Gambar 5 Hubungan transmitansi dengan frekuensi
[1]
Perbedaan indeks refraksi yang kontras memiliki
peranan penting
terhadap pembentukan PBG, terdapat dua alasan.
Pertama, setiap lapisan batas kristal fotonik dengan
indeks refraksi
kontras, lebih
cenderung untuk menghamburkan gelombang yang datang dari segala arah, sehingga PBG
lebih mudah terbentuk. Ke dua, semakin tinggi perbedaan indeks refraksi, semakin
sedikit jumlah lapisan kristal fotonik yang dibutuhkan untuk menghasilkan efek PBG.
Setiap lapisan dari Kristal fotonik dapat merefleksikan sebagian gelombang yang
melaluinya. Jika setiap lapisan mampu merefleksi lebih banyak gelombang karena
perbedaan indeks refraksi yang besar, maka jumlah lapisan yang dibutuhkan untuk
membentuk PBG menjadi lebih sedikit dibanding struktur dengan perbedaan indeks
refraksi yang lebih kecil
[1]
.
2.5 Refleksi dan Transmisi Gelombang TE
Suatu gelombang yang merambat pada batas dua medium bahan yang berbeda
1 1
,
dan
,
2 2
, maka
terjadi pemantulan
dan pembiasan
gelombang. Pemantulan dan pembiasan gelombang terjadi
karena adanya kontinuitas dari komponen gelombang EM pada batas muka medium.
Kontinuitas ini disebut sebagai syarat batas dan dapat diturunkan melalui persamaan
Maxwell
[6]
. Solusi dari persamaan gelombang :
2 2
2
t
E E
dapat berupa superposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul.
Dengan mengambil salah satu bentuk solusi :
.
,
t i
e t
r k
E r
E
, bentuk medan listrik E pada setiap medium menjadi:
t i
i i
e e
e
. 1
. 1
1
2 1
r k
r k
E E
E
, 19
untuk x 0
t i
i i
e e
e
. 2
. 1
2
2 2
r k
r k
E E
E
, 20
untuk x 0
Vektor medan H bisa didapatkan berdasarkan persamaan 1 dan persamaan 6
E H
i
21 Pada Gambar 6 terjadi syarat kontinuitas
komponen
y
E
dan
z
H
pada x = 0, sehingga:
1 2
y y
E
E
1 1
2 2
E
E E
E
22
1 2
z z
H
H
, 23
karena
c
nE B
H
, maka persamaan di atas menjadi:
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
cos cos
E E
E E
n
n
, 24 Jika persamaan 22 dan 24 di atas dibuat
dalam bentuk matriks, maka
1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 2
1 1
2 2
1 1
1 1
cos cos
cos cos
n n
n n
E
E E
E
atau dapat ditulis sebagai berikut:
1 2
1 2
1 2
s s
D D
E E
E E
25 keterangan
s
D i
=
i i
i i
n n
cos cos
1 1
i = 1,2,3,…. dengan asumsi
1 2
i
n
adalah indeks bias medium i, dan
i
adalah sudut datang. Koefisien refleksi dan transmisi pada gelombang TE sebagai berikut:
1 1
2
E
E E
s
r
dan
1 2
2
E
E E
s
t
26
Gambar 6 Pemantulan dan pembiasan pada gelombang TE
2.6 Propagasi
Gelombang dalam
Struktur Periodik
Struktur periodik sederhana mengandung profil indeks bias yang berbeda,
yakni:
L
n b
n b
n n
, ,
2 1
dengan
L z
n z
n
Arah z tegak lurus tehadap permukaan layer. Solusi umum vektor medan listrik dari
persamaan gelombang bisa berbentuk:
t i
y
e z
y k
E
Keterangan: diasumsikan bidang gelombang merambat
dalam bidang
y-z. Ketika
gelombang EM berpropagasi di dalam struktur periodik satu dimensi dengan sudut miring
terhadap permukaan layer, hanya komponen normal dari vektor gelombang
z
k
yang mempengaruhi
band gap,
sedangkan komponen tangensial dari vektor gelombang
y
k
bernilai konstan sepanjang sepanjang medium
[7]
. Medan listrik di dalam layer
= 1,2 dari n unit sel bisa ditulis sebagai vektor kolom,
n n
B A
Gambar 7 Struktur periodik
Secara umum medan listrik di dalam layer bisa ditulis sebagai berikut:
y k
z k
z k
z y
E
y z
z
i n
i n
n i
n
e e
B e
A
,
27 Matriks transfer dengan dikopel background
pada struktur periodik dapat ditulis sebagai berikut,
s s
s N
a a
a
B A
D D
P M
D D
B A
1 1
1 1
1
, 28
...
1 1
2 2
2 1
1 1
22 21
12 11
D D
P D
D P
m m
m m
N
, 29
2 1
, ,
D D
D
a
… adalah matriks dinamik yang telah didapat, yaitu
l l
l l
l
n n
D
cos cos
1 1
untuk TE, 30 Sedangkan pada polarisasi TM dapat ditulis
sebagai berikut,
l l
l l
l
n n
D
cos cos
, 31
2 1
, P P
… disebut matriks propagasi yang bisa dibuktikan melalui syarat kontinuitas dan
periodisitas.
l lx
l lx
d i
d i
l
e e
P
k k
, 32 Keterangan:
1
l l
l
d
x x
adalah lebar masing-masing
lapisan dan
lz
k
adalah komponen z dari vektor gelombang yang
diberikan oleh:
l l
l lz
c n
c n
cos
2 1
2 2
k
l =a,1,2,….,N,s Jika banyak lapisan matriks
N
M
dapat disederhanakan
dengan menggunakan
identitas Chebysev. Matriks
N
M
dapat dinyatakan dalam matriks M sebagai berikut
sin cos
cos sin
N
NKL M
M I KL
I NKL
KL
, 33 Keterangan:
K
adalah vektor gelombang Bloch, yakni:
22
11 1
2 1
cos 1
m m
L K
, 34
L
adalah jarak satu lapisan pada kristal. Nilai
K dapat mempengaruhi perambatan medan EM. Saat K bernilai riil medan elektromagnet
berpropagasi menembus kristal, sedangkan saat K bernilai kompleks medan EM tidak
berpropagasi
sehingga menimbulkan
fenomena band gap .
2.7 Kondisi Quarter-Wave Stack
