Bliss
Bliss adalah enjoyment maksimum. Ramsey 1928
Modal
Modal adalah peralatan, mesin, kendaraan, materi, dan keterampilan yang digunakan
dalam produksi barang dan jasa. Mankiw 2003
Akumulasi Modal
Akumulasi modal capital accumulation akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan
yang diterima
saat ini
ditabung dan
diinvestasikan lagi
dengan tujuan
meningkatkan pendapatan di masa depan. Todaro et al 2003
Fungsi Produksi Fungsi produksi untuk suatu barang
tertentu, dengan
menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik
pada fungsi
di atas
menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi
yang lain, memperlihatkan jumlah output maksimum
yang diperoleh
dengan menggunakan berbagai alternatif kombinasi
input produksi. Mankiw 2003
Produk Marjinal
Misalkan didefinisikan fungsi produksi dengan
menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja.
Produk marjinal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan
menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input-input lain dianggap konstan.
Secara matematis dinotasikan sebagai berikut: Produk marjinal terhadap kapital
PM Produk marjinal terhadap tenaga kerja
PM Nicholson 2002
Fungsi Utilitas Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang
menunjukkan kepuasan
seseorang dari
mengonsumsi barang
dan jasa,
yang dinotasikan sebagai berikut :
Dengan adalah kegunaan atau utilitas
total, merupakan banyaknya
produk yang dikonsumsi. Nicholson 2002
2.3 Fungsi Konkaf Definisi 1 Himpunan Konveks
Himpunan
n
C R
dikatakan himpunan
konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C, maka ruas garis yang
menghubungkan x dan y juga terletak di C.
Dengan kata lain himpunan
n
C R
dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk
setiap x dan y di C dan untuk setiap
λ dengan
1
, maka vektor juga
terletak di C. Peressini et al. 1988
Definisi 2 Fungsi Konkaf Misalkan adalah fungsi bernilai real
yang terdefinisi pada himpunan konveks C di
n
R , maka fungsi f dikatakan konkaf di C
jika
untuk setiap x, y di C
dan untuk setiap λ dengan
1
. Peressini et al. 1988
Teorema 1
Jika f fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka f fungsi konkaf
pada I jika dan hanya jika , untuk
setiap .
Peressini et al. 1988
2.4 Kalkulus Variasi
Kalkulus variasi merupakan salah satu teknik
untuk menyelesaikan
masalah pengoptimuman fungsional yang menyelidiki
nilai maksimum atau minimum dari integral tertentu yang bergantung pada suatu fungsi.
Fungsional dan Variasi
Fungsional, dinotasikan sebagai ,
adalah suatu
aturan yang
mengkaitkan tiap fungsi dengan suatu
bilangan tunggal . Terdapat analogi antara
fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalnya
, sedangkan
argumen dari
fungsional merupakan
fungsi, misalnya
. Apabila fungsi secara lengkap dapat ditentukan ketika peubahnya diberikan
nilai-nilai tertentu, maka suatu fungsional secara lengkap ditentukan oleh pilihan fungsi
tertentu dari
sekumpulan fungsi
yang admissible, yaitu fungsi yang membawa
sistem dari state awal pada waktu
kepada state terminal pada waktu
terminal . Increment atau kenaikan dari
argumen fungsi adalah , sementara
increment dari argumen fungsional disebut variasi yang dinotasikan dengan
. Bentuk fungsional yang sering digunakan
dalam kalkulus variasi adalah:
dengan , adalah fungsi skalar,
dan adalah
konstanta. Fungsi
diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu terhadap
semua argumennya. Misalkan adalah
kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup
dan adalah kelas dari semua fungsi
yang terdefinisi pada selang dan
mempunyai turunan pertama yang kontinu Tanpa
mengurangi sifat
keumuman, misalnya ditentukan, dan
. Sehingga bentuk fungsional di atas dapat diubah menjadi
2.10 dengan
. Masalah selanjutnya adalah memilih fungsi
dalam sehingga memaksimumkan integral pada
persamaan 2.10 dengan syarat dan kedua titik ujung peubah
ditentukan fixed yaitu
dan ,
agar fungsional
optimum maksimumminimum.
Untuk memperoleh fungsional yang
optimum, diperlukan
nilai yang
memberikan nilai ekstrem pada fungsional . Fungsi
yang memberikan nilai ekstrem diperoleh dengan konsep variasi
increment. Variasi dari fungsional pada
persamaan 2.10 dengan syarat dan kedua titik ujung peubah
ditentukan, diperoleh dengan menggunakan deret Taylor dua
peubah sebagai berikut
2 2
J x h
J x J x
J x O h
2 2
J x J x
J x O h
dengan
2 2
2
1 2
2
T T
J J x
h J x
J x J x
h t x t
x t
x t
h f h f
d t x
x h f
h h f f
h d t
x x x x
x x
2 O h
adalah orde yang lebih tinggi dengan
2 O h
untuk
h
. Notasi
disebut variasi pertama dan disebut variasi kedua.Variasi pertama
berperan sebagai syarat perlu untuk adanya ekstremum, sedangkan variasi kedua berperan
sebagai syarat cukup.
Definisi 3 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Fungsional dikatakan
mencapai maksimum minimum lokal atau relatif
sepanjang apabila
, yaitu
untuk semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan
. Fungsional dikatakan mencapai
maksimum minimum global sepanjang apabila
, yaitu untuk semua
fungsi .
Tu 1993
2.5 Persamaan Euler
