42 diabetes mellitus tetapi tidak mendapat perawatan. Individu yang termasuk dalam
subpopulasi ILL with treatment adalah individu yang sudah terkena diabetes mellitus tetapi mendapat perawatan.
3.2 Formulasi Model Matematika
Untuk mempermudah dalam memodelkan penyebaran penyakit diabetes mellitus khususnya pada penderita yang mengidap diabetes mellitus tanpa faktor
genetik dengan perawatan diperlukan asumsi-asumsi sebagai berikut: 1.
Individu yang telah sakit tidak dapat disembuhkan. 2.
Pengaruh migrasi diabaikan sehingga penyebaran penyakit bersifat tertutup dalam suatu populasi.
3. Tidak adanya faktor genetik yang mempengaruhi penyebaran penyakit
diabetes mellitus sehingga tergolong diabetes mellitus tipe II. 4.
Dengan adanya perawatan akan memperpanjang usia hidup penderita. 5.
Rekrutmen masuk kelas S Susceptible.
6. Individu yang memiliki kebiasaan buruk, penurunan hormon insulin,
dan peningkatan glukosa darah masuk kelas E Exposed. 7.
Individu yang telah sakit dan tidak mendapatkan perawatan masuk kelas I ILL.
8. Individu yang telah sakit dan mendapatkan perawatan masuk kelas I
T
ILL with Treatment. 9.
Terjadi kematian akibat penyakit diabetes mellitus baik penderita yang mendapat perawatan atau tidak mendapat perawatan.
43 Berikut ini didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan dalam
model penyakit diabetes mellitus disajikan dalam Tabel 2 berikut. Tabel 2. Variabel dan Parameter
Simbol Definisi
Syarat Satuan
Jumlah individu susceptible pada saat
individu
Jumlah individu exposed pada saat
individu
Jumlah individu sakit pada saat
individu
Jumlah individu sakit dengan perawatan pada saat
individu
Jumlah individu dalam populasi
individu
Laju rekrutmen pada populasi
Laju kematian alami Laju kontak infektif individu
yang rentan terhadap individu yang laten
Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit
44 tanpa perawatan
Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit
dengan adanya perawatan Laju kematian akibat penyakit
tanpa perawatan Laju kematian akibat penyakit
dengan adanya perawatan
Berdasarkan asumsi-asumsi pada subbab dapat dibentuk model
penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan sebagai berikut:
a. Perubahan jumlah individu susceptible terhadap waktu
Pertambahan jumlah individu kelas susceptible dipengaruhi oleh adanya pertambahan rekrutmen pada populasi
, pengurangan jumlah individu yang dipengaruhi oleh kematian alami dari individu susceptible per
satuan waktu , dan pengurangan kontak infektif pada individu
susceptible terhadap individu exposed . Berdasarkan hal di atas
sehingga diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:
45 b.
Perubahan jumlah individu exposed terhadap waktu Kontak infektif pada individu susceptible terhadap individu exposed
mempengaruhi pertambahan jumlah individu kelas exposed. Jumlah individu yang mengalami kematian alami dari individu exposed per satuan
waktu dan jumlah individu dari kelas exposed per satuan waktu
akan mempengaruhi pengurangan populasi exposed. Berdasarkan hal di atas sehingga diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:
c. Perubahan jumlah individu sakit terhadap waktu
Jumlah individu exposed yang berubah menjadi individu sakit tanpa perawatan per satuan waktu
mempengaruhi pertambahan populasi sakit. Sementara, kematian alami dan kematian akibat penyakit tanpa
perawatan dari individu sakit per satuan waktu akan mengurangi
jumlah individu sakit. Berdasarkan hal di atas sehingga diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:
d. Perubahan jumlah individu sakit dengan perawatan terhadap waktu
Berkurangnya kematian alami dan kematian akibat penyakit dengan adanya perawatan per satuan waktu
namun bertambahnya individu exposed yang kemudian menjadi individu sakit tetapi mendapatkan
perawatan per satuan waktu mempengaruhi pertambahan jumlah
46 individu sakit dengan perawatan. Berdasarkan hal di atas sehingga
diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:
Berdasarkan asumsi-asumsi, variabel-variabel, parameter-parameter, dan deskripsi di atas, dapat dibentuk diagram alir berikut:
Gambar 3. Diagram Alir Model Matematika Penyakit Diabetes Mellitus tanpa Faktor Genetik dengan Perawatan
Berdasarkan Persamaan maka penyebaran penyakit diabetes
mellitus dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu sebagai berikut:
5
47 Adapun jumlah populasi total tidak konstan, ditunjukkan sebagai berikut:
dengan .
3.3 Titik Ekuilibrium
