I PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Pertumbuhan ekonomi
adalah pertambahan tingkat pendapatan per kapita
yang terjadi di suatu negara dari tahun ke tahun.
Pertumbuhan ekonomi
tersebut merupakan salah satu indikator keberhasilan
pembangunan. Oleh karena itu, negara-negara di seluruh dunia, baik negara miskin maupun
kaya, yang menganut sistem kapitalis, sosialis, maupun campuran, sangat menginginkan
pertumbuhan ekonomi terjadi di negaranya.
Pertumbuhan ekonomi
suatu negara
menunjukkan suatu perkembangan kegiatan ekonomi dari suatu periode ke periode
berikutnya. Kegiatan ekonomi yang dimaksud akan menghasilkan pendapatan output,
sehingga
pertumbuhan ekonomi
pada dasarnya
menunjukkan perkembangan
pendapatan dari suatu periode ke periode berikutnya.
Pendapatan digunakan untuk kegiatan dalam bentuk pengeluaran atau belanja
negara, seperti pembelian barang dan jasa. Pembelian tersebut dapat dinikmati langsung
enjoyment atau tidak dapat dinikmati langsung disutilitas oleh masyarakat. Bagian
pendapatan yang tidak habis digunakan untuk pengeluaran belanja negara disebut tabungan
nasional.
Tabungan nasional membentuk akumulasi modal yang pada periode berikutnya akan
diinvestasikan kembali
dengan tujuan
memperbesar pendapatan. Oleh karena itu, tabungan merupakan salah satu faktor penentu
pertumbuhan ekonomi suatu negara. Menabung merupakan suatu penghematan
ketika masyarakat melakukan konsumsi. Kegiatan
konsumsi tersebut
akan menghasilkan
enjoyment, yang
apabila dilakukan penghematan secara terus menerus
akan menuju
pada tingkat
enjoyment maksimum. Menurut Ramsey 1928, solusi
untuk menentukan tabungan optimal adalah dengan cara meminimumkan selisih antara
kepuasan yang dinikmati secara langsung enjoyment dengan tingkat maksimumnya
bliss. Pada karya ilmiah ini, akan dibahas masalah peminimuman dengan menggunakan
metode kalkulus variasi yang kemudian akan dicari proporsi tabungannya dengan kasus
khusus,
yaitu tabungan
diperoleh dari
unearned income atau pendapatan di luar upah. Selanjutnya, akan dianalisis pengaruh
parameter, yaitu tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan
uneared income tersebut. 1.2 Tujuan
Tujuan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah
1. Menentukan proporsi tabungan optimal
unearned income, 2.
Menganalisis pengaruh tingkat diskon dan tingkat suku bunga dari proporsi
tabungan optimal unearned income.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang
digunakan dalam karya ilmiah ini
.
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Fungsi Dua Variabel
Suatu fungsi dari dua variabel adalah suatu aturan yang memetakan setiap pasangan
terurut di ke tepat satu bilangan real
di yang dinyatakan .
Himpunan adalah daerah asal fungsi dan daerah hasilnya adalah himpunan nilai-
nilai di , ditulis
. Stewart 2001
Turunan
Turunan fungsi pada bilangan
dinyatakan dengan adalah
jika limit ini ada. Jika
, maka dan
mendekati 0 jika dan hanya jika mendekati . Sehingga dapat ditulis
Stewart 2001
Integral Tentu
Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk
, kita bagi selang menjadi
selang bagian berlebar sama . Misalkan
berupa titik ujung selang bagian ini dan
pilih titik sampel di dalam selang
bagian ini, sehingga terletak dalam selang-
bagian ke- , . Definisi integral tentu
dari sampai adalah
Stewart 2001 Turunan Parsial
1. Turunan parsial terhadap
di adalah
2. Turunan parsial terhadap
di adalah
Turunan parsial dari fungsi dua variabel adalah berupa fungsi lain yaitu
dan yang didefinisikan
Notasi untuk Turunan Parsial adalah misalkan , maka
Stewart, 2001 Aturan Rantai
Jika dan
keduanya dapat
didiferensialkan, dan
F f
g
adalah fungsi komposisi
yang didefinisikan
oleh
F x f g x
, maka
dapat didiferensialkan menjadi
yang diberikan oleh hasil kali
. F
x f
g x g
x
Jika dan
keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Andaikan adalah fungsi dari
dan yang
terdiferensialkan, dengan
x g t
dan dua-duanya adalah
fungsi dari yang terdiferensialkan. Maka adalah fungsi dari yang terdiferensiasikan
dan
Stewart 2001 Sistem Dinamik
Sistem Dinamik SD adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu.
Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut:
dengan f x merupakan fungsi dari x. Kreyszig 1993
Sistem Persamaan Diferensial Linear
Suatu persamaan diferensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut:
Dengan fungsi terhadap . Jika
maka persamaan di atas disebut persamaan diferensial linear homogen dan jika
maka disebut persamaan diferensial linear takhomogen.
Farlow 1994
Metode Pengintegralan
Persamaan Diferensial Orde Pertama
Misalkan diberikan
bentuk umum
persamaan diferensial linear orde pertama 2.1
Dengan menggunakan
metode faktor
pengintegralan yang dinotasikan oleh dapat diperoleh
2.2 untuk
mencari ,
persamaan 2.2
diturunkan dan disederhanakan menjadi
2.3 Jika diasumsikan
, maka didapatkan 2.4
lalu dengan mengintegralkan kedua ruas didapatkan
2.5 dengan
dan adalah semua
kumpulan anti derivatif . Selanjutnya,
kalikan kedua ruas pada persamaan 2.1 dengan faktor pengintegralan, sehingga
2.6 Eliminasi persamaan 2.2 dengan persamaan
2.6, sehingga diperoleh
2.7 substitusikan faktor pengintegralan
yang berasal dari persamaan 2.5 ke persamaan
2.7, akibatnya 2.8
Integralkan kedua ruas pada persamaan 2.8. Sehingga diperoleh
dan didapatkan solusi umumnya yaitu
2.9 Farlow 1994
2.2 Istilah Ekonomi Pertumbuhan Ekonomi