47 Adapun jumlah populasi total tidak konstan, ditunjukkan sebagai berikut:
dengan .
3.3 Titik Ekuilibrium
Titik ̂ ̂ ̂
̂ merupakan titik-titik ekuilibrium dari Sistem 5 jika memenuhi persamaan
. Titik-titik ekuilibrium dari Sistem 5 disajikan dalam teorema berikut:
Teorema 3.3.1
i. Jika , maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu
̂ ̂ ̂ ̂
. ii.
Jika , maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium endemik yaitu dengan
48 Bukti
Sistem 5 akan mencapai titik ekuilibrium pada saat
. Maka Sistem
5 dapat ditulis:
Dari Persamaan diperoleh
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ Dari Persamaan
diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
49 Jika
̂ diperoleh ̂
Dari Persamaan diperoleh
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂
Dari Persamaan diperoleh
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ 5
i Substitusikan Persamaan pada Persamaan diperoleh
̂ ̂
̂
̂ Selanjutnya Persamaan
disubstitusikan pada Persamaan diperoleh
̂ ̂
̂
50 ̂
Persamaan disubstitusikan pada Persamaan 5 diperoleh
̂ ̂
̂
̂
Berdasarkan penyelesaian di atas diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit pada Persamaan
dan yaitu ̂ ̂ ̂
̂ . Jadi terbukti jika maka Sistem 5 memiliki titik
ekuilibrium bebas penyakit yaitu ̂ ̂ ̂
̂ .
ii Berdasarkan Persamaan , jika disimbolkan
maka diperoleh
Selanjutnya substitusi Persamaan pada Persamaan diperoleh
51 Persamaan
disubstitusikan pada Persamaan diperoleh
Substitusi Persamaan pada Persamaan diperoleh
52 Berdasarkan Persamaan
, , , dan , terbukti jika maka Sistem 5 memiliki titik ekuilibrium endemik
yaitu
dengan .
3.4 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan dari individu menjadi terinfeksi yang disebabkan oleh individu terinfeksi primer. Jika
maka penyakit tidak akan menyerang populasi dan tidak terdapat kejadian epidemik,
dan jika maka penyakit sangat mungkin untuk menyebar.
Penentuan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode next
generation matrix dari Sistem 5 . Pada model ini, untuk kelas terinfeksi
adalah kelas exposed , kelas ILL , dan kelas ILL dengan perawatan
, maka persamaan yang digunakan adalah Persamaan
dan yang dapat dituliskan sebagai berikut:
53 maka diperoleh
[ ]
Hasil linearisasi disekitar titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu ̂ ̂ ̂
̂ pada dan adalah
[ ]
Selanjutnya akan dicari didapatkan
[ |
| |
| |
| |
| | |
| |
| |
| |
| |]
[ ]
54 Kemudian akan dicari next generation matrix
dengan cara mengalikan matriks dengan matriks
dan diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari
matriks
. Jadi, nilai
dari Sistem 5 adalah
3.5 Kestabilan Titik Ekuilibrium