Teorema 3. S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008 Alokasi yang diperoleh dari Metode Adjusted Winner memenuhi kriteria proporsional.
Bukti
Akan dibuktikan melalui metode kontradiksi. Andaikan hasil yang dialokasikan dari metode Adjusted Winner tidak proporsional, yaitu bahwa
∑ .
Menurut Teorema 1, metode ini memenuhi kriteria pemerataan, maka .
Karena untuk setiap , berlaku
, maka
Hasilnya kontradiksi karena .
Akibat dari Teorema 3 yaitu metode Adjusted Winner memenuhi kriteria proporsional dan Teorema 1 yaitu metode Adjusted Winner memenuhi kriteria
proporsional jika dan hanya jika bebas iri, sehingga akan menghasilkan:
Akibat 4. S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008 Alokasi yang diperoleh dari Metode
Adjusted Winner memenuhi kriteria bebas-iri.
Bukti
Menurut Teorema 3, alokasi yang diperoleh dari Metode Adjusted Winner memenuhi kriteria proporsional, sehingga menurut Teorema 1 alokasi yang
diperoleh dari Metode Adjusted Winner memenuhi kriteria bebas-iri.
B. Metode Adjusted Winner dan kriteria Efisien
Metode Adjusted Winner dapat membuat sebuah pembagian barang untuk dua orang dengan tetap memenuhi kriteria proporsional, bebas-iri dan pemerataan.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa prosedur Adjusted Winner memenuhi kriteria
efisiens.
Dalam langkah awal Metode Adjusted Winner, sebuah permasalahan diselesaikan dengan mengalokasikan setiap barang yang dibagikan kepada orang
yang paling membutuhkan atau memiliki penilaian lebih terhadap barang tersebut. Suatu barang selanjutnya ditransfer dari pemenang awal kepada pihak lainnya
sampai keduanya memiliki jumlah poin yang sama. Bukti dari efisiensi metode ini bergantung pada urutan barang yang ditransfer, yaitu dimulai dari barang dengan
rasio poin yang terkecil kepada pihak lainnya. Dengan cara ini akan meng- efektifkan hasil alokasi barang untuk semua barang yang ditransfer kepada pihak
lainnya. Secara intuitif, metode Adjusted Winner efisien karena tahap awal dari metode ini efisien, maka efisiensi tidak terpengaruh pada saat penyesuaian
pemerataan equitability adjustment. Akan dibuktikan efisiensi Metode Adjusted Winner dengan tiga lemma
berikut. Misalkan dua pihak yang bersengketa disebut pihak pertama dan pihak kedua. Notasi
adalah barang yang akan dibagi antara pihak pertama dan pihak kedua. Selanjutnya
dan melambangkan bagian dari barang
yang masing-masing akan dibagi antara pihak pertama dan pihak kedua, masing- masing menerima dalam alokasi barang tertentu. Sedangkan
dan menunjukkan poin diberikan ke masing-masing barang
oleh pihak pertama dan pihak kedua.
Lemma 1. S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008 Andaikan kita memiliki alokasi
barang di mana; i Penilaian pihak pertama terhadap barang setidaknya
sebanyak penilaian pihak kedua ii Penilaian pihak kedua terhadap barang
setidaknya sebanyak penilaian pihak pertama. Misalkan pihak pertama menukar sebagian barang
dengan sebagian barang dari pihak kedua.
Jika penukaran ini lebih menguntungkan satu pihak maka akan merugikan pihak yang lain.
Bukti.
Karena penilaian pihak pertama terhadap barang setidaknya sebanyak penilaian
pihak kedua, maka kita tahu bahwa . Demikian pula, karena penilaian
pihak kedua terhadap barang setidaknya sebanyak penilaian pihak pertama,
maka kita tahu bahwa . Selanjutnya semua item kecuali
dan dapat
diabaikan karena mereka tidak terlibat dalam pertukaran bagiannya. Selama pertukaran, pihak pertama memberikan total poin
, dan mendapatkan keuntungan total
poin. Jika pertukaran hanya menguntungkan untuk pihak pertama saja, maka kemudian
1 .
Perhatikan bahwa : poin pihak kedua setelah pertukaran
– poin pihak kedua sebelum pertukaran
= ≤
karena ≤
karena
0 oleh 1, sehingga setelah pentransferan yang sangat dirugikan adalah pihak kedua.
Demikian pula, jika pertukaran yang lebih diuntungkan adalah pihak kedua, maka akan merugikan bagi pihak pertama.
Dengan menggunakan kondisi yang berbeda akan dibuktikan pula jika pertukaran menguntungkan satu pihak saja maka akan merugikan pihak lainnya.
Dituliskan sebagai berikut:
Lemma 2. S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008 Diketahui suatu alokasi
pembagian barang di mana . Misalkan pihak pertama menukar sebagian
barang dengan sebagian barang
dari pihak kedua. Jika penukaran ini lebih menguntungkan satu pihak maka akan merugikan pihak yang lain.
Bukti.
Seperti dalam bukti Lemma 1, jika pertukaran yang lebih baik bagi pihak pertama, maka
. Karena ., maka
.
Sehingga poin pihak kedua setelah pertukaran
– poin pihak kedua sebelum pertukaran
= karena
=
0 karena, sehingga setelah pertukaran pihak yang sangat dirugikan adalah pihak kedua. Jika
pertukaran menguntungkan pihak kedua, maka selanjutnya .
Sehingga poin pihak pertama setelah pertukaran
–poin pihak pertama sebelum pertukaran
=
karena
= ≤ 0 karena
, sehingga pihak pertama adalah pihak yang sangat dirugikan setelah pertukaran.
Selanjutnya adalah lemma yang terakhir dimana akan diasumsikan suatu alokasi yang tidak efisien. Dituliskan sebagai berikut:
Lemma 3. S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008 Jika suatu alokasi yang diberikan
tidak efisien, maka terdapat barang dan
dan suatu bagian daripadanya sedemikian hingga jika pihak pertama menukarkan
bagian dari dengan
bagian dari dari pihak kedua, maka hasil pertukaran akan menjadikan alokasi
setidaknya sama baik untuk kedua pihak dan akan menguntungkan setidaknya untuk salah satu pihak.
Bukti.
Sebelum membuktikan Lemma 3 terlebih dahulu akan diberikan sifat Additivitas Lemah Preferensi berikut:
Karena alokasi yang diberikan tidak efisien, maka terdapat alokasi alternatif yang setidaknya sama baik untuk pihak pertama dan pihak kedua dan menguntungkan
untuk setidaknya salah satu dari pihak yang terlibat. Jadi terdapat himpunan saling asing
dan yaitu berturut-turut himpunan barang milik pihak pertama dan pihak kedua, sehingga, jika kedua himpunan ini ditukar maka pihak pertama akan
diuntungkan tanpa merugikan pihak kedua. Misalkan;
; ;
; ;
,
Perhatikan bahwa
… 1
Akan dibuktikan pertukaran dengan
menghasilkan alokasi yang tidak merugikan bagi pihak kedua.
Asumsikan bahwa terdapat i sehingga pihak pertama lebih memilih alokasi yang diperoleh dengan menukarkan
dengan . Himpunan
dan terdiri dari
bagian-bagian beberapa barang. Himpunan merupakan gabungan himpunan
yang saling asing dan
sebagai gabungan himpunan yang saling asing
sedemikian rupa sehingga setiap adalah beberapa bagian
� �
si
� �
�
barang tunggal dan pihak pertama akan lebih diuntungkan dengan bertukar untuk
dibandingkan dengan alokasi yang ada. Dengan alasan yang sama seperti di atas, terdapat
seperti dalam alokasi yang diperoleh dengan bertukar
untuk sehingga diperoleh alokasi yang
setidaknya sama baik untuk pihak kedua. Jika tidak demikian, maka alokasi yang ada lebih baik untuk pihak kedua daripada yang diperoleh dengan bertukar
dengan untuk semua j.
Dengan menggunakan sifat aditivitas lemah preferensi dapat disimpulkan bahwa alokasi yang ada adalah lebih baik untuk pihak kedua daripada yang
diperoleh bertukar untuk
, yang merupakan kontradiksi. Dengan demikian, telah dihasilkan himpunan bagian
dan yang masing-masing terdiri dari
bagian barang tunggal di mana pertukaran dengan
menghasilkan sebuah alokasi yang menguntungkan bagi pihak pertama dan tidak merugikan pihak
kedua daripada alokasi alokasi yang ada Dengan menggunakan ketiga Lemma di atas akan dibuktikan teorema
yang menjamin bahwa pembagian dengan menggunakan metode Adjusted Winner memenuhi kriteria efisien.
Teorema 4.
S.J. Bram dan A.D. Taylor, 2008 Metode Adjusted Winner selalu
menghasilkan suatu alokasi yang efisien.
Bukti
Akan dibuktikan bahwa metode Adjusted Winner selalu menghasilkan suatu alokasi yang efisien. Misalkan akan dibuktikan sebaliknya. berdasarkan
Lemma 3, terdapat barang dan
dan bagian-bagiannya sedemikian rupa sehingga jika pertukaran pihak pertama yaitu bagiannya
dari untuk
bagian pihak kedua dari
, hasil pertukaran yang dihasilkan adalah alokasi yang setidaknya sama baik untuk keduanya dan menguntungkan setidaknya satu pihak.
Misalkan pihak pertama adalah pemenang awal, karena pihak pertama masih memiliki setidaknya
dari barang setelah setiap transfer yang
diperlukan, maka pihak pertama harus menilai barang setidaknya sebanyak
pihak kedua, sehingga .
Kebalikan dari situasi diatas jika pihak kedua menilai barang setidaknya
sebanyak pihak pertama, maka Lemma 1 menyiratkan bahwa pertukaran tidak akan menguntungkan kedua belah pihak seperti yang kita asumsikan. Jadi agar
kedua pihak tidak ada yang dirugikan maka harus terdapat kondisi dimana pihak kedua menilai barang
kurang dari pihak pertama, yaitu . tapi pihak
kedua telah mempunyai bagian dari , sehingga ia harus menerima hasil transfer
dari metode Adjusted winner. Dalam metode Adjusted Winner barang yang dibagi hanya satu sehingga
adalah barang yang akan dibagi antara kedua pihak dan pihak pertama memendapatkan semua barang
. Karena barang tidak terlibat
dalam tahap transfer, maka rasio poin untuk barang dalam metode Adjusted
winner setidaknya sama besar sebagai rasio poin untuk barang .
Jadi dan bertentangan dengan Lemma 2, sehingga asumsi awal
tidak terbukti bahwa pertukaran tidak merugikan salah satu pihak. Dengan demikian terbukti bahwa metode Adjusted winner efisien.
Metode Adjusted Winner secara umum berlaku untuk berbagai jenis perselisihan, dan sangat praktis digunakan. Seorang mediator ataupun negosiator
bisa menjadi suatu alternative cara yang bisa ditambahkan yang berfungsi untuk mengidentifikasi masalah pada sengketa dan mengidentifikasi apa yang
diperlukan di setiap masalah. Dalam mengalokasikan poin ke suatu item belum tentu menjadi hal yang mudah, apalagi ketika dalam penerapanya faktor lain
sangat mempengaruhi penilaian barang. Seperti ketika suatu penilai harus memberikan penilaian tanpa tekanan waktu dan dapat lebih rumit lagi jika
dipengaruhi kecemasan terhadap kecerdasan emosional dengan terampil pendebat. Lebih baik lagi, jika kedua pihak tunduk kepada penilaian yang jujur, maka setiap
pihak dijamin akan hasil yang iri bebas, adil, dan efisien. Meskipun Adjusted Winner dapat menjadi metode yang bagus untuk
penyelesaian sengketa, metode ini tetap bukan lah menjadi metode yang sempurna untuk semua jenis perselisihan tentang pembagian. Kadang-kadang perselisihan
melibatkan lebih dari dua pihak dan tidak ada prosedur pembagian adil yang sempurna untuk tiga atau lebih pihak.
\
C. Manipulasi Metode Adjusted Winner
