18
Untuk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu,
ψ
x
,
1
2
= =
∫ ∫
∞ ∞
− ∞
∞ −
dx x
dx x
x
ψ ψ
ψ ψ
adalah konjugasi dari
ψ
.
Fungsi
ψ
x yang memenuhi persamaan di atas disebut fungsi yang dinormalisasi,
sedangkan disebut rapat peluang.
dx x
2
disebut peluang menemukan partikel di antara x dan x+dx.
Total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah:
Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni: •
tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga x,
ψ
x memiliki hanya satu harga saja.
• fungsi dan turunannya kontinu di semua harga x, dan
• fungsi harga mutlaknya tetap terbatas finite untuk x menuju
±∞;
2.3 Sifat-sifat suatu Fungsi Gelombang
2
x ψ
rapat peluang partikel berada di x
19
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= x
L n
C x
π ψ
sin Contoh:
1 sin
2 2
2
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
∫ ∫
∞
∞ −
dx x
L n
C dx
x
L
π ψ
sin
2
θ=1-cos2θ2, maka hasil integral di atas adalah C
2
L2=1 sehingga
L C
2 =
Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= x
L n
L x
π ψ
sin 2
Jika
ψ
x adalah kombinasi linier dari sekumpulan fungsi-fungsi { ϕ
n
x}, maka penulisannya secara umum adalah seperti:
∑
=
n n
n
x c
x
ϕ ψ
c
n
adalah koefisien bagi fungsi ϕ
n
x yang bisa ril atau kompleks.
dx x
x c
m m
ψ ϕ
∫
∞
∞ −
=
Jika
ϕ
n
x
adalah fungsi-fungsi yang dinormalisasi dan ortogonal satu sama lain.
20
Jika fungsi-fungsi {
ϕ
n
x} selain ternormalisasi juga ortogonal
disebut ortonormal satu sama lain maka berlaku
mn n
m
dx x
x
δ ϕ
ϕ
=
∫
∞ ∞
−
=1; m=n =0; lainnya
Jika
ψ
x fungsi yang dinormalisasi, maka
1
,
=
∫ ∑
∞ ∞
−
dx x
φ x
φ c
c
n m
n m
n m
1 =
∑
n n
n
c c
1 =
∫
∞ ∞
−
dx x
x
Jadi,
Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam ket seperti dan konjugasinya dalam bra seperti
Integral overlap dituliskan seperti:
n
φ
n
φ
l k
l k
dx x
x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
∫
∞ ∞
−
δ disebut kronecker delta
1
,
=
∑
mn n
m n
m
c c
21
Ortogonalisasi Schmidt Andaikan
φ
1
dan φ
2
adalah fungsi-fungsi yang non-ortogonal satu terhadap lainnya.
Misalkan ϕ
1
= φ
1
, lalu pilih ϕ
2
= φ
2
+ αφ
1
. Besarnya α dihitung atas dasar ϕ
1
dan ϕ
2
yang ortogonal satu sama lain.
∫ ∫
∫
= +
=
1 1
2 1
2 1
dx dx
dx
φ φ
α φ
φ ϕ
ϕ
∫ ∫
− =
dx dx
1 1
2 1
φ φ
φ φ
α
2.4 Operator Fisis
Setiap besaran fisis suatu partikel dikaitkan dengan operatornya; misalnya operator bagi energi total adalah
Ĥ seperti diperlihat dalam persamaan:
V m
H +
∇ −
=
2 2
2 ˆ
h
Operator energi kinetik Operator energi potensial
22
Bagi suatu operator besaran fisis berlaku istilah matematik berikut: 1. Harga suatu besaran fisis adalah nilai eigen dari operatornya;
2. Setiap nilai eigen dari suatu operator berkaitan dengan suatu fungsi eigen; nilai
eigen adalah ril.
ˆ x
E x
H
ψ ψ
= Persamaan harga eigen:
fungsi eigen partikel nilai eigen; energi partikel
operator energi total; disebut hamiltonian partikel 3. Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannya
memenuhi persamaan
∫ ∫
∞ ∞
− ∞
∞ −
= dx
x x
dx x
A x
A
av
ˆ
ψ ψ
ψ ψ
operator besaran fisis
fungsi keadaan partikel harga rata-rata besaran fisis
23
∫
∞
∞ −
= dx
x A
x A
av
ˆ
ψ ψ
Bagi fungsi keadaan yang dinormalisasi
ˆ x
a x
A
n n
n
ϕ ϕ
=
∑
=
n n
n
x c
x
ϕ ψ
Andaikan:
n n
n n
mn n
n mn
m n
m n
n mn
m n
m n
mn m
av
a c
c a
c c
dz x
x a
c c
dx x
A x
c c
x d
x A
x A
∑ ∑
∫ ∑
∫ ∑
∫
= =
= =
= ˆ
ˆ
δ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ψ
ψ
Jika
{ ϕ
n
}
adalah fungsi-fungsi yang ortonormal
Karena harga rata-rata suatu besaran fisis adalah ril maka berlaku
dx x
x A
dx x
A x
] ˆ
[ ˆ
ψ ψ
ψ ψ
∫ ∫
=
Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator hermitian.
24
Menurut de Broglie, sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu-x mempunyai momentum linier p
x
= ħk dengan k=2πλ. Fungsi gelombang partikel itu adalah .
ikx
ae x
φ =
Bagaimanakah bentuk operator momentum yang memiliki harga eigen p
x
= ħk ?
Untuk itu berlaku persamaan nilai eigen:
ˆ x
k x
p
x
ϕ ϕ
h =
ikx
ae x
φ =
ˆ x
dx d
i x
p
x
ϕ ϕ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
= h
dx x
d i
x k
ϕ ϕ
h h
− =
dx d
i p
x
h −
≡ ˆ
Jadi operator momentum linier adalah:
Secara umum, operator momentum:
∇ −
= h
i pˆ
Operator momentum:
Ingat, energi kinetik:
2 2
2 2
2 2
1 2
ˆ ˆ
dx d
m dx
d i
dx d
i m
m p
K
x
h h
h −
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛− =
=
25
Jika keduanya merupakan operator besaran fisis maka didefinisikan komutatornya seperti
Komutator
:
Tinjau dua buah operator:
Aˆ Bˆ
dan
A B
B A
B A
ˆ ˆ
ˆ ˆ
] ˆ
, ˆ
[ −
=
] ˆ
, ˆ
[ =
B A
Jika Kedua operator disebut komut.
Contoh, tentukan komutator operator-operator x dan ddx Gunakan fungsi ϕx
sebagai alat bantu:
] [
] [
] ,
[
x dx
x d
x x
dx x
d x
x x
dx d
dx x
d x
x dx
d x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
− =
− −
= −
=
1 ,
− =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
dx d
x
Jadi:
1 ,
= ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ x
dx d
Buktikan:
26
Dua buah operator yang komut satu sama lain, mempunyai fungsieigen yang sama.
[ ]
ˆ ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ;
ˆ
= →
= −
= −
= −
= =
B A
A B
B A
ab ba
A B
B A
b B
a A
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
s
27
2.5 Persamaan Gerak Heisenberg
