ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIIT (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS.

vii

ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIIT (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS

Oleh:

Hesti Endah Lestari NIM. 13305144002

ABSTRAK

Diabetes mellitus merupakan penyakit tidak menular mematikan yang penyebaran berasal dari dalam diri setiap individu yang gaya hidupnya pasif dan tidak sehat serta memiliki pola makan yang tidak baik. Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan model matematika masalah penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan. Selanjutnya dianalisa kapan penyakit akan menghilang atau tetap ada dalam populasi.

Tahapan analisis model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan yaitu menjelaskan pembentukan model SEIIT

(Susceptible-Exposed-ILL-ILL with treatment), dilanjutkan dengan menentukan titik ekuilibrium dan nilai bilangan reproduksi dasar , menganalisa kestabilan di sekitar titik ekuilibrium dan melakukan simulasi dengan menggunakan Maple 13 berdasarkan data dari Kota Yogyakarta tahun 2014.

Dari hasil analisa dapat disimpulkan bahwa penyebaran penyakit diabetes mellitus dipengaruhi oleh laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten, laju rekrutmen, dan laju kematian alami, dengan kata lain peningkatan laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa perawatan hanya mempengaruhi perilaku solusi dalam menuju titik ekuilibrium endemik dan tidak berpengaruh pada tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus. Selanjutnya pada kasus di Kota Yogyakarta, populasi yang terjangkit diabetes mellitus akan semakin berkurang atau bahkan menghilang jika nilai dari laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten kurang dari

, sebaliknya penyakit diabetes mellitus akan tetap ada dalam populasi jika nilai dari laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten lebih dari Berdasarkan simulasi yang dibentuk dari model SEIIT, diperoleh kesimpulan jika laju kontak infektif individu yang rentan menjadi

individu yang laten semakin besar, maka tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus semakin besar.

1 BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Diabetes mellitus adalah penyakit yang ditandai dengan kadar gula darah yang tinggi yang disebabkan oleh gangguan pada sekresi dan kinerja insulin yaitu tidak dapat memproduksi atau tidak dapat merespon hormon insulin yang dihasilkan oleh organ pankreas, sehingga menyebabkan kadar gula darah meningkat dan dapat menyebabkan komplikasi jangka pendek maupun jangka panjang. Penyakit ini membutuhkan perawatan seumur hidup dan tidak ada pengobatan yang pasti untuk menyembuhkannya (Subroto, 2006). Insulin adalah hormon yang diproduksi oleh organ terletak di belakang perut yang disebut pankreas yang berfungsi mengatur metabolisme glukosa menjadi energi serta mengubah kelebihan glukosa menjadi glikogen yang disimpan di dalam hati dan otot.

Penderita diabetes di Indonesia mengalami peningkatan. Pada tahun 2013, jumlah penderita diabetes mellitus mencapai juta jiwa, kemudian pada tahun 2014 meningkat menjadi juta jiwa. Penyakit diabetes mellitus masih menjadi ancaman serius bagi dunia kesehatan di Indonesia. Penderita untuk yang berusia di bawah 40 tahun berjumlah juta jiwa, untuk yang berusia 40-59 tahun berjumlah juta jiwa, dan untuk yang berusia 60-79 tahun dengan jumlah jutaan jiwa (International Diabetes Federation, 2015). Menurut Organisasi Kesehatan Dunia (WHO), diperkirakan pada 2030 penyandang diabetes di

2

Indonesia akan meningkat sebanyak juta orang. Berdasarkan prediksi WHO, Indonesia menduduki peringkat keempat setelah Amerika Serikat, China, dan India yang merupakan negara penyandang diabetes terbanyak, dengan populasi penduduk terbesar di dunia. Sementara itu, menurut data Riset Kesehatan Dasar tahun 2008, diabetes merupakan penyebab kematian nomor 6 dari semua kelompok umur.

Kota Yogyakarta adalah salah satu kota yang memiliki konsekuensi meningkatnya angka kesakitan pada penyakit diabetes mellitus. Diabetes mellitus menjadi salah satu masalah kesehatan yang sangat perlu diperhatikan. Penderita diabetes mellitus terus meningkat dari tahun ke tahun. Berdasarkan data dari Profil Kesehatan Kota Yogyakarta tahun 2015, jumlah penduduk di Kota Yogyakarta pada tahun 2014 berjumlah 413936 jiwa dengan 202296 jiwa penduduk laki-laki dan 211640 jiwa penduduk perempuan. Penderita diabetes mellitus tipe II untuk di Kota Yogyakarta berjumlah 2891 jiwa dan 1816 jiwa diantaranya mendapatkan perawatan (Dinkes, 2015).

Diabetes mellitus dibagi menjadi beberapa tipe. Populasi dari penderita diabetes mellitus tipe I ini tergolong sedikit, diperkirakan kurang dari dari keseluruhan populasi penderita diabetes. Diabetes mellitus tipe I disebabkan oleh faktor bawaan atau keturunan. Faktor penyebab diabetes mellitus tipe I adalah infeksi virus yang merusak sel-sel penghasil insulin. Tipe diabetes ini banyak dialami pasien anak-anak maupun remaja. Diabetes mellitus tipe II banyak dialami saat pasien berusia 30 tahun atau lebih dan penderita tidak tergantung dengan insulin dari luar tubuh, kecuali pada keadaan tertentu.

3

Diabetes mellitus tipe II ini dapat mengakibatkan sejumlah komplikasi jika diabaikan. Faktor penyebab diabetes mellitus tipe II adalah faktor pola hidup yang tidak aktif serta pola makan yang tidak sehat. Penderita penyakit ini terjadi pada orang-orang yang memiliki berat badan berlebih, kurang gerak aktif, dan kurang berolahraga. Diabetes mellitus gestasional adalah penyakit diabetes yang terjadi pada ibu hamil, yang disebabkan oleh gangguan toleransi glukosa pada pasien tersebut. Berdasarkan tipe diabetes mellitus yang telah dijelaskan, peneliti akan membahas diabetes mellitus tipe II ini karena dipandang bahwa besar kemungkinan tidak akan menyebar jika pola hidup serta pola makan diatur dan dijaga dengan baik, dan untuk yang telah terjangkit besar kemungkinan akan lebih lama bertahan hidup jika mendapatkan perhatian dan perawatan secara medis ataupun mengubah dan memodifikasi gaya hidup.

Penderita diabetes mellitus tipe I maupun tipe II juga dapat diatasi yang menurut Hardiman (2009) disebutkan bahwa pendekatan yang dimaksud adalah upaya nonmedis dengan cara modifikasi gaya hidup misalnya dengan diet serta olahraga dan untuk upaya medis melalui terapi insulin dan obat penurun gula. Perawatan dan pencegahan yang dapat dilakukan oleh penderita diabetes mellitus adalah melakukan perubahan pada gaya hidup seperti melakukan olahraga secara teratur, istirahat dengan cukup, serta terapi insulin dan mengkonsumsi obat penurun kadar gula sesuai anjuran dokter dan perubahan pola makan seperti mengurangi dan menghindari makanan cepat saji terlebih untuk yang mengandung gula dan mengkonsumsi makanan yang seimbang serta sesuai dengan kebutuhan gizi dari masing-masing individu.

4

Seiring dengan berkembangnya ilmu pengetahuan khususnya untuk bidang matematika ikut berperan dalam memodelkan dan menganalisis sebuah model matematika yang mempelajari tentang penyebaran penyakit diabetes mellitus khususnya untuk diabetes mellitus tipe II. Penyebaran penyakit diabetes mellitus tipe II ini adalah dari dalam diri masing-masing individu yang memiliki gaya hidup tidak aktif dan tidak sehat serta tidak dapat mengatur pola makan. Model matematika adalah model yang merepresentasikan suatu permasalahan di dunia nyata ke dalam persamaan matematika. Model matematika yang digunakan untuk mengetahui penyebaran suatu penyakit di suatu daerah tertentu yang dikenal sebagai model epidemi.

Terdapat beberapa penelitian terdahulu yang mengkaji tentang model matematika diabetes mellitus. Boutayep dkk (2006) dalam sebuah paper tentang model matematis diabetes mellitus nonlinear menganalisis proses perubahan diabetes mellitus sampai tahap komplikasi. Komplikasi yang terjadi ini bukan karena dampak dari ekonomi, sosial, dan implikasi medis. Pada model ini ditentukan titik kestabilan yang kemudian diberikan perhitungan numerik menggunakan MATLAB untuk memperkirakan ukuran populasi penderita diabetes mellitus dan jumlah penderita diabetes mellitus dengan komplikasi. Makrogou & Kuang (2006) menjelaskan tentang mekanisme sistem regulasi glukosa-insulin. Salah satu modelnya digunakan dalam penelitian fisiologis untuk memperkirakan efektivitas glukosa dan sensitivitas insulin. Jenis model yang digunakan diklasifikasikan secara matematis sebagai Ordinary Differential Equations (ODEs), Delay Differential Equations (DDEs), Partial Differential

5

Equations (PDES), Fredholm Integral Equations (FIES), Stochastic Differential Equations (SDEs), dan Integro Differential Equations (IDEs). Julia Ulfah dkk (2014) membahas tentang model SEIIT (Susceptible-Exposed-ILL-ILL with

treatment) untuk penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan. Pada model tersebut, kompartemen S (Susceptible) ditransformasi ke dalam kompartemen N (populasi total) sehingga dalam analisis tidak melibatkan kompartemen S (Susceptible). Dari hasil analisis didapatkan parameter yang paling berpengaruh dalam penyebaran penyakit diabetes mellitus adalah laju kelahiran. Dengan demikian penyebaran penyakit diabetes mellitus dapat dikendalikan dari kejadian epidemi dengan atau menurunkan laju kelahiran.

Pada skripsi ini akan dibahas mengenai model matematika pada penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan menggunakan model SEIIT (Susceptible-Exposed-ILL-ILL with treatment).

Analisis numerik pada model matematika dari penyebaran penyakit diabetes mellitus ini menggunakan data di Kota Yogyakarta tahun 2014. Dengan model tersebut akan dianalisa penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan. Adapun langkahnya yaitu membentuk model yang berbentuk sistem persamaan diferensial kemudian dicari titik kritisnya (titik kesetimbangan). Selanjutnya, dicari bilangan reproduksi dasar dan melakukan simulasi dengan menggunakan MAPLE 13.

6 1.2 Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, maka dapat dirumuskan identifikasi masalah sebagai berikut:

1.2.1 Meningkatnya pengidap diabetes mellitus di Indonesia khususnya di Kota Yogyakarta.

1.2.2 Penyakit diabetes mellitus perlu diupayakan pencegahan penyebarannya.

1.2.3 Salah satu pencegahan penyebarannya adalah dengan perawatan secara individual seperti melakukan pengobatan serta deteksi dini dan melakukan perubahan pada gaya hidup dan pola makan. 1.3 Pembatasan Masalah

Pembahasan dalam skripsi ini dibatasi pada pendefinisian model SEIIT

(Susceptibel-Exposed-ILL-ILL with treatment) penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik yaitu diabetes mellitus tipe II dengan perawatan, penentuan titik kestabilan, analisis kestabilan model, simulasi model dengan MAPLE 13.

1.4 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, maka dapat dirumuskan masalah sebagai berikut :

1.4.1 Bagaimana model matematika untuk masalah penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan?

7

1.4.2 Bagaimana analisis kestabilan model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan?

1.4.3 Bagaimana simulasi model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan?

1.5 Tujuan Penelitian

Berdasarkan permasalahan di atas, tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah :

1.5.1 Menjelaskan model matematika untuk masalah penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan. 1.5.2 Menjelaskan analisis kestabilan model penyebaran penyakit

diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan.

1.5.3 Menjelaskan simulasi model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan.

1.6 Manfaat Penelitian

Manfaat dalam pemodelan penyebaran penyakit diabetes mellitus antara lain:

1.6.1 Bagi Para Peneliti

Menambah pengetahuan tentang model matematika khususnya pemodelan pada penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan. Diharapkan dapat menjadi referensi baru dalam pengembangan ilmu matematika di bidang pemodelan epidemik.

8 1.6.2 Bagi Institusi Kesehatan

Memberikan infomasi tentang hasil penelitian dari penyebaran penyakit diabetes mellitus sehingga dapat digunakan dalam pengambilan kebijakan untuk mengatasi dan menanggulangi penyebaran penyakit diabetes mellitus.

1.6.3 Bagi Masyarakat

Memberikan informasi penyebaran penyakit diabetes mellitus khususnya diabetes mellitus tipe II yaitu tanpa ada faktor genetik atau bawaan sehingga dapat memprediksi endemik diabetes mellitus dalam kehidupan masyarakat.

1.6.4 Bagi Universitas Negeri Yogyakarta

Menambah koleksi bahan pustaka yang harapannya dapat bermanfaat bagi Universitas Negeri Yogyakarta pada umumnya, serta mahasiswa Fakutas Matematika dan Ilmu Pengetahuan.

9 BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud meliputi pemodelan matematika, nilai eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, linearisasi sistem persamaan diferensial nonlinear, kestabilan titik ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar, dan kriteria Routh-Hurwitz.

2.1 Pemodelan Matematika

Pemodelan matematika merupakan suatu proses merepresentasi dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata yang dituangkan ke dalam pernyataan matematik (Widowati & Sutimin, 2007).

Tahap-tahap dalam menyusun model matematika dapat dinyatakan dalam alur diagram berikut (Widowati & Sutimin, 2007).

10

Gambar 1. Proses Pemodelan Matematika

Berdasarkan Gambar 1 dapat diperoleh langkah-langkah dalam pemodelan matematika sebagai berikut:

1. Menyatakan permasalahan nyata ke dalam pengertian matematika

Permasalahan yang terjadi di dalam kehidupan nyata dinyatakan dalam bahasa matematis. Langkah ini meliputi menentukan faktor yang dianggap penting dan sesuai, identifikasi variabel-variabel dalam masalah, dan membentuk beberapa hubungan antar variabel-variabel yang dihasilkan dari permasalan tersebut.

2. Menentukan asumsi yang akan digunakan

Membuat asumsi dalam model matematika mengarah pada tujuan bagaimana agar model dapat berjalan dan dapat diselesaikan.

11 3. Membentuk model matematika

Dengan memahami asumsi dan hubungan antar variabel, kemudian memformulasi persamaan atau sistem persamaan. Dalam menformulasi model, terkadang diperlukan adanya pengujian kembali asumsi yang telah dibuat agar formulasi model sesuai dan dapat diselesaikan.

4. Menentukan solusi dari persamaan

Dilakukan analisis apakah model mempunyai penyelesaian atau tidak. Proses dalam memodelkan sangat perlu diperhatikan secara menyeluruh karena ada kemungkinan model yang telah diformulasi tidak mempunyai solusi. Namun pada kondisi lain dapat dibangun bahwa persamaan dapat mempunyai lebih dari satu solusi.

5. Interpretasi hasil

Interpretasi hasil merupakan kesimpulan yang diperoleh dari formulasi model yang kemudian diterjemahkan kembali ke dalam masalah dunia nyata. Interpretasi ini dapat diwujudkan dalam bentuk grafik yang digambarkan berdasarkan solusi yang diperoleh dan selanjutnya diinterpretasi sebagai solusi dalam dunia nyata.

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen dan vektor eigen dalam suatu matriks akan digunakan dalam menentukan kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan linear.

12 Definisi 2.2.1 (Anton, 1987)

Jika adalah matriks , maka vektor tak nol di dalam dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari jika adalah kelipatan skalar dari , yakni

untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen dari dan dikatakan sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai eigen matriks yang berukuran maka kita dapat menuliskan kembali Persamaan sebagai

atau secara ekuivalen

dengan adalah matriks identitas.

Persamaan akan memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika

Persamaan merupakan persamaan karakteristik dari matriks dan skalar yang memenuhi Persamaan adalah nilai eigen dari .

Pada matriks dengan ukuran , maka polinomial karakteristik mempunyai bentuk

13

Sehingga persamaan karakteristik menjadi

dengan . Contoh 1

Diberikan matriks

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks . Penyelesaian:

a. Akan ditentukan nilai eigen dari matriks

Sehingga diperoleh nilai eigen dari matriks adalah dan . b. Akan ditentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen Untuk

14

{

Persamaan dan , ekuivalen dengan . Misalkan , maka , dengan maka vektor eigen dari matriks yang bersesuaian dengan adalah .

Untuk

{

Persamaan dan , ekuivalen dengan . Misalkan , maka , dengan maka vektor eigen dari matriks

yang bersesuaian dengan adalah .

2.3 Persamaan Diferensial Definisi 2.3.1 (Ross, 1984)

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan/menyertakan turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.

15

Berdasarkan jumlah variabel bebasnya, persamaan diferensial dibagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

Definisi 2.3.2 (Ross, 1984)

Persamaan diferensial biasa yaitu suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. Definisi 2.3.3 (Ross, 1984)

Persamaan diferensial parsial yaitu suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas.

Contoh 2

Contoh persamaan diferensial biasa

(

)

Contoh persamaan diferensial parsial

Persamaan diferensial dikatakan linear jika memenuhi kriteria berikut (Ross, 1984).

i. Variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat satu.

ii. Tidak terdapat perkalian antara variabel tak bebas dengan dirinya sendiri, variabel tak bebas dengan turunan-turunannya, dan antar turunan-turunannya.

16

iii. Variabel tak bebas bukan merupakan argumen dari fungsi logaritma, trigonometri, dan eksponensial.

Definisi 2.3.4 (Ross, 1984)

Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tak linear.

2.4 Sistem Persamaan Diferensial

Gabungan dari persamaan diferensial disebut sistem persamaan diferensial. Sistem persamaan diferensial dibagi menjadi dua yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial nonlinear.

Sistem persamaan diferensial linear dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

dengan kondisi awal

Jika bernilai nol, maka Persamaan disebut sistem persamaan linear homogen sedangkan jika bernilai tak nol, maka Persamaan disebut sistem persamaan diferensial linear nonhomogen.

17 Contoh 3

Contoh dari sistem persamaan diferensial linear.

Sistem persamaan diferensial nonlinear dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

Dengan kondisi awal atau dapat ditulis dalam bentuk persamaan di bawah ini

adalah fungsi tidak linear dan kontinu. Contoh 4

Contoh dari sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:

18

Persamaan di atas merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear dengan variabel bebas dan variabel tak bebas , , dan . Persamaan tersebut dikatakan sistem persamaan diferensial nonlinear karena terdapat perkalian antara variabel tak bebas dan pada persamaan pertama, terdapat kuadrat dari variabel tak bebas pada persamaan kedua, dan terdapat fungsi eksponensial dan trigonometri pada persamaan ketiga.

2.5 Titik Ekuilibrium

Titik ekuilibrium merupakan titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu. Adapun pengertian titik ekuilibrium disajikan dalam Definisi 2.5.1. Berikut diberikan sistem persamaan diferensial autonomus yaitu sistem persamaan diferensial dimana secara eksplisit tidak memuat variabel t, sebagai berikut:

̇

Dengan ( ) , fungsi nonlinear dan kontinu.

Definisi 2.5.1 (Wiggins, 2003)

19 Contoh mengenai Definisi 2.5.1

Contoh 5

Diberikan sistem persamaan diferensial yaitu

{

Tentukan titik ekuilibrium dari Sistem . Penyelesaian

Misal ̅ ̅ merupakan titik ekuilibrium Sistem .

Titik ekuilibrium dari sistem di atas dapat diperoleh jika ̅ , sehingga Sistem di atas menjadi

dan

Berdasarkan Persamaan diperoleh ̅ dan ̅ .

Selanjutnya substitusikan ̅ pada Persamaan sehingga diperoleh

20

Substitusi ̅ pada Persamaan sehingga diperoleh ̅ dan didapatkan .

Sehingga dari Sistem diperoleh dua titik ekuilibrium yaitu dan

.

2.6 Linearisasi Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear

Linearisasi merupakan proses mengubah suatu sistem nonlinear menjadi sistem linear. Linearisasi dilakukan pada sistem nonlinear untuk mengetahui perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut dan dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi yang baik.

Andaikan ̅ ̅ ̅ ̅ adalah titik ekuilibrium Sistem , maka pendekatan linear untuk Sistem diperoleh dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik ekuilibrium ̅ ̅ ̅ ̅ yaitu

( ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

( ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

( ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

Pendekatan linear untuk Sistem adalah

̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

21

̇ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

dengan merupakan bagian nonlinear yang selanjutnya dapat diabaikan karena nilai mendekati nol. Sehingga Sistem dapat dituliskan sebagai matriks seperti berikut:

[ ̇ ̇ ̇ ] [ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ̅ ]

Misalkan ̅ , ̅ ̅ , maka dari Sistem diperoleh [ ̇ ̇ ̇ ] [ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ] [ ̇ ̇ ̇ ]

Sistem merupakan linearisasi Sistem , sehingga diperoleh matriks Jacobian pada titik ekuilibrium ̅ ̅ ̅ ̅ dari Sistem yaitu:

( ̅ ) [ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ]

22

Jika matriks ( ̅ ) tidak mempunyai nilai eigen yang bernilai nol pada bagian realnya, maka sifat kestabilan sistem dapat dilihat dari

̇ ( ̅ )

Persamaan adalah sebagai hasil linearisasi Sistem . Setelah dilakukan linearisasi pada Persamaan , analisa kestabilan sistem nonlinear di sekitar titik ekuilibrium dapat diselidiki melalui analisa linearisasi di sekitar titik yang sama, jika titik ekuilibrium dari sistem nonlinear tersebut hiperbolik. Berikut diberikan definisi titik ekuilibrium hiperbolik.

Definisi 2.6.1 (Perko, 2000)

Titik ekuilibrium ̅ dikatakan titik ekuilibrium hiperbolik dari Sistem jika tidak ada bagian real nilai eigen dari matriks Jacobian ̅ bernilai nol.

Contoh 6

Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear dimana mempunyai dua titik ekuilibrium yaitu dan . Akan dicari matriks

( ̅ ) ̅ ̅ dan akan diidentifikasi apakah masing-masing titik ekuilibrium tersebut hiperbolik atau nonhiperbolik.

Penyelesaian

Matriks Jacobian dari sistem (2.14) adalah

23 Matriks Jacobian untuk ̅

Akan dicari nilai eigen untuk sebagai berikut

| _| | _|

Diperoleh dua nilai eigen, yaitu dan . Dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium ̅ adalah titik ekuilibrium nonhiperbolik karena terdapat nilai eigen nol dibagian realnya.

Matriks Jacobian untuk ̅ adalah

akan dicari nilai eigen untuk adalah

| _| | _|

Diperoleh dua nilai eigen, yaitu √ dan √ . Dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium ̅ adalah titik ekuilibrium hiperbolik karena tidak terdapat nilai eigen yang bernilai nol di bagian realnya.

24 2.7 Kestabilan Titik Ekuilibrium

Kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 2.7.1 (Olsder & Woude, 2004)

Diberikan sistem persamaan diferensial orde satu ̇ , solusi dengan kondisi awal yang dinotasikan oleh .

i. Vektor ̅ yang memenuhi ̅ dikatakan sebagai titik ekuilibrium. ii. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil jika untuk setiap terdapat

sedemikian sehingga jika ‖ ̅‖ , maka ‖ ̅‖ untuk semua .

iii. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik jika titik ekuilibriumnya stabil dan terdapat sedemikian sehingga ‖ ̅‖ , asalkan ‖ ̅‖ .

iv. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan tidak stabil jka titik-titik ekuilibriumnya tidak memenuhi (ii).

Pada definisi di atas, ‖ ‖ menyatakan norm atau panjang pada .

Berikut merupakan ilustrasi titik ekuilibrium stabil, stabil asimtotik, dan tidak stabil yang akan ditunjukkan pada Gambar 2.

25

Gambar 2. Ilustrasi Kestabilan

Berdasarkan Gambar 2, titik ekuilibrium dikatakan stabil jika solusi dari sistem persamaan pada saat selalu berada pada jarak yang cukup dekat dengan titik ekuilibrium, titik ekuilibrium dikatakan stabil asimtotik jika solusi dari sistem persamaan pada saat akan menuju ke titik ekuilibrium, dan titik ekuilibrium dikatakan tidak stabil jika solusi dari sistem persamaan pada saat bergerak menjauhi titik ekuilibrium.

Selanjutnya, diberikan teorema mengenai sifat kestabilan sebagai berikut: Teorema 2.7.2 (Olsder & Woude, 2004)

Diberikan sistem persamaan diferensial ̇ , dengan suatu matriks yang mempunyai nilai eigen berbeda dengan .

1. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika

untuk setiap

2. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil jika dan hanya jika untuk setiap dan jika setiap nilai eigen imajiner dengan

26

, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.

3. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu untuk .

Bukti:

1. Bukti ke kanan

Akan dibuktikan bahwa jika titik ekuilibrium ̅ stabil asimtotik, maka

untuk setiap .

Berdasarkan Definisi (2.7.1) titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik jika ‖ ̅‖ . Hal ini berarti bahwa untuk ,

akan menuju ̅ . Karena merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka memuat . Sehingga, agar

_{menuju ̅ , maka haruslah bernilai negatif.}

Bukti ke kiri

Akan dibuktikan bahwa jika untuk setiap , maka titik ekuilibrium ̅ stabil asimtotik.

Solusi dari sistem persamaan diferensial adalah , maka

selalu memuat . Jika , maka untuk ,

akan menuju ̅ . Sehingga, berdasarkan Definisi (2.7.1), titik ekuilibrium ̅ stabil asimtotik.

27 2. Bukti ke kanan

Akan dibuktikan bahwa jika titik ekuilibrium ̅ stabil, maka untuk setiap .

Andaikan , maka solusi persamaan diferensial yang selalu memuat akan menuju (menjauh dari titik ekuilibrium ̅ untuk , sehingga sistem tidak stabil. Hal ini sesuai dengan kontraposisi pernyataan jika titik ekuilibrium ̅ stabil, maka untuk setiap

. Jadi terbukti bahwa jika titik ekuilibrium ̅ stabil, maka

untuk setiap . Bukti ke kiri

Akan dibuktikan bahwa jika untuk setiap , maka titik ekuilibrium ̅ stabil dan jika ada , maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.

Solusi dari sistem persamaan diferensial adalah , maka

selalu memuat . Jika , maka titik ekuilibrium ̅

stabil asimtotik (pasti stabil). Jika , maka nilai eigen berupa bilangan kompleks murni. Multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan dengan vektor eigen. Sehingga akan dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama.

Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sembarang sistem pada yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni.

28

[ ̇ _̇ ] [ _]

Nilai eigen dari Sistem akan ditentukan dengan mensubstitusi matriks

[ _] ke dalam sehingga didapatkan

([ _])

Diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut:

Akar dari Persamaan adalah √ dan √

Berdasarkan definisi, adalah vektor eigen dari yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika adalah pemecahan nontrivial dari , yakni

[ _]

Untuk √ maka Persamaan menjadi

[ √

√ ]

Matriks augmented dari Sistem yaitu

[ √

√ ] √

29

[ √

√ ]

[

√ √

]

[ √ ]

Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi pada Sistem diperoleh solusi

[ √ ]

atau dapat dituliskan

[ √ ]

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan √ adalah [

√

].

Untuk √ maka Persamaan menjadi

[ √

30 Matriks augmented dari Sistem yaitu

[ √

√ ]

√

[

√

√

]

[

√ √

] [ √ ]

Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi pada Sistem diperoleh solusi

[ √ ]

atau dapat dituliskan

31

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan √ adalah [

√

].

Terbukti bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama. 3. Bukti ke kanan

Akan dibuktikan bahwa jika titik ekuilibrium ̅ tidak stabil, maka

untuk setiap .

Titik ekuilibrium ̅ dikatakan tidak stabil jika , maka akan menuju . Karena merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka memuat . Untuk menuju dipenuhi jika untuk setiap .

Bukti ke kiri

Akan dibuktikan bahwa jika untuk setiap , maka titik ekuilibrium ̅ tidak stabil.

Diketahui bahwa jika maka solusi persamaan diferensial

yang memuat akan menuju . Hal ini berarti solusi akan menjauhi titik ekuilibrium ̅ Sehingga titik ekuilibrium ̅ dikatakan tidak stabil.

Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik lokal jika semua nilai eigen matriks Jacobian mempunyai bagian real negatif. Sementara itu, titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik global jika untuk sebarang nilai awal yang diberikan, solusi Sistem berada dekat dengan titik

32

ekuilibrium ̅ dan untuk membesar menuju tak hingga, konvergen ke titik ekuilibrium ̅.

Contoh 7

Diberikan Sistem . Akan diselidiki tipe kestabilan dari Sistem di sekitar titik ekuilibrium ̅ dan ̅ .

Berdasarkan analisa pada Contoh 6 diperoleh bahwa titik ekuilibrium

merupakan titik ekuilibrium nonhiperbolik. Sehingga perilaku kestabilan sistem linear di sekitar titik ekuilibrium tidak dapat ditentukan. Untuk titik ekuilibrium merupakan titik ekuilibrium hiperbolik, sehingga perilaku kestabilan sistem linear di sekitar titik ekuilibrium sama dengan perilaku sistem nonlinearnya yaitu tidak stabil karena terdapat bagian real dari nilai eigen matriks Jacobian bernilai positif.

2.8 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar adalah suatu parameter tertentu yang digunakan untuk melihat seberapa besar potensi penyebaran penyakit atau infeksi dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai jumlah rata-rata kasus sekunder yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi selama masa terinfeksinya dalam keseluruhan populasi rentan (Diekmann & Heesterbeek, 2000).

Bilangan reproduksi dari suatu model, jika maka titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal dan penyakit tidak menyerang populasi,

33

namun jika maka titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil dan penyakit sangat mungkin untuk menyebar (Driessche & Watmough, 2001). Untuk , maka penyakit endemik dan individu yang terinfeksi penyakit akan menginfeksi lebih dari satu individu yang rentan sehingga penyakit akan menyebar ke populasi.

Misalkan terdapat kelas terinfeksi dan kelas tidak terinfeksi. Selanjutnya dimisalkan pula menyatakan subpopulasi kelas terinfeksi dan menyatakan subpopulasi kelas tidak terinfeksi (rentan dan atau sembuh), dan

, untuk , sehingga

̇

̇

dengan adalah matriks dari laju individu baru terinfeksi penyakit yang menambah kelas terinfeksi dan adalah matriks laju perkembangan penyakit, kematian, dan atau kesembuhan yang mengakibatkan berkurangnya populasi dari kelas terinfeksi.

Perhitungan bilangan reproduksi dasar berdasarkan linearisasi dari sistem persamaan diferensial yang didekati pada titik ekuilibrium bebas penyakit. Hasil linearisasi dari kelas terinfeksi pada titik ekuilibrium bebas penyakit dapat dituliskan sebagai berikut

̇

34

dengan merupakan titik ekuilibrium bebas penyakit. Selanjutnya didefinisikan matriks sebagai

dengan disebut sebagai next generation matrix. Bilangan reproduksi dasar dari model kompartemen adalah

yaitu nilai eigen terbesar dari matriks (Driessche & Watmough, 2001). Contoh 8

Diberikan sistem persamaan diferensial berikut

dengan

: populasi individu rentan pada saat

: populasi individu terinfeksi pada saat t

35

Tentukan bilangan reproduksi dasar dari Sistem . Penyelesaian

Sistem mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit . Penentuan bilangan reproduksi menggunakan metode next generation matrix dapat diperoleh dari kelas , sehingga diperoleh sebagai berikut :

[ ] [ ]

Hasil linearisasi di sekitar titik ekuilibrium bebas penyakit

pada dan adalah

[ ] [ ]

Selanjutnya akan dicari dan didapatkan

Sehingga diperoleh next generation matrix berikut

[ ] [ _]

[ _]

Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari matriks . Jadi, nilai dari Sistem adalah

36 2.9 Kriteria Routh-Hurwitz

Nilai eigen dari matriks adalah akar-akar dari persamaan karakteristik

_{(Olders & Woude, 2004).}

Namun seringkali muncul permasalahan dalam menetukan akar-akar persamaan karakteristik. Sehingga diperlukan suatu aturan atau kriteria yang menjamin nilai dari akar-akar suatu persamaan karakteristik bernilai negatif atau ada yang bernilai positif. Tanda negatif ataupun positif dapat digunakan untuk menetukan sifat kestabilan dari suatu titik ekuilibrium. Salah satu kriteria yang efektif untuk menguji kestabilan sistem adalah kriteria Routh-Hurwitz.

Diberikan persamaan karakteristik nilai eigen dari matriks yang berukuran sebagai berikut:

dengan dan merupakan koefisien dari persamaan karakteristik. Akar-akar dari Persamaan dapat diketahui dengan menyusun tabel Routh-Hurwitz sebagai berikut:

37 dimana :

Perhitungan berhenti sampai kolom pertama menghasilkan nilai nol. Dalam kriteria Routh-Hurwitz semua akar-akar dari Persamaan mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika semua elemen pada kolom pertama tabel Routh-Hurwitz memiliki tanda yang sama (semua bernilai positif atau semua bernilai negatif (Olsder & Woude, 2004).

Contoh 9

Diberikan persamaan karakteristik

Selidiki apakah Persamaan termasuk kriteria Routh-Hurwitz. Penyelesaian

Berdasarkan Persamaan didapatkan nilai

. Akan dibuktikan bahwa semua elemen pada kolom pertama tabel Routh-Hurwitz memiliki tanda yang sama.

38

Karena maka persamaan karakteristik dari Persamaan tidak memenuhi kriteria Routh-Hurwitz.

Contoh 10

Diberikan persamaan karakteristik

39 Penyelesaian

Berdasarkan Persamaan didapatkan nilai

. Akan dibuktikan bahwa semua elemen pada kolom pertama tabel Routh-Hurwitz memiliki tanda yang sama.

Karena , , , dan , maka persamaan karakteristik dari Persamaan memenuhi kriteria Routh-Hurwitz.

40 BAB III

PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dibahas pembentukan model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik, penentukan titik ekuilibrium dan nilai bilangan reproduksi dasar, analisa kestabilan di sekitar titik ekuilibrium, dan simulasi model dengan menggunakan Maple 13.

3.1 Perumusan Masalah Nyata

Diabetes mellitus dapat menyerang semua lapisan umur dan sosial ekonomi, hal ini dipengaruhi oleh gaya hidup masyarakat yang tidak sehat seperti pola makan tidak seimbang, kurang aktivitas fisik, dan kebiasaan merokok (Depkes RI, 2008). Berdasarkan hal tersebut penyebaran dari penyakit diabetes mellitus tipe II adalah dari dalam masing-masing individu yang bergantung pada gaya hidup yang dijalankannya. Faktor risiko dari diabetes melitus tipe II adalah faktor kegemukan atau obesitas yang meliputi perubahan gaya hidup dari tradisional ke gaya hidup barat, makan berlebihan, dan hidup santai atau kurang aktif (Suyono, 2011). Pencegahan terkena diabetes mellitus dapat dilakukan beberapa cara seperti program penurunan berat badan, diet sehat untuk mencapai berat badan ideal, latihan jasmani atau berolahraga secara teratur, dan menghentikan merokok. Penyakit diabetes mellitus tidak dapat disembuhkan tetapi hanya dapat diatasi penyebarannya. Dalam penelitian ini akan dibahas penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan dengan perawatannya berupa pengobatan serta deteksi dini, melakukan perubahan

41

pola dan gaya hidup dengan pengaturan pola makan sesuai dengan status gizi dan kebutuhan dengan komposisi nutrisi seimbang individual, dan berolahraga secara teratur minimal 3-4 kali dalam seminggu.

Individu baru dapat masuk ke dalam populasi karena adanya rekrutmen dan meninggalkan populasi karena kematian. Populasi total adalah semua individu yang rentan, individu laten yaitu individu yang memiliki kebiasaan buruk, penurunan hormon insulin, dan peningkatan glukosa darah, individu yang sudah terkena diabetes mellitus tetapi tidak mendapat perawatan, dan individu yang sudah terkena diabetes mellitus tetapi mendapat perawatan. Laju rekrutmen yang baru menambah populasi individu rentan dalam populasi. Gaya hidup tidak sehat dari individu laten akan mempengaruhi gaya hidup dari individu rentan yang menyebabkan individu rentan menjadi masuk ke populasi individu laten. Laju pengaruh gaya hidup ini kemudian yang disebut laju kontak infektif.

Model matematika pada penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan, populasi manusia pada waktu terbagi dalam kelompok yaitu susceptible (populasi rentan), exposed (populasi laten), kelas ILL (populasi sakit) yang tidak mendapat perawatan (I), dan kelas ILL (populasi sakit) yang mendapat perawatan (IT). Individu yang termasuk dalam subpopulasi susceptible

adalah individu belum terkena diabetes mellitus. Individu yang termasuk dalam subpopulasi exposed adalah individu yang memiliki kebiasaan buruk, penurunan hormon insulin, dan peningkatan glukosa darah, sehingga besar kemungkinan individu tersebut akan terkena dampak dan gejala dari diabetes mellitus. Individu yang termasuk dalam subpopulasi ILL adalah individu yang sudah terkena

42

diabetes mellitus tetapi tidak mendapat perawatan. Individu yang termasuk dalam subpopulasi ILL with treatment adalah individu yang sudah terkena diabetes mellitus tetapi mendapat perawatan.

3.2 Formulasi Model Matematika

Untuk mempermudah dalam memodelkan penyebaran penyakit diabetes mellitus khususnya pada penderita yang mengidap diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan diperlukan asumsi-asumsi sebagai berikut:

1. Individu yang telah sakit tidak dapat disembuhkan.

2. Pengaruh migrasi diabaikan sehingga penyebaran penyakit bersifat tertutup dalam suatu populasi.

3. Tidak adanya faktor genetik yang mempengaruhi penyebaran penyakit diabetes mellitus sehingga tergolong diabetes mellitus tipe II.

4. Dengan adanya perawatan akan memperpanjang usia hidup penderita. 5. Rekrutmen masuk kelas S (Susceptible).

6. Individu yang memiliki kebiasaan buruk, penurunan hormon insulin, dan peningkatan glukosa darah masuk kelas E (Exposed).

7. Individu yang telah sakit dan tidak mendapatkan perawatan masuk kelas I (ILL).

8. Individu yang telah sakit dan mendapatkan perawatan masuk kelas IT

(ILL with Treatment).

9. Terjadi kematian akibat penyakit diabetes mellitus baik penderita yang mendapat perawatan atau tidak mendapat perawatan.

43

Berikut ini didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan dalam model penyakit diabetes mellitus disajikan dalam Tabel 2 berikut.

Tabel 2. Variabel dan Parameter

Simbol Definisi Syarat Satuan

Jumlah individu susceptible pada saat

individu

Jumlah individu exposed pada saat

individu

Jumlah individu sakit pada saat

individu

Jumlah individu sakit dengan perawatan pada saat

individu

Jumlah individu dalam populasi

individu

Laju rekrutmen pada populasi Laju kematian alami

Laju kontak infektif individu

yang rentan terhadap individu yang laten

Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit

44 tanpa perawatan

Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit dengan adanya perawatan

Laju kematian akibat penyakit tanpa perawatan

Laju kematian akibat penyakit

dengan adanya perawatan

Berdasarkan asumsi-asumsi pada subbab dapat dibentuk model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan sebagai berikut:

a. Perubahan jumlah individu susceptible terhadap waktu

Pertambahan jumlah individu kelas susceptible dipengaruhi oleh adanya pertambahan rekrutmen pada populasi , pengurangan jumlah individu yang dipengaruhi oleh kematian alami dari individu susceptible per satuan waktu , dan pengurangan kontak infektif pada individu susceptible terhadap individu exposed . Berdasarkan hal di atas sehingga diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:

45

b. Perubahan jumlah individu exposed terhadap waktu

Kontak infektif pada individu susceptible terhadap individu exposed mempengaruhi pertambahan jumlah individu kelas exposed. Jumlah individu yang mengalami kematian alami dari individu exposed per satuan waktu dan jumlah individu dari kelas exposed per satuan waktu akan mempengaruhi pengurangan populasi exposed. Berdasarkan hal di atas sehingga diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:

c. Perubahan jumlah individu sakit terhadap waktu

Jumlah individu exposed yang berubah menjadi individu sakit tanpa perawatan per satuan waktu mempengaruhi pertambahan populasi sakit. Sementara, kematian alami dan kematian akibat penyakit tanpa perawatan dari individu sakit per satuan waktu akan mengurangi jumlah individu sakit. Berdasarkan hal di atas sehingga diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:

d. Perubahan jumlah individu sakit dengan perawatan terhadap waktu

Berkurangnya kematian alami dan kematian akibat penyakit dengan adanya perawatan per satuan waktu namun bertambahnya individu exposed yang kemudian menjadi individu sakit tetapi mendapatkan perawatan per satuan waktu mempengaruhi pertambahan jumlah

46

individu sakit dengan perawatan. Berdasarkan hal di atas sehingga diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:

Berdasarkan asumsi-asumsi, variabel-variabel, parameter-parameter, dan deskripsi di atas, dapat dibentuk diagram alir berikut:

Gambar 3. Diagram Alir Model Matematika Penyakit Diabetes Mellitus tanpa Faktor Genetik dengan Perawatan

Berdasarkan Persamaan maka penyebaran penyakit diabetes mellitus dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu sebagai berikut:

47

Adapun jumlah populasi total tidak konstan, ditunjukkan sebagai berikut:

dengan .

3.3 Titik Ekuilibrium

Titik ̂ ̂ ̂ ̂ merupakan titik-titik ekuilibrium dari Sistem 5 jika memenuhi persamaan

. Titik-titik ekuilibrium dari Sistem

5 disajikan dalam teorema berikut: Teorema 3.3.1

i. Jika , maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ .

ii. Jika , maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium endemik yaitu dengan

48

Bukti

Sistem 5 akan mencapai titik ekuilibrium pada saat

.

Maka Sistem 5 dapat ditulis:

Dari Persamaan diperoleh

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂( ̂) ̂

( ̂) Dari Persamaan diperoleh

̂ ̂ ̂ ̂

49 Jika ̂ diperoleh

̂ Dari Persamaan diperoleh

̂ ̂ ̂ ̂

̂ ̂ Dari Persamaan diperoleh

̂ ̂ ̂ ̂

̂ ̂ ₅ (i) Substitusikan Persamaan pada Persamaan diperoleh

̂

( ̂) ̂

( )

̂ Selanjutnya Persamaan disubstitusikan pada Persamaan diperoleh

̂ ̂ ̂

50

̂ Persamaan disubstitusikan pada Persamaan 5 diperoleh

̂ ̂ ̂

̂ Berdasarkan penyelesaian di atas diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit pada Persamaan dan yaitu ( ̂ ̂ ̂ ̂ )

. Jadi terbukti jika maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ .

(ii) Berdasarkan Persamaan , jika (disimbolkan ) maka diperoleh

Selanjutnya substitusi Persamaan pada Persamaan diperoleh

( _{) ( )} ( ₎ ( ₎

51

Persamaan disubstitusikan pada Persamaan diperoleh

( )

Substitusi Persamaan pada Persamaan diperoleh

( )

52

Berdasarkan Persamaan , , , dan , terbukti jika maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium endemik

yaitu

dengan .

3.4 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan dari individu menjadi terinfeksi yang disebabkan oleh individu terinfeksi primer. Jika maka penyakit tidak akan menyerang populasi dan tidak terdapat kejadian epidemik, dan jika maka penyakit sangat mungkin untuk menyebar.

Penentuan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode next generation matrix dari Sistem 5 . Pada model ini, untuk kelas terinfeksi adalah kelas exposed , kelas ILL , dan kelas ILL dengan perawatan , maka persamaan yang digunakan adalah Persamaan dan yang dapat dituliskan sebagai berikut:

53 maka diperoleh [ ]

Hasil linearisasi disekitar titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) pada dan adalah

[ ]

Selanjutnya akan dicari didapatkan

[ | _| | _| | _| | _{| | |} | _| | | | _| | _|] [ ]

54

Kemudian akan dicari next generation matrix dengan cara mengalikan matriks dengan matriks dan diperoleh

[

] [

]

[

]

Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari matriks . Jadi, nilai dari Sistem 5 adalah

3.5 Kestabilan Titik Ekuilibrium

Pada subbab ini, akan dilakukan analisis kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem 5 . Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem 5 disajikan dalam teorema berikut.

Teorema 3.5.1

i. Jika maka titik ekuilibrium bebas penyakit ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) stabil asimtotik lokal.

55

ii. Jika maka titik ekuilibrium bebas penyakit ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) tidak stabil.

Bukti

Akan dicari nilai eigen pada titik ekuilibrium bebas penyakit dengan mendefinisikan Sistem 5 sebagai berikut:

̇ ̇

̇

̇ Pendekatan linear untuk Sistem 5 diperoleh dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik ekuilibrium ̂ ̂ ̂ ̂ yaitu:

( ̂ ̂ ̂ ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂)

( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂)

( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂)

( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ₍ ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂)

( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂)

56

Pendekatan linear untuk Sistem adalah

( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)( ̂)

dengan dan merupakan bagian nonlinear yang selanjutnya dapat diabaikan karena nilai dan mendekati nol. Sehingga Sistem dapat dituliskan sebagai matriks seperti berikut:

[ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ )] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ]

Misalkan ̂, ̂, ̂, dan ̂, maka dari Sistem diperoleh

[ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ )] [ ̇ ̇ ̇ ̇ _]

57

Sistem merupakan linearisasi Sistem 5 , sehingga diperoleh matriks Jacobian pada titik ekuilibrium ̂ ̂ ̂ ̂ dari Sistem 5 sebagai berikut: [ ] [ ]

Akan ditunjukkan bahwa jika , titik ekuilibrium bebas penyakit ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) stabil asimtotik lokal.

Substitusi titik ekuilibrium bebas penyakit ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ke Persamaan akan diperoleh matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium

sebagai berikut: [ ]

58

Nilai eigen dari Persamaan dapat dicari dengan menyelesaikan , dengan adalah nilai eigen dan adalah matriks identitas, sehingga diperoleh | | [ ] | | | | | | || || ( ₎ Berdasarkan Persamaan , diperoleh nilai eigen sebagai berikut:

59

( ₎

Sehingga didapatkan

Jelas , , dan bernilai negatif, karena , , dan bernilai positif. Selanjutnya berdasarkan yang diketahui bahwa , maka bernilai negatif.

60

Hal ini menunjukkan bahwa semua nilai eigen dari Persamaan bernilai negatif, sehingga titik ekuilibrium bebas penyakit ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) stabil asimtotik lokal.

Jika diketahui , maka diperoleh nilai eigen dari adalah positif. Berdasarkan hal tersebut, maka titik ekuilibrium bebas penyakit

( ̂ ̂ ̂ ̂ ) tidak stabil.

Teorema 3.5.2

Jika maka titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal dengan

Bukti

Substitusi titik ekuilibrium endemik

61 ke Persamaan dan diperoleh

[ ( ₎ ( ) _]

Selanjutnya menentukan dengan adalah nilai eigen dan adalah matriks identitas untuk mencari nilai eigen sebagai berikut:

| | [ ( ₎ ( ) _] | | | | ( ) ( ) | | | | ( ) ( ) | | _|| ( ₎ ( ) | |

62

( )

(( ) )

Berdasarkan Persamaan diperoleh nilai eigen sebagai berikut:

Jelas nilai eigen dari dan bernilai negatif karena dan bernilai positif. Untuk nilai eigen yang lainnya sebagai berikut:

( ) (( ) )

( )

Untuk nilai eigen yang lainnya, akan digunakan kriteria Routh-Hurwitz untuk melihat sifat akar-akar karakteristiknya.

Dari Persamaan diperoleh

63

dengan

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, akar-akar karakteristik dari Persamaan akan memiliki bagian real bernilai negatif jika semua elemen kolom pertama bernilai sama (positif semua atau negatif semua). Oleh karena , maka haruslah dan . Selanjutnya diketahui , maka dan .

Akan dibuktikan bahwa jika , maka .

Jika , maka terbukti bahwa .

64

Diperoleh semua nilai eigen dari Persamaan bernilai negatif, sehingga terbukti bahwa jika , maka titik ekuilibrium endemik

stabil asimtotik lokal.

3.6 Simulasi Model

Pada subbab ini akan dibahas mengenai simulasi dalam keadaan bebas penyakit dan keadaan terjangkit penyakit untuk memberikan gambaran lebih jelas mengenai model matematika untuk masalah penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan dengan menggunakan parameter-parameter dan nilai awal tertentu.

Jumlah penduduk di Kota Yogyakarta pada tahun 2014 berjumlah 413936 jiwa. Penderita diabetes mellitus tipe II untuk di Kota Yogyakarta berjumlah 2891 jiwa dan 1816 jiwa diantaranya mendapatkan perawatan (Profil Kesehatan Kota Yogyakarta, 2015). Berdasarkan permasalahan nyata yang terjadi di Kota

65

Yogyakarta diperoleh nilai awal untuk 5 5 5 . Nilai menyatakan laju kematian alami individu. Menurut proyeksi penduduk Indonesia tahun 2013, angka harapan hidup di Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta adalah tahun, sehingga diperoleh 5. Nilai menyatakan laju rekrutmen dalam populasi. Menurut profil kesehatan Kota Yogyakarta tahun 2015, tingkat kelahiran per 1000 kelahiran adalah , sehingga diperoleh

5 5

.

Diasumsikan laju perpindahan individu yang laten menjadi sakit adalah 20 tahun, laju kematian karena penyakit diabetes adalah 60 tahun, dan laju kematian karena penyakit diabetes adanya pengaruh perawatan adalah 62 tahun, maka diperoleh

₅ Parameter menyatakan laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang laten. Nilai parameter ini dapat bervariasi. Diberikan simulasi model yang akan menunjukkan pengaruh dari variasi nilai parameter terhadap penyebaran penyakit diabetes mellitus. Berikut simulasi untuk dan

.

1. Simulasi untuk

Diambil nilai 5, sehingga mendapatkan nilai . Jika nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan maka diperoleh nilai

66

. Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut, diperoleh simulasi yang ditunjukkan pada Gambar 4. sebagai berikut:

Gambar 4. Grafik Simulasi untuk dengan 5

Pada Gambar 4 terlihat bahwa pada saat sampai kurang lebih sebelum populasi kelas (Susceptible) mengalami penurunan dan populasi kelas (Exposed), populasi kelas (ILL), dan populasi kelas (ILL with treatment) mengalami peningkatan. Seiring dengan berjalannya waktu populasi kelas (Susceptible), populasi kelas (Exposed), populasi kelas (ILL), dan populasi kelas (ILL with treatment) menuju titik ekuilibrium bebas penyakit 5 . Ini berarti jumlah individu yang masuk di masing-masing kelas akan berkurang dan bahkan menghilang dari populasi.

67 2. Simulasi untuk

Diambil nilai 5, sehingga mendapatkan nilai . Jika nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan maka diperoleh nilai . Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut, diperoleh simulasi yang ditunjukkan pada Gambar 5 sebagai berikut:

Gambar 5. Grafik Simulasi untuk dengan 5

Selanjutnya diambil nilai 5. Jika nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan maka diperoleh nilai . Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut, diperoleh simulasi yang ditunjukkan pada Gambar 6 sebagai berikut:

68

Gambar 6. Grafik Simulasi untuk dengan 5

Selanjutnya diambil nilai 5. Jika nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan maka diperoleh nilai 5 . Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut, diperoleh simulasi yang ditunjukkan pada Gambar 7 sebagai berikut:

69

Gambar 7. Grafik Simulasi untuk 5 dengan 5

Berdasarkan Gambar 5, Gambar 6, dan Gambar 7 ditunjukkan bahwa populasi kelas (Susceptible) semakin menurun kemudian meningkat kembali menuju titik ekuilibrium dan populasi kelas (ILL with treatment) dari meningkat kemudian menurun menuju titik ekuilibrium yang artinya jumlah individu yang sakit dengan adanya perawatan akan tetap ada dalam populasi. Populasi kelas (Exposed) mengalami penurunan tetapi jumlah individu laten akan ada dalam populasi karena terjadi kontak infektif antara populasi (Susceptible) dan (Exposed). Populasi kelas (ILL) semakin menurun menuju titik ekuilibrium. Berdasarkan hal tersebut menunjukkan bahwa jika parameter yang terbentuk memenuhi , maka penyakit diabetes mellitus akan menjadi endemik.

70

Nilai numerik untuk nilai 5 adalah 5 .

Untuk 5 diperoleh 5 5 .

Untuk 5 diperoleh 5 5 .

Berdasarkan nilai numerik dan simulasi pada Gambar 5, Gambar 6, dan Gambar 7, terlihat bahwa saat laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang laten meningkat maka populasi individu rentan semakin menurun, sementara populasi individu laten, sakit, dan sakit dengan adanya perawatan semakin meningkat sebanding dengan nilai parameter . Nilai parameter yang semakin meningkat menunjukkan bahwa solusi Sistem 5 semakin lama akan menuju titik ekuilibrium , dan nilai semakin besar. Hal ini berarti jika laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang laten semakin besar, maka berakibat semakin besar tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus.

Diasumsikan laju perpindahan individu yang laten menjadi sakit tanpa perawatan adalah 5 tahun, maka diperoleh

dan diambil nilai

5. Berikut simulasi model untuk yang akan menunjukkan pengaruh dari perubahan nilai parameter :

71

Gambar 8. Grafik Simulasi untuk dengan 5 dan

Nilai numerik untuk nilai 5 dan nilai adalah 5 .

Berdasarkan nilai numerik dan simulasi pada Gambar 5 dan Gambar 8 terlihat bahwa saat laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa perawatan ( meningkat maka populasi individu rentan dan populasi individu laten tidak ada peningkatan maupun penurunan, sedangkan untuk populasi individu sakit semakin meningkat dan populasi individu sakit dengan adanya perawatan semakin menurun. Laju perpindahan individu laten terhadap individu

72

sakit tanpa perawatan ini tidak mempengaruhi perubahan kestabilan titik ekuilibrium endemik , namun hanya mempengaruhi perilaku solusi Sistem 5 dalam menuju titik ekuilibrium endemik . Perubahan parameter yang semakin meningkat menunjukkan bahwa solusi Sistem 5 semakin lama akan menuju titik ekuilibrium dan tidak ada perubahan terhadap nilai yang artinya tidak berpengaruh terhadap tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus.

73 BAB IV

PENUTUP

Berdasarkan hasil analisis dan simulasi pada model matematika penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan, maka diperoleh kesimpulan dan saran sebagai berikut :

4.1 Kesimpulan

Pada skripsi ini telah dibahas mengenai model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan. Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan model tersebut adalah:

4.1.1 Model matematika untuk penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu. Model yang diperoleh sebagai berikut:

dengan .

4.1.2 Berdasarkan analisis kestabilan model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan didapatkan hasil sebagai berikut:

74

a. Titik ekuilibrium model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan diperoleh dua titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) dan titik ekuilibrium endemik yaitu

dengan

b. Model penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan memiliki suatu parameter indikator penyebaran penyakit yang disebut bilangan reproduksi dasar sebagai berikut:

c. Pada kondisi maka titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal dan penyakit tidak menyerang populasi artinya dalam jangka waktu yang lama populasi penderita diabetes mellitus akan semakin berkurang atau bahkan menghilang. Pada kondisi maka titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil dan titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal yang artinya penyakit sangat mungkin untuk

75

menyebar dan untuk jangka waktu tertentu populasi penderita diabetes mellitus akan tetap ada.

4.1.3 Berdasarkan hasil simulasi numerik pada penderita diabetes mellitus di Kota Yogyakarta, terlihat bahwa semakin besar laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang laten maka populasi individu laten, populasi individu yang sakit, dan populasi individu yang sakit dengan perawatan semakin meningkat, populasi individu rentan semakin menurun, dan tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus semakin besar. Peningkatan laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa perawatan ( mempengaruhi jumlah individu sakit dimana semakin meningkat, jumlah individu sakit dengan adanya perawatan dimana semakin menurun, jumlah individu rentan dan populasi individu laten dimana tidak ada peningkatan maupun penurunan, dan tidak berpengaruh pada tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus.

4.2 Saran

Pada skripsi ini model penyebaran penyakit diabetes mellitus hanya terbatas di wilayah Kota Yogyakarta tahun 2014. Oleh sebab itu, untuk penelitian selanjutnya bisa dilakukan pengambilan data pada wilayah lainnya agar dapat mengetahui penyebaran penyakit diabetes mellitus di wilayah lainnya.

Selain itu dapat dibahas pula untuk pengembangan model dengan laju rekrutmen sama dengan laju kematian alami dan analisis kestabilan global model.

76

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi kelima. Jakarta: Erlangga. Badan Pusat Statistik. 2013. Proyeksi Penduduk Indonesia 2010-2035. Jakarta:

Badan Pusat Statistik.

Boutayeb A, Twizell E H, Achouayb K, & Chetouani A. 2006. A Non-Linear Population Model of Diabetes Mellitus. J. Appl. Math. & Computing. 18(1-2):128.

Depkes RI. 2008. Diabetes Mellitus Ancaman Umat Manusia di Dunia. Jakarta: Depkes RI.

Diekmann, O. & Heesterbeek, J.A.P. 2000. Mathematical Epidemiology of Infectioun Diseases: Model Building, Analysis and Interpretation. New York: Wiley.

Dinas Kesehatan. 2015. Profil Kesehatan Tahun 2015 Kota Yogyakarta.

Driessche, P. Van Den & James Watmough. 2002. Reproduction Numbers and Sub-Threshold Endemik Equilibria for Compartemental Models of Disease Transmission. Mathematical Bioscience. 180. hlm 29-48.

Hardiman. 2009. Rapid acting insulin analogue merupakan satu langkah lebih maju dalam terapi DM tipe-2 dalam kondisi gawat darurat maupun untuk regulasi glukosa darah. Simposium. Semarang: Badan Penerbit.

International Diabetes Federation. 2015. IDF Diabetes Atlas Seventh Edition 2015. Diunduh pada tanggal 20 Mei 2017 dari www.oedg.at/pdf/1606_IDF_Atlas_2015_UK.pdf.

Julia Ulfah, M. Kharis, & Moch Chotim. 2014. Model Penyakit untuk Penyakit Diabetes Mellitus tanpa Faktor Genetik dengan Perawatan. Unnes Journal of Mathematics. Semarang: UNNES.

Makrogou A, Li J, & Kuang Y. 2006. Mathematical Models and Software Tools for The Glucose-Insulin Regulatory System and Diabetes. Applied Numerical Mathematics. 56 :560.

Olsder, G. J & Woude, J. W. van der. 2004. Mathematical System Theory. Netherland: VVSD.

Perko, Lawrence. 2000. Differential Equations and Dynamical System: Third Edition. New York: Springer-Verlag, New York.

77

Riset Kesehatan Dasar. 2008. Laporan Nasional 2007. Jakarta: Departemen Kesehatan RI. Diunduh pada tanggal 22 Mei 2017 dari https://www.k4health.org.

Ross, Shepley. L. 1984. Introduction to Ordinary Differential Equation. John Wiley and Sons: USA.

Subroto, M. Ahkam. 2006. Ramuan Herbal untuk Diabetes Mellitus. Depok: Penebar Swadaya.

Suyono, S. 2011. Patofisiologi Diabetes Melitus. Jakarta: Fakultas Kedokteran Universitas Indonesia.

Widowati & Sutimin. 2007. Pemodelan Matematika. Semarang: Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Diponegoro.

Wiggins, Stephen. 2003. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos: Second Edition. New York: Springer.

78 LAMPIRAN

Lampiran 1. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan

>

79

Lampiran 2. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan

>

80

Lampiran 3. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan

>

>

81

Lampiran 4. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan

>

82

Lampiran 5. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan

dan

>

i

ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIIT (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA PENYAKIT DIABETES MELLITUS

TUGAS AKHIR SKRIPSI

Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh : Hesti Endah Lestari

NIM 13305144002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

ii

iii

iv

PERNYATAAN

Yang bertanda tangan dibawah ini saya : Nama : Hesti Endah Lestari NIM : 13305144002 Program Studi : Matematika

Judul TAS : ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIIT

(SUSCEPTIBLE-EXPOSED-ILL-ILL WITH TREATMENT) PADA

PENYAKIT DIABETES MELLITUS

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti kata penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Apabila terbukti bahwa pernyataan ini tidak benar maka sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai peratuan yang berlaku.

Yogyakarta, 1 Juni 2017 Yang menyatakan,

Hesti Endah Lestari NIM. 13305144002

v MOTTO

“Man Jadda Wa Jadda”

Barang siapa yang bersungguh-sungguh, akan mendapatkannya.

“Siapa yang keluar mencari ilmu dan ia berniat akan mengamalkan dengan ilmunya, niscaya ilmunya memberi manfaat akan dia, walau hanya sedikit ilmu

yang dicapainya”

Abdul Hasan Al-Waa’izh

“Dan barang siapa yang menempuh suatu perjalanan untuk mencari suatu ilmu, maka Allah akan mudahkan baginya suatu jalan menuju Surga”

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Tabel Routh-Hurwitz ... 36 Tabel 2. Variabel dan Parameter ... 43

xiii

Gambar 1. Proses Pemodelan Matematika... 10

Gambar 2. Ilustrasi Kestabilan ... 25

Gambar 3. Diagram Alir Model Matematika Penyakit Diabetes Mellitus tanpa Faktor Genetik dengan Perawatan... 46

Gambar 4. Grafik Simulasi untuk dengan ... 66

Gambar 5. Grafik Simulasi untuk dengan ... 67

Gambar 6. Grafik Simulasi untuk dengan ... 68

Gambar 7. Grafik Simulasi untuk dengan ... 69

Gambar 8. Grafik Simulasi untuk dengan dan ... 71

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan ... 78 Lampiran 2. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan

... 79 Lampiran 3. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan

... 80 Lampiran 4. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan

... 81 Lampiran 5. Program Maple 13 simulasi model untuk dengan

xv Jumlah individu susceptible Jumlah individu exposed

Jumlah individu sakit

Jumlah individu sakit dengan perawatan Jumlah individu dalam populasi

Nilai eigen Matriks identitas

Himpunan bilangan real Kondisi awal

̇ Turunan terhadap Himpunan terbuka

Himpunan bagian atau sama dengan Elemen/anggota

̅ Titik ekuilibrium ̇ Turunan terhadap

( ̅ ) Matriks Jacobian di ̅

Himpunan bilangan real berdimensi Himpunan bilangan real berdimensi Bagian real dari nilai eigen ke

xvi Bilangan asli

Nilai eigen dominan dari matriks Laju rekrutmen pada populasi Laju kematian alami

Laju kontak infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten

Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa perawatan

Laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit

dengan adanya perawatan

Laju kematian akibat penyakit tanpa perawatan

Laju kematian akibat penyakit dengan adanya perawatan Titik ekuilibrium bebas penyakit