Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Standar ke Bentuk Kanonik

Langkah 1: Kombinasikan masalah primal dan dual Bila masalah primal dalam persamaan 3.16 dan malasah dual dalam persamaan 3.17 dikombinasikan akan diperoleh sistem berikut ini: 3.18 Lemma 3.1 Misalkkan x dan masing-masing adalah penyelesaian layak untuk masalah program linear primal dan dual, maka . Bukti : Karena x dan adalah penyelesaian layak, maka , , dan . Bila kedua sisi dari pertidaksamaan dikalikan dengan maka dihasilkan . Karena , maka atau Teorema 3.4 Misalkan dan masing-masing adalah penyelesaian layak untuk primal dan dual. Jika , maka dan adalah penyelesaian optimum untuk masing-masing masalah. Bukti : Misalkan x adalah sembarang penyelesaian layak untuk masalah primal. Karena adalah suatu peyelesaian layak untuk dual, maka dengan lemma dualitas Lemma 3.1 diperoleh . Jadi jika , maka . Karena itu adalah penyelesaian optimum untuk masalah primal. Di lain pihak, misalkan adalah sembarang penyelesaian layak untuk masalah dual. Karena adalah suatu penyelesaian layak untuk primal, maka dengan lemma dualitas Lemma 3.1 diperoleh . Oleh karena itu, jika , maka . Karena itu adalah penyelesaian optimum untuk masalah dual. Langkah 2: Menambahkan variabel pengetat Berdasarkan Teorema 3.4 masalah program linear asli dapat diselesaikan jika dan hanya jika dapat ditemukan suatu pasangan sehingga memenuhi relasi dari himpunan pada persamaan 3.18. Selanjutnya dapat diberikan variabel pengetat u dan surplus v, untuk mendapatkan himpunan relasi yang ekuivalen berikut: 3.19 Langkah 3: Bentuk variabel semu untuk mendapatkan titik interior awal. Misalkan , , , dan adalah titik-titik yang memenuhi , , , dan . Sebagai contoh, dapat memilih dan demikian juga dengan , dan . Pertimbangkan masalah program linear berikut yang disebut sebagai masalah Karmarkar semu Minimumkan Dengan kendala 3.20 Perhatikan bahwa titik berikut adalah suatu titik interior tegas untuk masalah 3.20 di atas. 3.21 Selanjutnya nilai minimum dari fungsi sasaran untuk masalah Karmarkar semu adalah nol jika dan hanya jika himpunan relasi sebelumnya pada persamaan 3.19 memiliki penyelesaian yakni ada yang memenuhi. Oleh karena itu, masalah program linear Karmarkar semu ekuivalen ke masalah program linear asli pada persamaan 3.16. Perbedaan utama antara masalah program linear asli di atas dan masalah Karmarkar semu adalah bahwa terdapat titik layak interior tegas yang eksplisit untuk masalah Karmarkar semu, sehingga harus dipenuhi asumsi yang telah ditentukan pada bab awal asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar. Langkah 4: Mengubah notasi Untuk mempermuda deskripsi dengan menulis ulang masalah 3.20 di atas dapat diwakili dalam notasi matriks berikut Minimumkan Dengan kendala 3.22 dimana 3.23 Langkah 5: Menentukan transformasi proyektif dari ortan positif ke simpleks Pertama akan ditunjukkan sebuah cara sederhana untuk mengubah masalah di atas ke dalam bentuk kanonik Karmarkar, dengan mengabaikan syarat untuk memenuhi asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar. Untuk ini, definisikan sebuah variabel baru dengan . Juga definisikan dan . Dengan menggunakan notasi ini masalah program linear pada persamaan 3.22 dapat ditulis ulang menjadi Minimumkan Dengan kendala , 3.24 Diperlukan satu langkah lagi untuk mengubah masalah tersebut ke dalam bentuk yang memuat kendala yang jumlah variabel keputusannya adalah 1. Untuk ini, misalkan , dimana Transformasi dari x ke y ini disebut transformasi proyeksi. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa Oleh karena itu, masalah program linear yang diberikan dalam bentuk standar telah ditransformasikan kemasalah di bawah ini, yakni dalam bentuk kanonik Karmarkar: Minimumkan , Dengan kendala , Teknik transformasi di atas dapat diubah sedikit untuk menjamin bahwa asumsi a dipenuhi. Pertama dengan menganggap bahwa diberikan suatu titik yang merupakan titik layak interior tegas, yaitu , dan . Akan ditunjukkan bagaimana asumsi tersebut dapat dipenuhi. Misalkan merupakan positive orthant dari , yakni . Misalkan menjadi simpleks di . Definisikan pemetaan dengan dimana Pemetakaan T disebut transformasi proyeksi dari positive orthant kedalam simpleks . Transformasi T memiliki beberapa sifat menarik. Secara khusus, dapat ditemukan vektor dan matriks sehingga untuk setiap , Perhatikan bahwa untuk setiap , mempunyai , selain itu . Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk setiap Sebagai aplikasi dari teorema yang sudah dibahas di atas, pertimbangkan masalah program linear berikut : Minimumkan Dengan kendala , 3.25 y Perhatikan bahwa masalah program linear pada persamaan 3.25 adalah dalam bentuk kanonik Karmarkar. Selanjutnya dalam definisi dan , masalah program linear di atas ekuivalen dengan masalah asli dalam bentuk standar. Dengan demikian, masalah program linear dalam bentuk standar telah diubah ke masalah ekuivalen dalam bentuk kanonik Karmarkar. Selain itu, karena a adalah titik layak interior tegas, dan adalah pusat dari simpleks , maka titik adalah titik layak dari masalah yang ditransformasikan, oleh karena itu asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah program linear dipenuhi untuk masalah program linear di atas. Berdasarkan uraian di atas maka mengubah masalah program linear bentuk standar ke bentuk kanonik Karmarkar dapat dirangkum mengikuti langkah- langkah berikut: Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan Dengan kendala , Masalah dual dari bentuk standar adalah Maksimumkan Dengan kendala , Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menjelaskan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik Karmarkar. 1. Kombinasikan masalah primal dan dual. 2. Menambahkan variabel pengetat . 3. Bentuk variabel semu untuk mendapatkan titik interior awal. Minimumkan Dengan kendala 4. Mengubah notasi. Minimumkan Dengan kendala dimana 5. Menentukan transformasi proyektif dari ortan positif ke simpleks. a. Tentukan titik yang memenuhi , dan . b. Dengan menggunakan masalah program linear pada langkah 4 dapat di tulis ulang menjadi Minimumkan , dengan kendala , dengan Berikut ini adalah contoh untuk menunjukkan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik Karmarkar. Contoh 3.2: Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan dengan kendala Ubahlah masalah program linear diatas ke dalam bentuk kanonik Karmarkar. Penyelesaian Minimumkan dengan kendala Bentuk dual dari masalah Program Linear diatas adalah: Maksimumkan dengan kendala Langkah 1: Kombinasikan masalah primal dan dual Langkah 2: Menambah variabel pengetat dan , sehingga diperoleh sistem Langkah 3: Bentuk variabel semu z untuk mendapatkan titik interior awal yang memenuhi Minimumkan z dengan kendala atau dapat ditulis Minimumkan z dengan kendala Langkah 4: Mengubah notasi Minimumkan dengan kendala dimana Langkah 5: Menentukan transformasi proyektif dari ortan positif ke simpleks Langkah pertama dengan mencari suatu titik yang memenuhi dan , dimana seperti pada langkah 4. Dengan melakukan operasi baris elementer pada matriks sampai memperoleh bentuk eselon baris, dan dengan mengambil nilai random maka diperoleh akan . Selanjutnya seperti yang telah dibuktikan pada Teorema 3.2 dan Teorema 3.3 dapat ditemukan vektor dan matriks dimana Sehingga diperoleh bentuk kanonik Karmarkar Minimumkan , dengan kendala , dengan

E. Algoritma Karmarkar

Pada bagian ini akan dibahas algoritma Karmarkar, dengan mengingat bahwa masalah program linear yang akan diselesaikan adalah masalah Karmarkar yang terbatas, yaitu masalah dari bentuk kanonik Karmarkar yang memenuhi asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar. Perhatikan kembali masalah Karmarkar berikut Minimumkan dengan kendala dengan , dan . Algoritma Karmarkar adalah algoritma iteratif, yakni diberikan titik awal