16 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
C
GARIS SINGGUNG
PERSEKUTUAN DUA
LINGKARAN
Pada bagian depan kalian telah mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada sebuah lingkaran. Sekarang, kalian akan mempelajari
cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada dua buah lingkaran. Ada dua macam garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung
persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Agar kalian dapat memahaminya pelajari uraian berikut ini dengan tekun dan teliti. Selamat belajar,
Tuhan Yesus memberkati.
1. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah sebagai berikut:
a Lukis lingkaran L1 berpusat di titik P dengan jari-jari R dan lingkaran
L2 berpusat di titik Q dengan jari-jari r R r. Selanjutnya, hubungkan titik P dan Q.
b Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling
berpotongan di titik R dan S.
c Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik
T.
17 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
d Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT.
e Lukis busur lingkaran pusat di titik P, jari-jari R + r sehingga
memotong lingkaran berpusat titik T di titik U dan V. f
Hubungkan titik P dan U sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula titik P dan V sehingga memotong lingkaran L1 di
titik C. g
Lukis busur lingkaran pusat di titik A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di titik C jari-
jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D. h
Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran L1
dan L2.
2 Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Kalian dapat menggunakan theorem Pythagoras untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran seperti yang
telah kalian lakukan pada subbab B.
g h
18 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Pada Gambar dua lingkaran di atas, lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, berjari-jari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh
jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R; jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r;
panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB = d; jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p.
Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis SQ sejajar AB, sehingga sudut PSQ = sudut PAB = 90° sehadap.
Perhatikan segi empat ABQS. Garis ABSQ, ASBQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90°.
Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r.
Perhatikan bahwa PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan
teorema Pythagoras diperoleh: √
– √
– Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung
persekutuan dalam dua lingkaran d dengan jarak kedua titik pusat p, jari- jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah
√ –
19 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
3 Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah sebagai berikut:
a Lukis lingkaran L1 dengan pusat di P berjari-jari R dan lingkaran L2 pusat di Q berjari-jari r R r. Hubungkan titik P
dan Q.
b Lukis busur lingkaran dengan pusat di P dan Q sehingga saling
berpotongan di titik R dan S. Gambar di bawah ini adalah
lingkaran dengan pusat A dan B, garis KL adalah garis singgung
persekutuan dalam kedua lingkaran. AL = 3cm, BK= 2cm,
dan AB=13cm. Maka, hitung panjang KL
Contoh Pembahasan:
Diketahui AL=3cm, BK=2cm, dan AB =13cm.
√ –
√ –
√ –
= 12 cm Maka panjang garis singgung persekutuan
dalamnya adalah 12 cm.
20 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
c Hubungkan RS sehingga memotong PQ di titik T. d Lukis busur lingkaran dengan pusat di T dan berjari-jari PT.
e Lukis busur lingkaran dengan pusat di P, berjari-jari R – r
sehingga memotong lingkaran berpusat T di U dan V. f Hubungkan P dan U, perpanjang sehingga memotong lingkaran
L1 di titik A. Hubungkan pula P dan V, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik C.
g Lukis busur lingkaran dengan pusat di A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran
pusat di C, jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D.
h Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan luar
lingkaran L1 dan L2.
4 Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Setelah kalian mempelajari cara melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, sekarang kalian menentukan panjang garis
21 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
singgung persekutuan luar dua lingkaran dengan menggunakan theorem
Pythagoras. Perhatikan gambar berikut
Dari gambar diperoleh: jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R;
jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r; panjang garis singgung persekutuan luar adalah AB = d;
jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p. Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh
garis SQ. Garis AB sejajar SQ, sehingga sudut PSQ = sudut PAB = 90° sehadap.
Perhatikan segi empat ABQS. Garis ABSQ, ASBQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90°
∆PSQ siku-siku di S sehingga berlaku √
– √
– Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan
luar dua lingkaran d dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah
√ –
22 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Panjang garis singgung persekutuan
luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak
kedua pusat lingkaran tersebut
13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari
lingkaran 3
1
cm, hitunglah panjang
jari-jari lingkaran yang lain.
Contoh Soal Pembahasan:
Panjang garis singgung persekutuan luar adalah 12 cm, maka d = 12. Jarak kedua pusat lingkaran
adalah 13 cm, maka p = 13. Panjang salah satu jari- jari lingkaran adalah 3,5 cm, sehingga r = 3,5.
Panjang jari-jari lingkaran yang lain = R, sehingga: √
– √
– , ,
, ,
= 25 , =
R= 5 + 3,5 = 8,5cm
Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8,5cm
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar 1. Perhatikan gambar disamping.
Panjang AB adalah….
. 2. Dua lingkaran A dan B masing-masing bersinggungan dan memiliki garis
singgung persekutuan. Lingkaran A berdiameter 36 cm dan lingkaran B berdiameter 16 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran
tersebut adalah .....
Latihan Soal
23 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
3. Pada gambar di bawah ini, MN = 20 cm, AB = 16 cm, AM = 8 cm. Panjang AO dan MO adalah ... cm.
3. Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 21 cm. Kedua titik pusatnya berjarak 29 cm. Jika panjang salah satu jari-jari adalah 8,5 cm
maka panjang jari-jari dari lingkaran yang lain adalah .... 4. Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran sama dengan
16 cm. Jari-jari kedua buah lingkaran 28 cm dan 16 cm. Hitunglah jarak kedua pusat lingkaran.
5. Dua buah lingkaran sama besar berjarijari 20 cm. Jarak kedua pusat lingkaran 40 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dari
kedua lingkaran tersebut. 6. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm.
Jarak kedua titik pusatnya adalah 13 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3,5 cm maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah
.... 7. Jika AP = 24 cm, BQ = 14cm, PQ = 46 cm, tentukan AB.
24 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
DAF
MENENTUKAN PANJANG
SABUK LILITAN
MINIMAL YANG
MENGHUBUNGKAN DUA
LINGKARAN
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai seorang tukang bangunan mengikat beberapa pipa air untuk memudahkan ketika mengangkat
pipa-pipa tersebut. Atau mungkin beberapa tong minyak kosong dikumpulkan menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kalian akan mempelajari cara
menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat barang-barang tersebut agar memudahkan pekerjaan. Untuk lebih jelasnya pelajari kembali
konsep menghitung panjang garis singgung persekutuan dari dua lingkaran pada subbab sebelumnya. Selamat belajar, Tuhan Yesus memberkati.
Pada gambar berikut, tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama, yaitu r, dililit dengan sebuah sabuk. Akibatnya, tiga lingkaran tersebut saling
bersinggungan, dengan garis singgung AB, CD, dan EF. 9. Jika AB = 24 cm, PQ = 26 cm dan BP = 6 cm, tentukan AQ.
10. Perhatikan gambar di bawah ini. Panjang PQ = 24 cm, AB = 30 cm dan AP = 10 cm. Hitunglah perbandingan luas lingkaran yang ber pusat di A
dengan luas lingkaran yang berpusat di B.
D
25 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan tiga lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.
Perhatikan ∆PQR Karena ∆PQR adalah ∆ sama sisi, maka
PRQ = 60° sehingga,
FRA = 360°-
FRP +
PRQ +
ARQ
360 90
60 90
360 240
= 120° Maka busur FA
120 360
× keliling lingkaran
1 3
× keliling lingkaran.
Karena lingkaran yang di ikat berjari-jari sama, maka busur FA = busur BC = busur ED, sehingga panjang lilitannya adalah:
= AB + busur BC + DC + busur DE + EF + busur FA = AB + busur FA + DC + busur FA + EF + busur FA
= AB + DC + EF + 3 busur FA = 2r + 2r + 2r + 3 ×
1 3
× keliling lingkaran. karena diameter, d = 2r, maka,
= d + d + d + keliling lingkaran = 3d +
2πr = 3d +
πd Perhatikan angka tiga yang muncul sama dengan banyaknya garis singgung yang
terjadi akibat lilitan sabuk. Dengan demikian dapat disimpulkan, jika beberapa lingkaran yang berdiameter
sama, yaitu d, dililit sebuah sabuk sedemikian rupa sehingga saling bersinggungan, dan n banyaknya garis
singgung yang terjadi akibat lilitan sabuk, maka berlaku rumus:
� �
� ��
26 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Gambar di bawah ini menunjukkan penampang 3 buah paralon yang terikat rapat oleh seutas tali. Jika ketiga paralon tersebut memiliki ukuran jarijari yang
sama, yaitu 14 cm, hitunglah panjang tali pengikatnya Contoh Soal
Pembahasan:
r = 14cm d = 28cm maka, panjang tali pengikat paralon tersebut adalah
� �
� �� = 324 +
= 172cm Jadi, panjang tali pengikat paralon tersebut adalah 172 cm
27 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar
1. Dua buah kayu berpenampang lingkaran diikat dengan tali yang panjangnya 144 cm. Jika jari-jarinya sama panjang maka tentukan
panjang jari-jari kedua kayu.
2.
Gambar di atas adalah penampang tiga buah pipa air yang berbentuk tabung dengan diameter 14 cm. Berapakah panjang tali minimal untuk
mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut?
3. Tiga buah pipa paralon, akan diikat seperti tampak pada gambar di bawah. Jika jari-jari ketiga paralon tersebut sama, yaitu 10 cm, tentukan
panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat paralon tersebut.
4.
Gambar di atas adalah penampang enam buah kaleng yang berbentuk
tabung dengan jari-jari 10 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan
untuk mengikat enam buah kaleng tersebut.
5. Gambar di samping adalah penampang
enam buah drum yang berbentuk tabung dengan jari-jari 24 cm. Hitunglah
panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum
tersebut. Latihan Soal
28 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
6. 15 buah pipa yang berjari-jari sama, yaitu 23 cm, diikat dengan
tambang sedemikian rupa sehingga tampak seperti gambar di samping. Hitunglah panjang tambang minimal yang diperlukan untuk mengikat
15 pipa tersebut
7. Beberapa buah paralon yang berjari-jari sama, yaitu 21 cm, diikat
berjejer secara horizontal oleh kawat. Panjang kawat yang diperlukan untuk mengikat semua paralon tersebut adalah 5,1 m. Hitunglah
banyaknya paralon yang diikat oleh kawat tersebut
8. Perhatikan gambar di bawah ini. Panjang tali yang digunakan untuk
mengikat dua pipa air berjari-jari 7 cm sebanyak lima kali lilitan adalah ....
9. Pada gambar dibawah ini, tiga buah lingkaran dan duah buah persegi
panjang dililit sedemikian rupa sehingga tampak seperti gambar dibawah. Jari-jari lingkaran masing-masing lingkaran adalah 7cm,
sedangkan persegi panjang berukuran p = 7cm dan l = 5cm. Panjang lilitan minimalnya adalah….
10. Dua lingkaran dihubungkan dengan tali seperti gambar berikut
Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk menghubungkan kedua
lingkaran tersebut apabila a. = 6 cm, r = 2 cm,
= 12 cm, dan α = 219°, b. = 20 cm, r = 5 cm,
= 30 cm, dan α = 240°, dan c. = 15 cm, r = 8 cm,
= 25 cm, dan α = 213°.
29 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
11. Tentukan panjang tali minimal yang melilit tiga buah lingkaran dengan
jari-jari lingkaran = 14cm 12.
Diberikan 4 lingkaran dengan jari-jari 5cm, berapa panjang tali minimal yang digunakan untuk melilit lingkaran tersebut
….
Untuk soal nomor 13 dan 14 gunakan gambar lingkaran di bawah ini
hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk menghubungkan kedua lingkaran tersebut apabila
13. = 7 cm, r = 2 cm, = 12 cm, dan α = 210°,
14. = 10 cm, r = 2 cm, = 15 cm, dan α = 205°.
15. Perhatikan gambar dibawah ini. Jika jari-jari lingkaran X dan V
masingmasing 9 cm dan 3 cm maka panjang ST adalah ....
16. Dua buah kayu berpenampang lingkaran diikat dengan tali yang
panjangnya 144 cm. Jika jari-jarinya sama panjang maka tentukan panjang jari-jari kedua kayu tersebut.
30 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
MELUKIS LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA
1. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang terletak di
dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya. Titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut suatu
segitiga. Langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga sebagai berikut
a Lukis ∆ ABC, kemudian lukis garis bagi
∠
ABC
b Lukis pula garis bagi
∠
CAB sehingga kedua garis bagi berpotongan di titik P.
c Lukis garis PQ ┴ AB sehingga memotong garis AB di titik Q.
lukis lingkaran berpusat di titik P dengan jari-jari PQ. Lingkaran terseb
ut merupakan lingkaran dalam ∆ABC
E
31 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N
2. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga