2.6 Metode Simpangan Mutlak Terkecil
Metode Simpangan Mutlak Terkecil juga bisa disebut dengan istilah least absolute
deviations LAD, least absolute errors LAE, least absolute value LAV, atau
juga masalah L
1
norm. Namun untuk mempermudah dalam penulisan karya
ilmiah ini, maka untuk selanjutnya penulis akan menggunakan istilah LAD.
Metode Simpangan Mutlak Terkecil mencari suatu model estimasi dari suatu
gugus data dengan meminimumkan jumlah simpangan mutlak sum of absolute error
atau SAE antara titik-titik dalam fungsi model estimasi dengan titik-titik pada data.
Misalkan suatu gugus data yang terdiri dari
,
i i
x y
dengan 1, 2,
, i
n =
. Akan
dicari suatu fungsi f sehingga
i i
f x y
≈ Untuk menduga bentuk fungsi f sejumlah
parameter perlu diketahui. Sebagai contoh dalam fungsi linear
i i
f x a
bx = +
dengan a dan b parameter yang belum diketahui. Kemudian akan dicari nilainya
dengan meminimalkan jumlah simpangan mutlaknya yang dapat dituliskan dalam
bentuk
1
min
n i
i i
S y
f x
=
= −
∑
. 7
Metode simpangan mutlak terkecil memanfaatkan fakta bahwa garis regresi
simpangan mutlak terkecil melewati setidaknya 2 titik data. Kemudian akan
didapatkan garis yang terbaik dari semua garis titik data tersebut. Garis yang terbaik
ini yang disebut dengan garis regresi simpangan mutlak terkecil.
2.7 Metode Penyelesaian Simpangan Mutlak Terkecil
Untuk menyelesaikan persamaan 7 sudah banyak metode yang dipergunakan
antara lain: metode Modifikasi Simpleks, metode Iteratif Kuadrat Terkecil. Walaupun
ide dasar dari metode Simpangan Mutlak Terkecil sekilas terlihat lebih mudah dari
metode Kuadrat Terkecil, namun ternyata tidak mudah untuk menghitungnya secara
efisien. Hal ini dikarenakan metode Simpangan Mutlak Terkecil tidak memiliki
metode penyelesaian secara analitik. Oleh sebab itu pendekatan secara iteratif
dibutuhkan untuk menyelesaikannya.
Terdapat beberapa teknik penyelesaian metode Simpangan Mutlak Terkecil antara
lain: 1. Metode Modifikasi Simpleks dengan
algoritme Barrodale-Roberts. 2. Metode Iteratif Kuadrat Terkecil
Terboboti Iteratively Re-weighted Least Squares.
3. Metode Turunan Langsung Wesolowsky Wesolowsky’s Direct
Descent Method. 4. Metode Pendekatan Maximum
Likelihood Li-Arce
Li-Arce’s Maximum Likelihood Approach.
[Pfeil 2006] Pada penulisan ini akan digunakan
penyelesaian yang pertama yaitu dengan menggunakan metode modifikasi simpleks.
2.8 Metode Modifikasi Simpleks Simpangan Mutlak Terkecil
Metode Modifikasi Simpleks efisien untuk komputasi Simpangan Mutlak
Terkecil, termasuk gugus data yang melibatkan banyaknya data yang besar.
Metode ini telah diimplementasikan pada paket Software R. Formulasi dan algoritma
metode Modifikasi Simpleks sebagai berikut
2.8.1 Formulasi Masalah dalam Model Simpleks
Misalkan terdapat model regresi linear
Y X
e
α β
= + +
. Akan dicari nilai dugaan dari koefisien
α
dan
β
dengan metode Simpangan Mutlak Terkecil.
Dalam metode Simpangan Mutlak Terkecil, nilai pendugaan
α
dan
β
dipilih sedemikian sehingga jumlah dari nilai
mutlak dari sisaan
i
e
∑
sekecil mungkin. Dengan demikian nilai dugaan
dari Simpangan Mutlak Terkecil
α
dan
β
adalah nilai dari a dan
b yang
meminimumkan persamaan 8. Selisih dari
i i
y a bx
− +
disebut simpangan dari titik x
i
,y
i
dari garis
Y a
bX = +
. Barrodale dan Roberts 1973
melakukan pendekatan untuk menduga garis regresi dengan memisalkan
,
i i
y L A x
=
dan
i i
i
y f x
f =
=
yang dapat dituliskan dengan suatu persamaan
,
i i
i
f L A x
e −
=
8 yang akan meminimumkan
i
e
. Agar dapat dihitung dengan menggunakan metode
simpleks maka
i
e
akan dimisalkan sebagai
i i
u v
−
. Dengan demikian maka persamaan 8 dapat dituliskan kembali sebagai
,
i i
i i
f L A x
u v
− = −
9 Dalam tulisannya Barrodale dan Roberts
1973 merumuskan secara umum untuk
1
,
n i
j ji
j
L A x a
ϕ
=
=
∑
dengan 1, 2,
, i
m =
. Dengan demikian
dalam Barrodale dan Roberts 1973 rumus umumnya dituliskan dalam bentuk
1 n
i j
ji i
i j
f a
u v
ϕ
=
− = −
∑
10 dengan
1, 2, ,
i m
=
dan
j j
j
a b
c =
− untuk
1, 2, ,
j n
=
. Selanjutnya akan dicari suatu solusi
optimal dari suatu permasalahan linear
1
min
m i
i i
u v
=
+
∑
dengan kendala
, 1
n i
j j
j i i
i j
f b
c u
v ϕ
=
= −
+ −
∑
, 1, 2,
, i
m =
dan
, , ,
j j
i i
b c u v ≥ .
[Barrodale Roberts 1973] Bentuk di atas adalah bentuk umum
sedangkan untuk bentuk linear sederhana dapat dituliskan dalam bentuk
1
min
m i
i i
u v
=
+
∑
dengan kendala
1 n
i j
j i
j i
i
f b
c x
b c
x u
v
=
= −
+ −
+ −
∑
1, 2, ,
i m
=
dan ,
, ,
j j
i i
b c u v ≥
dengan
b c
x −
adalah a
yang merupakan suatu konstanta yang nilainya
tetap karena x selalu bernilai 1.
Selanjutnya akan dituliskan dalam bentuk tabel simpleks secara lengkap,
sebagai berikut
Tabel 1 Tabel simpleks lengkap untuk masalah linear sederhana.
Basis
R b
b
1
c c
1
u
1
u
2
u
m
v
1
v
2
v
m
u
1
y
1
x x
1
-x -x
1
1 1
u
2
y
2
x x
2
-x -x
2
1 1
u
m
y
m
x x
m
-x -x
m
1 1
marginal cost
1 m
i i
y
=
∑
1 m
i
x
=
∑
1 m
i i
x
=
∑
1 m
i
x
=
−
∑
1 m
i i
x
=
−
∑
2.8.2 Algoritme Simpleks
Kategori