64 Diperoleh semua nilai eigen dari Persamaan
bernilai negatif, sehingga terbukti bahwa jika
, maka titik ekuilibrium endemik
stabil asimtotik lokal.
3.6 Simulasi Model
Pada subbab ini akan dibahas mengenai simulasi dalam keadaan bebas penyakit dan keadaan terjangkit penyakit untuk memberikan gambaran lebih jelas
mengenai model matematika untuk masalah penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan dengan menggunakan parameter-
parameter dan nilai awal tertentu. Jumlah penduduk di Kota Yogyakarta pada tahun 2014 berjumlah 413936
jiwa. Penderita diabetes mellitus tipe II untuk di Kota Yogyakarta berjumlah 2891 jiwa dan 1816 jiwa diantaranya mendapatkan perawatan Profil Kesehatan
Kota Yogyakarta, 2015. Berdasarkan permasalahan nyata yang terjadi di Kota
65 Yogyakarta diperoleh nilai awal untuk
5 5 5
. Nilai menyatakan laju kematian alami individu. Menurut proyeksi penduduk Indonesia tahun 2013, angka harapan hidup di
Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta adalah tahun, sehingga diperoleh
5. Nilai menyatakan laju rekrutmen dalam populasi. Menurut profil kesehatan Kota Yogyakarta tahun 2015, tingkat kelahiran per 1000
kelahiran adalah , sehingga diperoleh
5 5 .
Diasumsikan laju perpindahan individu yang laten menjadi sakit adalah 20 tahun, laju kematian karena penyakit diabetes adalah 60 tahun, dan laju kematian
karena penyakit diabetes adanya pengaruh perawatan adalah 62 tahun, maka diperoleh
5 Parameter
menyatakan laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang laten. Nilai parameter ini dapat bervariasi. Diberikan simulasi
model yang akan menunjukkan pengaruh dari variasi nilai parameter terhadap
penyebaran penyakit diabetes mellitus. Berikut simulasi untuk dan
.
1. Simulasi untuk
Diambil nilai 5, sehingga mendapatkan nilai
. Jika nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan
maka diperoleh nilai
66 . Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut,
diperoleh simulasi yang ditunjukkan pada Gambar 4. sebagai berikut:
Gambar 4. Grafik Simulasi untuk dengan 5
Pada Gambar 4 terlihat bahwa pada saat sampai kurang lebih
sebelum populasi kelas Susceptible mengalami penurunan dan
populasi kelas Exposed, populasi kelas ILL, dan populasi kelas
ILL with treatment mengalami peningkatan. Seiring dengan berjalannya waktu
populasi kelas Susceptible, populasi kelas Exposed, populasi kelas ILL,
dan populasi kelas ILL with treatment menuju titik ekuilibrium bebas
penyakit 5 . Ini berarti jumlah individu yang masuk
di masing-masing kelas akan berkurang dan bahkan menghilang dari populasi.
67 2.
Simulasi untuk Diambil nilai
5, sehingga mendapatkan nilai . Jika
nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan maka diperoleh nilai
. Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut, diperoleh simulasi
yang ditunjukkan pada Gambar 5 sebagai berikut:
Gambar 5. Grafik Simulasi untuk dengan 5
Selanjutnya diambil nilai 5. Jika nilai-nilai parameter
disubstitusikan pada Persamaan maka diperoleh nilai
. Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut, diperoleh simulasi
yang ditunjukkan pada Gambar 6 sebagai berikut:
68 Gambar 6. Grafik Simulasi untuk
dengan 5
Selanjutnya diambil nilai 5. Jika nilai-nilai parameter
disubstitusikan pada Persamaan maka diperoleh nilai
5 . Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut, diperoleh simulasi
yang ditunjukkan pada Gambar 7 sebagai berikut:
69 Gambar 7. Grafik Simulasi untuk
5 dengan 5
Berdasarkan Gambar 5, Gambar 6, dan Gambar 7 ditunjukkan bahwa populasi kelas
Susceptible semakin menurun kemudian meningkat kembali menuju titik ekuilibrium dan populasi kelas
ILL with treatment dari meningkat kemudian menurun menuju titik ekuilibrium yang artinya jumlah
individu yang sakit dengan adanya perawatan akan tetap ada dalam populasi. Populasi kelas
Exposed mengalami penurunan tetapi jumlah individu laten akan ada dalam populasi karena terjadi kontak infektif antara populasi
Susceptible dan Exposed. Populasi kelas ILL semakin menurun menuju
titik ekuilibrium. Berdasarkan hal tersebut menunjukkan bahwa jika parameter yang terbentuk memenuhi
, maka penyakit diabetes mellitus akan menjadi endemik.
70 Nilai numerik
untuk nilai 5 adalah
5 . Untuk
5 diperoleh 5 5
. Untuk
5 diperoleh 5
5 . Berdasarkan nilai numerik dan simulasi pada Gambar 5, Gambar 6, dan
Gambar 7, terlihat bahwa saat laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang laten
meningkat maka populasi individu rentan semakin menurun, sementara populasi individu laten, sakit, dan sakit dengan adanya
perawatan semakin meningkat sebanding dengan nilai parameter . Nilai
parameter yang semakin meningkat menunjukkan bahwa solusi Sistem 5
semakin lama akan menuju titik ekuilibrium , dan nilai
semakin besar. Hal ini berarti jika laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang
laten semakin besar, maka berakibat semakin besar tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus.
Diasumsikan laju perpindahan individu yang laten menjadi sakit tanpa perawatan adalah
5 tahun, maka diperoleh dan diambil nilai
5. Berikut simulasi model untuk yang akan menunjukkan
pengaruh dari perubahan nilai parameter :
71 Gambar 8. Grafik Simulasi untuk
dengan 5 dan
Nilai numerik untuk nilai
5 dan nilai adalah 5 .
Berdasarkan nilai numerik dan simulasi pada Gambar 5 dan Gambar 8 terlihat bahwa saat laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa
perawatan meningkat maka populasi individu rentan dan populasi individu
laten tidak ada peningkatan maupun penurunan, sedangkan untuk populasi individu sakit semakin meningkat dan populasi individu sakit dengan adanya
perawatan semakin menurun. Laju perpindahan individu laten terhadap individu
72 sakit tanpa perawatan ini tidak mempengaruhi perubahan kestabilan titik
ekuilibrium endemik , namun hanya mempengaruhi perilaku solusi Sistem
5 dalam menuju titik ekuilibrium endemik . Perubahan parameter
yang semakin meningkat menunjukkan bahwa solusi Sistem
5 semakin lama akan menuju titik ekuilibrium
dan tidak ada perubahan terhadap nilai yang
artinya tidak berpengaruh terhadap tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus.
73
BAB IV
PENUTUP
Berdasarkan hasil analisis dan simulasi pada model matematika penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan, maka diperoleh
kesimpulan dan saran sebagai berikut :
4.1 Kesimpulan
