dinyatakan sebagai A=B N, dengan B ialah matriks yang elemennya berupa koefisien
variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel
nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis PL 1.
Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai
vektor
B N
x x =
x
, dengan
B
x
ialah vektor variabel basis dan
N
x
ialah vektor nonbasis, maka
Ax = b
dapat dinyatakan Sebagai
B N
x Ax = B N
x
2
.
B N
= Bx + Nx = b
Karena B ialah matriks taksingular, maka B
memiliki invers, sehingga dari 2
B
x
dapat dinyatakan sebagai :
−
-1 -1
B N
x = B b B Nx
Kemudian, fungsi objektifnya berubah menjadi:
min z =
T T
B B
N N
c x + c x
Winston 2004
Definisi 2 Solusi Basis
Solusi basis ialah solusi PL yang didapatkan dengan mengatur variabel n
−
m sama
dengan nol dan nilai untuk penyelesaiannya adalah dari sisa variabel m.
Hal ini dengan mengasumsikan bahwa mengatur variabel n
−
m sama dengan nol akan membuat nilai yang unik untuk sisa
variabel m atau sejenisnya, kolom-kolom untuk sisa dari variabel m adalah bebas linear.
Winston 2004
Definisi 3 Solusi Fisibel Basis
Solusi fisibel basis ialah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya
taknegatif. Winston 2004
Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel diberikan dalam Contoh 1.
Contoh 1
Misalkan diberikan PL berikut :
1 2
min 2
4 , z
x x
= − −
1 2
3
terhadap 2 5,
x x
x −
+ +
=
1 2
4
2 7,
x x
x − +
+ =
1 5
9, x
x +
=
1 2
3 4
5
, ,
, ,
0. 4
x x x x x ≥
Dari PL tersebut didapatkan :
2 1
1 5
1 2 1
0 , 7 .
1 1
9 A
b −
= − =
Misalkan dipilih X
B
= x
1
x
2
x
3 T
dan X
N
= x
4
x
5 T
, maka matriks basis
2 1
1 =
1 2 0 ,
1 −
−
B
1 = 0
1 2 1 2 ,
1 1 2 3 2
−
-1
B
0 0 = 1 0
0 1
N
2 4
0, = −
− =
T T
B N
c c
Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh
0 ,
T
=
N
x
9 8 15 ,
T
=
-1 B
x = B b
50. z
= −
T -1
B
= c B b
5 Solusi 5 merupakan solusi basis, karena
solusi tersebut memenuhi kendala pada PL 4 dan kolom-kolom pada matriks kendala
yang berpadanan dengan komponen taknol dari 5 yaitu B, bebas linear kolom yang satu
bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain. Solusi 5 juga merupakan solusi basis
fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
Definisi 4 Daerah Fisibel
Daerah fisibel untuk PL ialah himpunan bilangan yang memenuhi semua kendala dan
pembatasan tanda pada PL tersebut. Winston 2004
Definisi 5 Solusi Optimal
Untuk masalah maksimisasi, solusi
optimal pada PL ialah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif paling
besar, sedangkan untuk masalah minimisasi, solusi optimal ialah suatu titik pada daerah
fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.
Winston 2004
2.5 Pemrograman Linear Integer
Pemrograman Linear Integer PLI ialah suatu model pemrograman linear dengan
variabel yang digunakan berupa bilangan bulat integer. Jika semua variabel harus
berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika
hanya sebagian yang harus berupa integer, 3
maka disebut
mixed integer linear
programming MILP. Semua variabel dalam PLI harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 PLI.
Garfinkel Nemhauser 1972
Definisi 8 Relaksasi Pemrograman Linear
Relaksasi pemrograman linear atau sering disebut relaksasi-PL
merupakan suatu pemprograman linear yang diperoleh dari
suatu PLI dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap
variabelnya.
Untuk masalah maksimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih
besar atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI, sedangkan untuk masalah
minimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih kecil atau sama dengan
nilai optimum fungsi objektif PLI.
Winston 2004
2.6 Metode Branch and Bound
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah PLI
digunakan software LINGO 11.0 yaitu program untuk menentukan solusi model
linear, nonlinear, dan optimisasi integer dengan lebih cepat, mudah, dan lebih efisien.
Software LINGO 11.0 menggunakan metode branch and bound untuk menyelesaikan
masalah PLI. Prinsip dasar metode branch and bound
ialah memecah daerah fisibel dari masalah relaksasi-PL dengan membuat subproblem-
subproblem. Daerah fisibel suatu pemrograman linear ialah daerah yang
memuat titik-titik yang dapat memenuhi kendala linear masalah pemrograman linear.
1. Branch
Branching pencabangan ialah proses membagi permasalahan menjadi subproblem-
subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.
2. Bound
Bounding pembatasan ialah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas atas
dalam masalah minimisasi dan batas bawah dalam masalah maksimisasi untuk solusi
optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi.
Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan
relaksasi-PL dari suatu
pemrograman linear integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah
berupa integer, maka solusi tersebut
merupakan solusi optimum PLI. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan
batasan pada relaksasi-PLnya kemudian diselesaikan.
Winston 2004 menyebutkan bahwa untuk masalah maksimisasi nilai fungsi
objektif optimum untuk PLI nilai fungsi
objektif optimum untuk relaksasi-PL, sehingga nilai fungsi objektif optimum
relaksasi-PL merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI.
Diungkapkan pula dalam Winston 2004 untuk masalah maksimisasi bahwa nilai fungsi
objektif optimum untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif
optimum untuk masalah PLI asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu
subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah PLI, artinya fungsi objektif dan
semua variabelnya sudah bernilai integer.
Sebelumnya akan dibahas terlebih dulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut
Winston 2004, suatu subproblem dikatakan terukur fathomed jika terdapat situasi
sebagai berikut. 1.
Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum
untuk PLI. 2.
Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya
bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang
lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini
menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah
dalam masalah maksimisasi dan batas atas dalam masalah minimisasi nilai
fungsi objektif optimum bagi masalah PLI pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini
menghasilkan
solusi optimum untuk masalah PLI.
3. Nilai fungsi objektif optimum untuk
subproblem tersebut tidak melebihi untuk masalah maksimisasi batas bawah saat
itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi.
Berikut ini ialah langkah-langkah
penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound.
• Langkah 0 Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai
fungsi objektif solusi PLI yang optimum. Pada awalnya ditetapkan
−∞ =
z dan i = 0.
• Langkah 1 Subproblem PL
i
dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diperiksa.
X
2
X
2
Subproblem PL
i
diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai.
a Jika PL
i
terukur, batas bawah z diperbarui jika solusi PLI yang lebih baik
ditemukan. Jika tidak, subproblem baru i dipilih dan Langkah 1 diulangi. Jika
semua subproblem telah diperiksa, maka proses dihentikan.
b Jika PL
i
tidak terukur, proses
dilanjutkan ke Langkah 2 untuk melakukan pencabangan PL
i.
• Langkah 2 Dipilih salah satu variabel
j
x
dengan nilai optimumnya ialah
j
x
yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi PL
i
. Bidang
1
j j
j
x x
x
+
dipecah menjadi dua subproblem, yaitu
dan 1
j j
j j
x x
x x
≤ ≥
+
, dengan
j
x
didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan
j
x
. Jika PL
i
masih tidak terukur, maka kembali ke Langkah 1.
Taha 1996 Untuk memudahkan pemahaman metode
branch-and-bound diberikan contoh sebagai berikut.
Contoh 2 Misalkan diberikan PLI berikut:
maksimumkan z = 3x
1
+5x
2,
dengan kendala x
1
+3x
2
≤ 15, 5x
1
+6x
2
≤ 64, x
1
, x
2
≥ 0, 6
x
1
, x
2
integer. Solusi optimum relaksasi-PL dari masalah
PLI 6 ialah x
1
= 11,33, x
2
= 1,2 dan z = 40,11 detail pengitungan dapat dilihat pada
Lampiran 1. Batas atas nilai optimum fungsi objektif masalah ini ialah z = 40,11. Daerah
fisibel relaksasi-PL
masalah PLI
6 ditunjukkan pada Gambar 1 daerah yang
diarsir sedangkan titik-titik merupakan solusi fisibel masalah PLI 6.
Gambar 1 Daerah fisibel daerah yang diarsir untuk relaksasi-PL dari PLI 6.
Langkah berikutnya ialah memartisi
daerah fisibel relaksasi-PL menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang berbentuk
pecahan non-integer. Karena nilai dari kedua variabel yang diperoleh bukan integer,
maka dipilih salah satu variabel untuk dasar pencabangan. Misalnya dipilih x
2
sebagai dasar pencabangan. Jika masalah relaksasi-PL
diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2
subproblem, yaitu: • Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah
kendala x
2
≤ 1; • Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah
kendala x
2
≥ 2; Hal ini diilustrasikan secara grafis pada
Gambar 2.
Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3.
Setiap titik solusi fisibel dari PLI 6 termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2
atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3
dikatakan dicabangkan oleh x
2
. Sekarang dipilih subproblem yang belum
diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimum untuk
Daerah fisibel
Subproblem 2 Subproblem 3
X
1
X
1
Subproblem 2 ini ialah x
1
=11,6, x
2
= 1 dan z = 39,8
detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1.
Karena solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 2 bukan solusi integer, maka
dipilih pencabangan pada Subproblem 2 atas x
1
, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu:
• Subproblem 4: Subproblem 2 ditambah kendala x
1
≤ 11; • Subproblem 5: Subproblem 2 ditambah
kendala x
1
≥12. Saat ini subproblem yang belum
diselesaikan ialah Subproblem 3, 4, dan 5. Salah satu subproblem dipilih, misalnya
dengan aturan LIFO last in first out. Dengan adanya aturan ini berarti dipilih Subproblem 4
atau
Subproblem 5. Subproblem 4 menghasilkan kandidat solusi optimal x
1
= 11, x
2
= 1 dan z = 38 yang berupa integer detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1,
sehingga kandidat solusi optimal dari PLI 6 ialah dari subproblem 4. Nilai z baru
merupakan batas bawah baru bagi nilai optimal PLI 6.
Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 5, yang kemudian menghasilkan solusi
optimal x
1
= 12, x
2
= 0,67 dan z = 39,33 detail penghitungan dapat dilihat pada
Lampiran 1. Karena x
2
= 0,67 bukan integer, maka dilakukan kembali pencabangan atas
2
x , sehingga diperoleh: • Subproblem 6: Subproblem 5 ditambah
kendala x
2
≤ 0; • Subproblem 7: Subproblem 5 ditambah
kendala x
2
≥ 1. Selanjutnya berdasarkan aturan LIFO,
dipilih Subproblem 6. Subproblem yang dipilih menghasilkan solusi optimal
1
12,8 x
=
,
2
x = , dan
38, 4 z
=
detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1. Karena solusi
optimal yang dihasilkan Subproblem 6 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan pada
Subproblem 6 atas
1
x
, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu:
• Subproblem 8: Subproblem 6 ditambah kendala x
1
≤ 12 ; • Subproblem 9: Subproblem 6 ditambah
kendala x
1
≥ 13. Sekarang dipilih subproblem yang belum
diselesaikan, yaitu Subproblem 8, 9, dan 3. Berdasarkan aturan LIFO, dipilih Subproblem
8. Subproblem yang dipilih menghasilkan kandidat solusi optimal x
1
= 12, x
2
= 0 dan z = 36 detail penghitungan dapat dilihat pada
Lampiran 1. Nilai solusi optimal Subproblem 8 masih lebih kecil jika dibandingkan dengan
nilai objektif pada Subproblem 4, maka kandidat solusi optimal dari PLI 6 tetap dari
Subproblem 4.
Tersisa tiga buah subproblem yaitu, Subproblem 9, 7, dan 3. Dengan aturan LIFO
dipilih Subproblem 9 lalu Subproblem 7. Karena Subproblem 9 dan 7 takfisibel detail
penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1, maka Subproblem 9 dan 7 tidak dapat
menghasilkan solusi optimal; yang tersisa hanya Subproblem 3.
Dari tiga kandidat solusi optimal, yaitu solusi dari Subproblem 3, 4 dan 8, akan
dipilih satu di antaranya untuk menjadi solusi optimum masalah PLI 6. Solusi optimum
pada PLI 6 ialah solusi Subproblem 4 dengan x
1
= 11, x
2
= 1 dan z = 38, karena Subproblem 4 memiliki nilai z lebih baik
daripada nilai z Subproblem 3 8. Pohon pencabangan yang menunjukkan proses
penyelesaian masalah PLI 6 secara
keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.
x
2
≥ 2 x
2
≤ 1
x
2
≤ 0 x
2
≥ 1
Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode branch-and-bound untuk menentukan solusi optimum dari PLI
.
III DESKRIPSI PERMASALAHAN PENGOPERASIAN BRT
Bab ini akan membahas deskripsi pengoperasian BRT, batasan masalah, dan
asumsi yang digunakan dalam penelitian ini. Kemudian, dilanjutkan dengan formulasi
matematika terhadap permasalahan tersebut.
3.1 Perumusan Masalah BRT
