terminal . Increment atau kenaikan dari
argumen fungsi adalah , sementara
increment dari argumen fungsional disebut variasi yang dinotasikan dengan
. Bentuk fungsional yang sering digunakan
dalam kalkulus variasi adalah:
dengan , adalah fungsi skalar,
dan adalah
konstanta. Fungsi
diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu terhadap
semua argumennya. Misalkan adalah
kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup
dan adalah kelas dari semua fungsi
yang terdefinisi pada selang dan
mempunyai turunan pertama yang kontinu Tanpa
mengurangi sifat
keumuman, misalnya ditentukan, dan
. Sehingga bentuk fungsional di atas dapat diubah menjadi
2.10 dengan
. Masalah selanjutnya adalah memilih fungsi
dalam sehingga memaksimumkan integral pada
persamaan 2.10 dengan syarat dan kedua titik ujung peubah
ditentukan fixed yaitu
dan ,
agar fungsional
optimum maksimumminimum.
Untuk memperoleh fungsional yang
optimum, diperlukan
nilai yang
memberikan nilai ekstrem pada fungsional . Fungsi
yang memberikan nilai ekstrem diperoleh dengan konsep variasi
increment. Variasi dari fungsional pada
persamaan 2.10 dengan syarat dan kedua titik ujung peubah
ditentukan, diperoleh dengan menggunakan deret Taylor dua
peubah sebagai berikut
2 2
J x h
J x J x
J x O h
2 2
J x J x
J x O h
dengan
2 2
2
1 2
2
T T
J J x
h J x
J x J x
h t x t
x t
x t
h f h f
d t x
x h f
h h f f
h d t
x x x x
x x
2 O h
adalah orde yang lebih tinggi dengan
2 O h
untuk
h
. Notasi
disebut variasi pertama dan disebut variasi kedua.Variasi pertama
berperan sebagai syarat perlu untuk adanya ekstremum, sedangkan variasi kedua berperan
sebagai syarat cukup.
Definisi 3 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Fungsional dikatakan
mencapai maksimum minimum lokal atau relatif
sepanjang apabila
, yaitu
untuk semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan
. Fungsional dikatakan mencapai
maksimum minimum global sepanjang apabila
, yaitu untuk semua
fungsi .
Tu 1993
2.5 Persamaan Euler
Persamaan Euler merupakan syarat perlu untuk menyelesaikan masalah optimum dalam
kalkulus variasi. Misalkan
menyatakan kelas semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang
dan menyatakan kelas semua
fungsi yang didefinisikan di selang dan
memiliki turunan ke- yang kontinu. Misal, masalah variasi diberikan
2.11 dengan titik ujung
dan adalah tetap,
, , dan
dengan adalah fungsi skalar. Permasalahannya adalah memilih
fungsi diantara
fungsi-fungsi admissible, yaitu semua fungsi
yang memiliki titik awal di dan
titik akhir di yang memberikan nilai
maksimum atau
nilai minimum
untuk fungsional
.
2
2 2
1 2
, , +
2
T T
T
h
f x x t d t h f
h f d t
x x
h f h h f
f h
d t x x
xx xx
O
, ,
T
J x h
f x h x
h t d t
2
2
2
1 2
+ 2
T T
J x h f
h f d t
x x
h f h h f
f h
d t O h
xx xx
xx
Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah
J x
.
Misalkan, 2.12
dengan dan
sebarang fungsi yang memenuhi
. Lema 1
Misal dan himpunan semua
fungsi kontinu dan dapat diturunkan di
dan dengan adalah
tetap. Jika 2.13
untuk semua , maka
untuk semua
.
Bukti : lihat Lampiran 1
Tu 1993 Lema 1 ini berperan dalam pembuktian
persamaan Euler Teorema 2
Misalkan didefinisikan
pada dan memenuhi syarat batas
, . Maka syarat perlu
bagi untuk memiliki ekstremum adalah
fungsi memenuhi persamaan Euler:
, 2.14
Bukti : lihat Lampiran 2
Tu 1993
2.6 Kasus Khusus Persamaan Euler Fungsi tidak memuat secara eksplisit
autonomous
Fungsional objektif diberikan dalam bentuk 2.15
Persamaan Euler memberikan 2.16
Kalikan persamaan 2.16 dengan
,
sehingga memberikan
2.17
Bukti : lihat Lampiran 3
Ini berarti bahwa ,
2.18 dengan
konstanta. Tu 1993
2.7 Syarat Batas dalam Kalkulus Variasi
Misalkan, diberikan masalah menentukan ekstremum untuk fungsional objektif
dengan dan
adalah tetap, sedangkan dan
adalah bebas. Variasi pertamanya adalah
2.19 Karena variasi pada titik ujung tidak
mempengaruhi variasi dalam selang terbuka , maka syarat perlu untuk
adalah dipenuhinya persamaan Euler, yaitu
. Akibatnya,
persamaan 2.19
menjadi .
Dengan diketahui
, kemudian menghasilkan Syarat Batas:
. 2.20
Syarat batas ini akan menentukan nilai dan . Secara umum, syarat batas 2.20 menjadi
2.21 Untuk kasus
, ,
tetap dan bebas, maka
, tetapi dan
. Persamaan 2.20 memberikan 2.22
Tu 1993
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam perekonomian, pendapatan nasional digunakan untuk kegiatan konsumsi dalam
bentuk belanja negara. Pendapatan tersebut tidak selalu habis digunakan untuk konsumsi .
Bagian pendapatan
yang tidak
habis dikonsumsi dinamakan tabungan nasional.
Tabungan nasional tersebut menjadi sumber dana untuk pembangunan nasional.
Menurut Ramsey 1928, solusi dalam menentukan tabungan optimal adalah dengan
cara meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung enjoyment
dengan tingkat
maksimumnya bliss.
Peminimuman tersebut
dijelaskan pada
Subbab 3.1. Kemudian pada Subbab 3.2 diberikan asumsi pendapatan masyarakat
berasal dari upah earned income dan di luar upah unearned income yang selanjutnya
pada Subbab 3.3 dibahas kasus khusus untuk tingkat diskon.
3.1 Formulasi Masalah Umum
