Sistem Persamaan Diferensial Fungsi Dua Variabel

I PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Pertumbuhan ekonomi adalah pertambahan tingkat pendapatan per kapita yang terjadi di suatu negara dari tahun ke tahun. Pertumbuhan ekonomi tersebut merupakan salah satu indikator keberhasilan pembangunan. Oleh karena itu, negara-negara di seluruh dunia, baik negara miskin maupun kaya, yang menganut sistem kapitalis, sosialis, maupun campuran, sangat menginginkan pertumbuhan ekonomi terjadi di negaranya. Pertumbuhan ekonomi suatu negara menunjukkan suatu perkembangan kegiatan ekonomi dari suatu periode ke periode berikutnya. Kegiatan ekonomi yang dimaksud akan menghasilkan pendapatan output, sehingga pertumbuhan ekonomi pada dasarnya menunjukkan perkembangan pendapatan dari suatu periode ke periode berikutnya. Pendapatan digunakan untuk kegiatan dalam bentuk pengeluaran atau belanja negara, seperti pembelian barang dan jasa. Pembelian tersebut dapat dinikmati langsung enjoyment atau tidak dapat dinikmati langsung disutilitas oleh masyarakat. Bagian pendapatan yang tidak habis digunakan untuk pengeluaran belanja negara disebut tabungan nasional. Tabungan nasional membentuk akumulasi modal yang pada periode berikutnya akan diinvestasikan kembali dengan tujuan memperbesar pendapatan. Oleh karena itu, tabungan merupakan salah satu faktor penentu pertumbuhan ekonomi suatu negara. Menabung merupakan suatu penghematan ketika masyarakat melakukan konsumsi. Kegiatan konsumsi tersebut akan menghasilkan enjoyment, yang apabila dilakukan penghematan secara terus menerus akan menuju pada tingkat enjoyment maksimum. Menurut Ramsey 1928, solusi untuk menentukan tabungan optimal adalah dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung enjoyment dengan tingkat maksimumnya bliss. Pada karya ilmiah ini, akan dibahas masalah peminimuman dengan menggunakan metode kalkulus variasi yang kemudian akan dicari proporsi tabungannya dengan kasus khusus, yaitu tabungan diperoleh dari unearned income atau pendapatan di luar upah. Selanjutnya, akan dianalisis pengaruh parameter, yaitu tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan uneared income tersebut. 1.2 Tujuan Tujuan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Menentukan proporsi tabungan optimal unearned income, 2. Menganalisis pengaruh tingkat diskon dan tingkat suku bunga dari proporsi tabungan optimal unearned income. II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini .

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Fungsi Dua Variabel

Suatu fungsi dari dua variabel adalah suatu aturan yang memetakan setiap pasangan terurut di ke tepat satu bilangan real di yang dinyatakan . Himpunan adalah daerah asal fungsi dan daerah hasilnya adalah himpunan nilai- nilai di , ditulis . Stewart 2001 Turunan Turunan fungsi pada bilangan dinyatakan dengan adalah jika limit ini ada. Jika , maka dan mendekati 0 jika dan hanya jika mendekati . Sehingga dapat ditulis Stewart 2001 Integral Tentu Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk , kita bagi selang menjadi selang bagian berlebar sama . Misalkan berupa titik ujung selang bagian ini dan pilih titik sampel di dalam selang bagian ini, sehingga terletak dalam selang- bagian ke- , . Definisi integral tentu dari sampai adalah Stewart 2001 Turunan Parsial 1. Turunan parsial terhadap di adalah 2. Turunan parsial terhadap di adalah Turunan parsial dari fungsi dua variabel adalah berupa fungsi lain yaitu dan yang didefinisikan Notasi untuk Turunan Parsial adalah misalkan , maka Stewart, 2001 Aturan Rantai Jika dan keduanya dapat didiferensialkan, dan F f g  adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh F x f g x , maka dapat didiferensialkan menjadi yang diberikan oleh hasil kali . F x f g x g x Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Andaikan adalah fungsi dari dan yang terdiferensialkan, dengan x g t dan dua-duanya adalah fungsi dari yang terdiferensialkan. Maka adalah fungsi dari yang terdiferensiasikan dan Stewart 2001 Sistem Dinamik Sistem Dinamik SD adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut: dengan f x merupakan fungsi dari x. Kreyszig 1993 Sistem Persamaan Diferensial Linear Suatu persamaan diferensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut: Dengan fungsi terhadap . Jika maka persamaan di atas disebut persamaan diferensial linear homogen dan jika maka disebut persamaan diferensial linear takhomogen. Farlow 1994 Metode Pengintegralan Persamaan Diferensial Orde Pertama Misalkan diberikan bentuk umum persamaan diferensial linear orde pertama 2.1 Dengan menggunakan metode faktor pengintegralan yang dinotasikan oleh dapat diperoleh 2.2 untuk mencari , persamaan 2.2 diturunkan dan disederhanakan menjadi 2.3 Jika diasumsikan , maka didapatkan 2.4 lalu dengan mengintegralkan kedua ruas didapatkan 2.5 dengan dan adalah semua kumpulan anti derivatif . Selanjutnya, kalikan kedua ruas pada persamaan 2.1 dengan faktor pengintegralan, sehingga 2.6 Eliminasi persamaan 2.2 dengan persamaan 2.6, sehingga diperoleh 2.7 substitusikan faktor pengintegralan yang berasal dari persamaan 2.5 ke persamaan 2.7, akibatnya 2.8 Integralkan kedua ruas pada persamaan 2.8. Sehingga diperoleh dan didapatkan solusi umumnya yaitu 2.9 Farlow 1994

2.2 Istilah Ekonomi Pertumbuhan Ekonomi