8 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Gambar 3:
Benang pada alat pemintal saat
digunakan dapat membentuk garis
singgung lingkaran roda.
1. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran
Lukislah sebuah lingkaran seperti gambar di bawah ini.
Kemudian lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik A, dengan mengikuti langkah-langkah di bawah ini
dengan tekun: 1.
Lukislah jari-jari OA dan perpanjangannya.
2. Lukis busur lingkaran berpusat di A sehingga
memotong garis OA dan perpanjangannya di titik B dan C.
3. Lukis busur lingkaran berpusat di B dan C sehingga saling
berpotongan di titik D dan E, kemudian hubungkan titik D dan E. Garis DE adalah garis singgung lingkaran di titik A.
9 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut.
Dari kegiatan melukis garis singgung lingkaran yang kalian lakukan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:
2. Melukis Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik Di
Luar Lingkaran
Lukislah sebuah lingkaran dengan titik pusat di O dan titik A berada di luar lingkaran. Lukislah garis singgung lingkaran yang melalui
titik A di luar lingkaran. Langkah-langkah melukis garis singgung melalui suatu titik di
luarlingkaran sebagai berikut. 1.
Lukislah lingkaran titik pusat di O dan titik A di luar lingkaran.
2. Hubungkan titik O dan A.
3. Lukis busur lingkaran dengan pusat di titik O dan
titik A sehingga saling berpotongan di titik B dan titik C.
4. Hubungkan BC sehingga memotong garis OA di
titik D. 5.
Lukis lingkaran berpusat di titik D dan berjari-jari OD = DA sehingga memotong lingkaran pertama di
dua titik. Namailah dengan titik E dan F. 6.
Hubungkan titik A dengan titik E dan titik A dengan titik F. Garis AE dan EF merupakan dua garis
singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.
Hipparchus
dari Nicea 170-125
SM adalah ilmuwan asal
Yunani yang terkenal
karena membagi lingkaran menjadi
3600. Dia takjub akan astronomi
dan mempelajari sifat-sifat bola
untuk mengetahui planet bumi.
Sumber: Encarta Tokoh
10 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
B Berdasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:
Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut.
Latihan soal
1. Jiplaklah gambar di bawah ini. Kemudian lukislah garis singgung pada
lingkaran melalui titik yang tepat pada lingkaran yang telah ditentukan
2. Jiplaklah gambar di bawah ini. Kemudian lukislah garis singgung pada
lingkaran melalui titik yang berada di luar lingkaran yang telah ditentukan
11 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
3 Panjang Garis Singgung Lingkaran
Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari mengenai teorema Pythagoras. Untuk menentukan panjang garis singgung lingkaran,
kalian dapat memanfaatkan teorema ini. Perhatikan gambar berikut,
Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena
garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang garis singgung AB dan BC dapat dihitung dengan menggunakan teorema
Pythagoras. Perhatikan Δ OAB pada .
Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
OA
2
+ AB
2
= OB
2
√ –
√ –
Pada ΔOCB juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu: OC
2
+ BC
2
= OB
2
BC
2
= OB
2
– OC
2
√ –
√ –
Ternyata, AB = √
– . Uraian tersebut menggambarkan
definisi berikut.
Ket : AB = Panjang garis singgung
OB = Jarak satu titik di luar
lingkaran dengan titik pusat lingkaran
r = jari-jari lingkaran
12 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama.
4 Layang - Layang Garis Singgung
Perhatikan gambar berikut,
Pada gambar tersebut tampak bahwa garis PA dan PB adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O.
Dengan demikian sudut OAP = sudut OBP dan AP = BP dengan garis AB merupakan tali busur.
Perhatikan gambar berikut. Jika diketahui jari-jari lingkaran
r = 6 cm dan OB = 10 cm, tentukan:
a. panjang garis singgung AB, b. luas ΔOAB.
Contoh Soal Pembahasan:
a. Pada ΔOAB berlaku teorema
Pythagoras sehingga; √
– √
– = 8
Jadi, panjang AB = 8 cm
b. Luas ΔOAB =
1
× OA × AB =
1
× × = 24
Jadi, luas ΔOAB = 24 cm
2
13 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Perhatikan ∆ OAB. Pada ∆OAB, OA = OB = jari-jari, sehingga
∆OAB adalah segitiga sama kaki. Sekarang, perhatikan
∆ABP. Pada ∆ABP, PA = PB = garis singgung, sehingga
∆ABP adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian, segi empat OAPB terbentuk dari segitiga sama
kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AB yang saling berimpit. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa segi empat OAPB
merupakan layang-layang. Karena sisi layanglayang OAPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segi empat OAPB
disebut layang-layang garis singgung. a.
Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung
tersebut membentuk bangun layang-layang. b.
Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung
tersebut disebut layang-layang garis singgung.
Perhatikan gambar dibawah ini. Dari titik P di luar lingkaran
yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika
panjang OA= 9 cm dan OP = 15 cm, Hitunglah:
a. Panjang AP b. Luas ∆OAP
c. Luas layang-layang OAPB Contoh Soal
Pembahasan: Perhatikan
∆ OAP. a. Pada ΔOAP siku-siku di A sehingga;
√ –
√ –
= 12 Jadi, panjang AP = 12 cm
b. Luas ΔOAP =
1
× OA × AP =
1
× × = 54
Jadi, luas ΔOAP = 54 cm
2
c. Luas layang-layang OAPB
14 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar 1. Gambar di bawah adalah lingkaran yang berpusat di P dengan jari-jari PR.
Jika TQ = 8 cm, tunjukkan panjang QR sebagai garis singgung lingkaran.
2. Sebuah lingkaran yang berpusat di O memiliki jari-jari r. Jarak titik pusat ke titik P yang terletak di luar lingkaran adalah r + 8. Jika panjang garis
singgung lingkaran yang melalui titik P adalah 12 cm, tentukan panjang jari- jari r dan jarak O ke P.
3. Pada gambar berikut, panjang jari-jari OP = OQ = 6 cm dan panjang OR =10 cm.
Hitunglah: a. panjang QR
b. luas segitiga OQR c. luas layang-layang OQRP
d. panjang tali busur PQ 4. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran dengan pusat di titik P3, 2 dan jari-
jari 4 satuan panjang. Selanjutnya, lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik Q
–1, 2. 5. Gambar di samping adalah lingkaran dengan pusat P.
Tentukan a. Besar sudut PKA
b. Besar sudut PLA c. Panjang PK
d. Panjang AL
Latihan Soal Pembahasan:
c. Luas layang-layang OAPB = 2 × luas ∆OAP
= 2 × 54 = 108 cm
2
15 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Berdasarkan gambar dibawah, lengkapi table berikut
OA AP
OP 6.
12 …
25 7.
3 4
… 8.
… 9
41 9
8 …
17 10.
Pada gambar di samping, OP adalah jari-jari lingkaran. Panjang garis singgung lingkaran PQ = 30 cm. Jarak sebuah titik dengan pusat
lingkaran OQ = 34 cm. Hitunglah panjang OP
11. Jarak antara sebuah titik yang berada di luar lingkaran dengan pusat
lingkaran adalah 25 cm. Panjang jari-jari lingkarannya 7 cm. Hitunglah Panjang garis singgung yang melalui titik tersebut
12. Perhatikan gambar di bawah ini
Dua lingkaran bersinggungan seperti tampak pada gambar. Panjang AP = 15 cm, panjang BR = 10 cm, dan
MN = 30 cm. Perbandingan PN dan RN adalah ....
16 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
C
GARIS SINGGUNG
PERSEKUTUAN DUA
LINGKARAN
Pada bagian depan kalian telah mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada sebuah lingkaran. Sekarang, kalian akan mempelajari
cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada dua buah lingkaran. Ada dua macam garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung
persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Agar kalian dapat memahaminya pelajari uraian berikut ini dengan tekun dan teliti. Selamat belajar,
Tuhan Yesus memberkati.
1. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
