37
3.3 Sumur Potensial Persegi Tak Terhingga
Andaikanlah suatu elektron dalam pengaruh potensial berbentuk sumur tak terhingga berdimensi-1 seperti
berikut:
a x
a x
a x
a x
V −
≤ ≥
∞ =
− =
, ;
;
V= ∞
-a a
x
Elektron terperangkap dalam daerah –axa, dan sama sekali tak dapat ke luar daerah itu. Dengan perkata lain peluang elektron berada di xa dan di x -a sama dengan nol.
Oleh sebab itu, jika ψx adalah fungsi gelombangnya, maka
= =
− a
a
Karena V=0 dalam daerah –axa, maka persamaan Schrödinger bagi elektron tersebut adalah:
2
2 2
2
= +
ψ ψ
E dx
d m
e
h atau
2 2
2 2
2
2 ;
h E
m k
k dx
d
e
= =
+
ψ ψ
Solusinya adalah
kx C
x cos
=
ψ dan
kx D
x sin
=
ψ
Dengan syarat batas di x=a diperoleh
a x
n C
x
n
2 cos
π ψ
=
untuk n=1,3,5,…
2 sin
a x
n D
x
n
π ψ
=
untuk n=2,4,6 ...
38
Harga C dan D dihitung melalui normalisasi fungsi, yakni:
1 =
∫
−
dx x
x
n a
a n
ψ ψ
Hasilnya adalah C=D=1
√a
, sehingga fungsi-fungsi eigen adalah:
...... 5
, 3
, 1
; 2
cos 1
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
n x
a π
n a
x
n
....... 6
, 4
, 2
; 2
sin 1
. =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= n
x a
π n
a x
n
ψ
3
ψ
2
ψ
1
-a 0 a x
⏐
ψ
3
⏐
2
⏐
ψ
2
⏐
2
⏐
ψ
1
⏐
2
-a 0 a
x
Fungsi-fungsi ini membentuk set ortonormal; artinya:
nn n
n
dx x
x =
∫
Selanjutnya, diperoleh harga eigen energi:
.... ,
3 ,
2 ,
1 ;
8
2 2
2 2
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
n a
m n
E
e n
h
π
ψ
4
ψ
3
ψ
2
ψ
1
E
1
E
2
=4E
1
E
3
=9E
1
E
4
=16E
1
Energi ini berharga diskrit tidak kontinu, tapi bertingkat-tingkat ditandai oleh bilangan
kuantum n.
39
3.4 Sumur Potensial Persegi Terhingga
Misalkan elektron terperangkap dalam sumur potensial terhingga seperti:
a x
a x
V a
x a
x V
o
− ≥
= −
= ,
; ;
EV
o
V
o
V
x a
-a
Jika energi EV
o
secara klasik elektron tak dapat ke luar daerah itu. Tetapi secara kuantum, karena potensial itu terhingga elektron masih berpeluang berada diluar
daerah –axa. Syarat batas hanyalah:
Persamaan Schrödinger untuk daerah –axa adalah:
= ±∞
2
2 2
2 2
2 2
= +
→ =
+
ψ ψ
ψ ψ
k dx
d E
dx d
m
e
h
dengan mana diperoleh solusi berikut: kx
x cos
=
ψ
kx x
sin =
ψ
dan
2 2
2 h
E m
k
e
=
di mana Untuk daerah
⎟x⎟≥a, persamaan Schrödinger adalah:
2
2 2
2
= −
+ −
ψ ψ
E V
dx d
m
o e
h
40
Jika energi elektron EV
o
maka ψx merupakan fungsi exponensial yang menurun dan
menuju nol di ⎟x⎟=∞. Jadi, untuk ⎟x⎟
≥a:
x K
e C
x
−
=
ψ
2 2
2 h
E V
m K
o e
− =
dengan Syarat kontinu di x=±a :
Ka Ka
KCe ka
k Ce
ka
− −
− =
− =
sin cos
Ka ka
tg ka
=
Ka Ka
KCe ka
k Ce
ka
− −
− =
= cos
sin Ka
ka ctg
ka −
=
2 2
2 h
E m
k
e
=
2 2
2 h
E V
m K
o e
− =
2 2
2 2
2 h
a V
m Ka
ka
o e
= +
tg ka
n=3 n=2
n=1 n=0
ctg ka ctg ka tg ka
Ka
ka 2
π 3
π2 π2
π
2 2
2 2
2 h
a V
m Ka
ka
o e
= +
Terlihat, jumlah tingkat energi sangat bergantung pada harga V
o
a
2
; misalnya untuk V
o
a
2
≤πħ
2
4m
e
hanya ada satu, dan V
o
a
2
≤πħ
2
2m
e
ada dua tingkat energi.
41
ψ
3
-a 0 a
x ψ
2
ψ
o
ψ
1
Jelas bahwa meskipun potensial yang dialami elektron itu terhingga, namun karena EV
o
, energinya tetap diskrit. Keadaan energi yang diskrit itu merupakan ciri dari partikel yang terikat dalam
sumur potensial. Karena potensial itu berhingga, fungsi-fungsi eigen mempunyai ekor berbentuk
eksponensial menurun di luar sumur. Artinya, elektron masih mempunyai peluang berada di luar sumur. Hal ini tidak mungkin secara klasik.
Quantum well, quantum dot, quantum wire adalah pengembangan dari kasus ini dalam riset-riset laser dan optik.
42
3.5 Sumur Potensial Persegi dengan Dinding
Kategori