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah
Karmarkar. Untuk ini, definisikan sebuah variabel baru dengan
. Juga definisikan dan
. Dengan menggunakan notasi ini masalah program linear pada persamaan 3.22 dapat
ditulis ulang menjadi
Minimumkan Dengan kendala
, 3.24
Diperlukan satu langkah lagi untuk mengubah masalah tersebut ke dalam bentuk yang memuat kendala yang jumlah variabel keputusannya adalah 1.
Untuk ini, misalkan , dimana
Transformasi dari
x
ke
y
ini disebut transformasi proyeksi. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa
Oleh karena itu, masalah program linear yang diberikan dalam bentuk standar telah ditransformasikan kemasalah di bawah ini, yakni dalam bentuk
kanonik Karmarkar:
Minimumkan
,
Dengan kendala ,
Teknik transformasi di atas dapat diubah sedikit untuk menjamin bahwa asumsi a dipenuhi. Pertama dengan menganggap bahwa diberikan suatu titik
yang merupakan titik layak interior tegas, yaitu
, dan
. Akan ditunjukkan bagaimana asumsi tersebut dapat dipenuhi. Misalkan merupakan
positive orthant
dari , yakni
. Misalkan menjadi simpleks di
. Definisikan pemetaan
dengan
dimana
Pemetakaan T disebut transformasi proyeksi dari
positive orthant
kedalam simpleks
. Transformasi T
memiliki beberapa sifat menarik. Secara khusus, dapat ditemukan vektor
dan matriks sehingga untuk setiap
,
Perhatikan bahwa untuk setiap , mempunyai
, selain itu
. Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk setiap
Sebagai aplikasi dari teorema yang sudah dibahas di atas, pertimbangkan masalah program linear berikut :
Minimumkan Dengan kendala
, 3.25
y
Perhatikan bahwa masalah program linear pada persamaan 3.25 adalah dalam bentuk kanonik Karmarkar. Selanjutnya dalam definisi
dan , masalah
program linear di atas ekuivalen dengan masalah asli dalam bentuk standar. Dengan demikian, masalah program linear dalam bentuk standar telah diubah ke
masalah ekuivalen dalam bentuk kanonik Karmarkar. Selain itu, karena a adalah
titik layak interior tegas, dan adalah pusat dari simpleks , maka titik
adalah titik layak dari masalah yang ditransformasikan, oleh karena itu asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah program linear dipenuhi untuk masalah
program linear di atas.
Berdasarkan uraian di atas maka mengubah masalah program linear bentuk standar ke bentuk kanonik Karmarkar dapat dirangkum mengikuti langkah-
langkah berikut: Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar:
Minimumkan Dengan kendala
,
Masalah dual dari bentuk standar adalah Maksimumkan
Dengan kendala ,
Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menjelaskan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik Karmarkar.
1. Kombinasikan masalah primal dan dual.
2.
Menambahkan variabel pengetat .
3. Bentuk variabel semu untuk mendapatkan titik interior awal.
Minimumkan Dengan kendala
4. Mengubah notasi.
Minimumkan Dengan kendala
dimana
5. Menentukan transformasi proyektif dari ortan positif ke simpleks.
a. Tentukan titik
yang memenuhi
, dan .
b. Dengan menggunakan masalah program linear pada langkah 4 dapat
di tulis ulang menjadi
Minimumkan
,
dengan kendala ,
dengan
Berikut ini adalah contoh untuk menunjukkan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik Karmarkar.
Contoh 3.2:
Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan
dengan kendala
Ubahlah masalah program linear diatas ke dalam bentuk kanonik Karmarkar.
Penyelesaian
Minimumkan
dengan kendala
Bentuk dual dari masalah Program Linear diatas adalah:
Maksimumkan
dengan kendala
Langkah 1: Kombinasikan masalah primal dan dual
Langkah 2: Menambah variabel pengetat dan
, sehingga diperoleh sistem
Langkah 3: Bentuk variabel semu z untuk mendapatkan titik interior awal yang memenuhi
Minimumkan z
dengan kendala
atau dapat ditulis Minimumkan
z
dengan kendala
Langkah 4: Mengubah notasi
Minimumkan dengan kendala
dimana
Langkah 5: Menentukan transformasi proyektif dari ortan positif ke simpleks
Langkah pertama dengan mencari suatu titik yang memenuhi
dan , dimana seperti pada langkah 4. Dengan melakukan
operasi baris elementer pada matriks sampai memperoleh bentuk eselon
baris, dan dengan mengambil nilai random maka diperoleh akan .
Selanjutnya seperti yang telah dibuktikan pada Teorema 3.2 dan Teorema 3.3 dapat ditemukan vektor
dan matriks dimana
Sehingga diperoleh bentuk kanonik Karmarkar
Minimumkan
,
dengan kendala ,
dengan