Titik Ekuilibrium Bilangan Reproduksi Dasar

47 Adapun jumlah populasi total tidak konstan, ditunjukkan sebagai berikut: dengan .

3.3 Titik Ekuilibrium

Titik ̂ ̂ ̂ ̂ merupakan titik-titik ekuilibrium dari Sistem 5 jika memenuhi persamaan . Titik-titik ekuilibrium dari Sistem 5 disajikan dalam teorema berikut: Teorema 3.3.1 i. Jika , maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ . ii. Jika , maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium endemik yaitu dengan 48 Bukti Sistem 5 akan mencapai titik ekuilibrium pada saat . Maka Sistem 5 dapat ditulis: Dari Persamaan diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Dari Persamaan diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 49 Jika ̂ diperoleh ̂ Dari Persamaan diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Dari Persamaan diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 5 i Substitusikan Persamaan pada Persamaan diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ Selanjutnya Persamaan disubstitusikan pada Persamaan diperoleh ̂ ̂ ̂ 50 ̂ Persamaan disubstitusikan pada Persamaan 5 diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ Berdasarkan penyelesaian di atas diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit pada Persamaan dan yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ . Jadi terbukti jika maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ . ii Berdasarkan Persamaan , jika disimbolkan maka diperoleh Selanjutnya substitusi Persamaan pada Persamaan diperoleh 51 Persamaan disubstitusikan pada Persamaan diperoleh Substitusi Persamaan pada Persamaan diperoleh 52 Berdasarkan Persamaan , , , dan , terbukti jika maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium endemik yaitu dengan .

3.4 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan dari individu menjadi terinfeksi yang disebabkan oleh individu terinfeksi primer. Jika maka penyakit tidak akan menyerang populasi dan tidak terdapat kejadian epidemik, dan jika maka penyakit sangat mungkin untuk menyebar. Penentuan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode next generation matrix dari Sistem 5 . Pada model ini, untuk kelas terinfeksi adalah kelas exposed , kelas ILL , dan kelas ILL dengan perawatan , maka persamaan yang digunakan adalah Persamaan dan yang dapat dituliskan sebagai berikut: 53 maka diperoleh [ ] Hasil linearisasi disekitar titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ pada dan adalah [ ] Selanjutnya akan dicari didapatkan [ | | | | | | | | | | | | | | | | | |] [ ] 54 Kemudian akan dicari next generation matrix dengan cara mengalikan matriks dengan matriks dan diperoleh [ ] [ ] [ ] Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari matriks . Jadi, nilai dari Sistem 5 adalah

3.5 Kestabilan Titik Ekuilibrium