32
BAB 3 SISTEM DENGAN POTENSIAL SEDERHANA
Persamaan Schrödinger untuk 1 partikel yang tidak bergantung waktu untuk suatu partikel
3.1 Potensial Tangga
Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-positif. Di x=0 elektron itu menghadapi potensial tangga sebesar V
o
. Jika energi total elektron, E V
o
, secara klasik elektron akan terpantul sepenuhnya.
Bagaimana menurut kuantum?
x E
V
V
o
Di daerah x0, V=0; misalkan fungsi gelombangnya adalah ψ
1
x.
2
1 2
1 2
2
= + E
dx d
m
e
h
dapat diselesaikan jika bentuk potensial V diketahui sebelumnya.
2 2
1
2 ;
h E
m k
Be Ae
x
e ikx
ikx
= +
=
−
ψ
gelombang pantul. gelombang datang
2
2 2
2
= −
+ V
E dx
d m
h
ψ ψ
E V
dx d
m =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
2 2
2
2 h
33
Di daerah x0, V=V
o
; misalkan fungsi gelombang elektron adalah ψ
2
x
2
2 2
2 2
2
= −
+ V
E dx
d m
o e
h
Karena EV
o
, maka solusi bagi fungsi ψ
2
x merupakan fungsi eksponensial menurun seperti:
Kx
Ce x
−
=
2
2 2
2 2
2 2
k V
m E
V m
K
o e
o e
− =
− =
h h
Di x=0, ψ
1
dan ψ
2
harus bersambung agar fungsi gelombang itu kontinu;
;
2 1
=
Syarat kontinu:
2 1
= =
=
x x
dx x
d dx
x d
dan
C B
A =
+ KC
B A
ik −
= −
A iK
k k
C A
iK k
iK k
B +
= +
− =
2 ;
; 2
;
2 1
+ =
+ −
+ =
− −
x Ae
iK k
k x
x Ae
iK k
iK k
Ae x
Kx ikx
ikx
ψ ψ
x
ψ
2
ψ
1
34
Kerapatan peluang elektron di x0 dapat dihitung dengan menggunakan ψ
2
x:
Kx o
Kx
e A
V E
e A
K k
k x
2 2
2 2
2 2
2 2
2
4 4
− −
= +
= ψ
Jadi, meskipun mengalami potensial penghalang yang lebih besar dari energinya, elektron masih mempunyai peluang berada di x0.
Peluang itu menuju nol jika V
o
E, atau di x= ∞.
⏐CA⏐
2
= 4kk
2
+K
2
=4EV
o
adalah koefisien transmisi yang secara klasik tak dapat diramalkan.
3.2 Potensial Tangga Persegi
a E
V
V
o
x
a x
x a
x V
x V
o
= ≤
≤ =
, ;
;
Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x- positif. Eleketron menghadapi potensial tangga
seperti:
Sepanjang perjalanannya energi total elektron, E V
o
. Karena V=0, fungsi gelombang elektron sebagai solusi persamaan Schrodinger
dalam daerah x0 sama dengan:
2 2
1
2 ;
h E
m k
Be Ae
x
e ikx
ikx
= +
=
−
ψ
35
Dalam daerah 0xa, karena EV
o
: fungsi gelombang sebagai solusi persamaan Schrodinger adalah
Kx Kx
De Ce
x
−
+ =
2
ψ
2 2
2 2
2 2
k V
m E
V m
K
o e
o e
− =
− =
h h
Di daerah xa, V=0; maka fungsi gelombang di sana adalah:
ikx
Fe x
=
3
ψ
Hanya arah ke kanan saja. Syarat kontinuitas di x=0 dengan menggunakan fungsi-fungsi
ψ
1
x dan ψ
2
x, akan memberikan hubungan:
D C
K B
A ik
D C
B A
− =
− +
= +
dan syarat kontinuitas di x=a dengan menggunakan ψ
2
x dan ψ
3
x, memberikan
ika Ka
Ka ika
Ka Ka
ikFe De
Ce K
Fe De
Ce =
− =
+
− −
Dengan mengeliminasi C dan D, akan diperoleh:
4 sinh
sinh
2 2
2 2
2 2
E V
E Ka
V Ka
V A
B
o o
o
− +
=
4 sinh
4
2 2
2 2
E V
E Ka
V E
V E
A F
o o
o
− +
− =
36
Ilustrasi fungsi gelombang-fungsi gelombang:
a x
ψ
1
x ψ
2
x ψ
3
x
x=a. Jadi, secara kuantum elektron dapat menerobos potensial penghalang meskipun energinya lebih kecil daripada potensial penghalang. Fenomena inilah yang disebut
sebagai efek terobosan tunnel effect.
2 2
A B
2 2
A F
merupakan koefisien pantulan di x=0 dan adalah koefisien transmisi di
Terobosan partikel berlangsung dalam peluruhan radioaktif. Suatu partikel-
α = inti atom He mengalami gaya dorong elektrostatik inti hingga jarak 10
-8
μm dari inti Uranium. Kurang dari jarak itu gaya bersifat tarikan dan berbentuk sumur potensial seperti diperlihat-
kan dalam Gb. Partikel- α dalam sumur itu dapat menerobos
penghalang tarikan dan selanjutnya terdorong keluar. Eksperimen menunjukkan bahwa energi partikel itu lebih kecil
daripada penghalang.
E Vr
r
37
3.3 Sumur Potensial Persegi Tak Terhingga
Kategori