Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
{ }
{ }
maka elemen a
kl
dikatakan sebagai titik sadel. Dalam suatu permainan dimana nilai maksimin sama dengan nilai minimaks, strategi murni yang bersangkutan
disebut strategi optimum dan permainan tersebut dikatakan mempunyai titik sadel. Nilai permainan pada strategi murni yang optimum sama dengan nilai maksimin
dan nilai minimaks tersebut.
3.4 Peranan Dominasi
Konsep dominasi berguna untuk matriks pay off ukuran besar. Aturan dominasi digunakan untuk mengurangi ukuran matriks sebelum analisis untuk
menentukan solusi optimum dilakukan.
Contoh 3.4
Tabel 3.4 Matriks pay off pemain A dan B Pemain B
w x
y z
Pemain A
1 4
8 3,5
6 2
6,5 9
5,5 7
3 5,5
4 4,5
7,5 4
4,5 2,5
5 5
Tabel 3.5 Matriks pay off setelah direduksi Pemain B
w x
y z
Pemain A
2 6,5
9 5,5
7 3
5,5 4
4,5 7,5
Masing-masing pemain yang berebut pangsa pasar memiliki empat strategi. Bagi
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
pemain A, strategi 1 dan 4 didominasi oleh strategi 2, karena itu dapat dihilangkan dari matriks pay off. Kemudian, dalam matriks yang tersisa terlihat bahwa untuk
pemain B, strategi w dan z didominasi oleh y. Sehingga kolom-kolom itu dapat dihapus seperti berikut :
Tabel 3.6 Matriks penyelesaian permainan Pemain B
x y
Pemain A
2 9
5,5
3.5 Permainan Berjumlah Nol Dua Pemain
Permainan berjumlah nol dua pemain merupakan persaingan dari dua pemain dimana kemenangan yang satu merupakan kekalahan pemain lainnya,
sehingga jumlah kemenangan dan kekalahan adalah nol Trueman, 1974. Ada dua tipe permainan berjumlah nol dua pemain, yaitu :
1. Permainan strategi murni pure strategy games, yaitu setiap pemain mempergunakan strategi tunggal.
2. Permainan strategi campuran mixed strategy games, yaitu kedua pemain
memakai campuran dari beberapa strategi yang berbeda-beda. 3.5.1
Permainan Strategi Murni Pure Strategy Games.
Dalam permainan strategi murni, pemain baris meng-identifikasikan strategi optimalnya melalui aplikasi metode maksimin, sedangkan pemain kolom
menggunakan metode minimaks untuk meng-identifikasikan strategi optimalnya. Nilai yang dicapai harus merupakan maksimum dari minimaks baris dan
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
minimum dari dari maksimin kolom, Dalam hal ini diperoleh suatu titik keseimbangan equibrilium dan titik ini disebut titik sadel saddle point.
Bila nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks, titik sadel tidak dapat dicapai, sehingga permainan tidak dapat diselesaikan dengan
mempergunakan strategi murni, tetapi dengan strategi campuran.
Contoh 3.5
Dua perusahaan sedang dalam proses penentuan strategi periklanannya. Anggaplah bahwa perusahaan A mempunyai dua strategi dan perusahaan B
mempunyai tiga strategi. Strategi tersebut dan pay off misalnya kenaikan market share
disusun dalam bentuk permainan dua pemain dengan jumlah nol sebagai berikut :
Tabel 3.7 Matriks pay-off perusahaan A dan Perusahaan B Dalam permainan strategi murni
PERUSAHAAN A
PERUSAHAAN B Minimum
Baris Maksimin
B1 B2
B3 A1
1 9
2 1
A2 8
5 4
4 4
Maksimum Kolom
8 9
4 Titik Sadel = 4
Minimaks 4
Perusahaan A :
Saat A memilih strategi A1, maka perusahaan B akan memilih strategi B1, sehingga pay off perusahaan A adalah 1. Saat A memilih strategi A2, maka
perusahaan B akan memilih strategi B3, sehingga pay off perusahaan A adalah 4. Perusahaan A paling optimal jika memilih strategi tunggal A2.
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
Perusahaan B : Saat Perusahaan B memilih strategi B1, maka perusahaan A akan memilih strategi
A2, sehingga kerugian yang diderita perusahaan B adalah 8. Saat B memilih strategi B2, maka perusahaan A akan memilih strategi A1, sehingga kerugian
perusahaan B adalah 9. Saat perusahaan B memilih strategi B3, maka perusahaan A akan memilih strategi A2. Perusahaan B paling optimal jika memilih strategi
tunggal B3. Dengan metode maksimin dan minimaks diperoleh titik keseimbangan
equilibrium yaitu nilai maksimin = nilai maksimaks = titik sadel = 4.
3.5.2 Permainan Strategi Campuran Mixed Strategy Games.
Dalam permainan yang menggunakan strategi campuran mixed strategy, setiap pemain tidak mengetahui strategi apa yang akan digunakan oleh pemain
lain, setiap pemain akan berusaha merumuskan suatu strategi yang nilai pay off- nya tidak berpengaruh terhadap strategi yang dipilih pemain lawan.
Langkah pertama terapkan metode maksimin dan minimaks. Permainan strategi campuran terjadi apabila nilai maksimin tidak sama dengan nilai
minimaks, maka games ini tidak memiliki titik sadel atau strategi murni bukan merupakan strategi optimal, sebagai gantinya keseimbangan dapat dicapai jika
menggunakan mixed strategy. Langkah berikutnya, terapkan strategi dominan, dengan harapan ukuran matriks pay off dapat diperkecil.
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
Contoh 3.6
Tabel 3.8 Matriks pay-off perusahaan A dan Perusahaan B dalam permainan strategi campuran
PERUSAHAAN B
Minimum Baris
Maksimin B1
B2 B3
PERUSAHAAN A
A1 2
5 7
2 2
A2 -1
2 4
-1 A3
6 1
9 1
Maksimum Kolom
6 5
9 Minimaks
Maksimin Minimaks
5 Dari tabel diatas, diketahui bahwa nilai maksimin tidak sama dengan nilai
minimaks. Oleh karena itu, tidak dapat diketemukan titik pelana. Kemudian dengan menerapkan aturan dominan, strategi B3 didominasi oleh B2, sehingga
kolom B3 dapat dihilangkan. Kemudian strategi A2 juga didominasi oleh strategi A1 sehingga baris A2 dapat dihilangkan.
Matriks permainan telah berubah menjadi permainan 2×2, seperti tabel 3.9 di bawah ini.
Tabel 3.9 Matriks permainan yang direduksi PERUSAHAAN
B Minimum
Baris Maksimin
B1 B2
PERUSAHAAN A1
2 5
2 2
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
A A3
6 1
1 Maksimum
Kolom 6
5 Minimaks
Maksimin Minimaks
5 Pada tabel 3.9 diatas tidak ada titik pelana maka permainan dapat dipecahkan
dengan menerapkan konsep strategi campuran. Penyelesaian permainan dapat dilakukan dengan :
1. Metoda grafik. Semua permainan 2 × n yaitu, pemain baris mempunyai dua
strategi dan pemain kolom mempunyai n strategi dan permainan m×2 yaitu pemain baris mempunyai m strategi dan pemain kolom mempunyai 2 strategi
dapat diselesaikan secara grafik.
2. Metoda analisa. Pendekatan ini bertujuan mengembangkan pola strategi-
campuran agar keuntungan atau kerugian yang dialami kedua perusahaan adalah sama. Pola ini dikembangkan dengan menentukan suatu distribusi
probabilitas untuk strategi-strategi yang berbeda. Nilai-nilai probabilitas ini memungkinkan untuk ditemukannya strategi campuran yang optimum. Nilai-
nilai probabilitas dapat dihitung dengan cara berikut ini. Misalkan matriks pay off pemain A dan pemain B adalah sebagai berikut.
Tabel 3.10 Matriks pay off permainan STRATEGI
PEMAIN B B1
B2 STRATEGI
PEMAIN A A1
a b
A2 c
d
maka expected pay off bagi Pemain A adalah:
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
jika Pemain B menjalankan strategi 1
jika Pemain B menjalankan strategi 2
Selanjutnya, dengan menyamakan kedua expected pay off tersebut, diperoleh:
Dengan cara serupa, expected pay off bagi Pemain B dapat pula dihitung:
Nilai permainan
[ ] [
]
Contoh 3.7
M = a
b bagi Pemain X adalah :
c d
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
Matriks permainan pada tabel 3.8 dapat diselesaikan menggunakan metode analisis sebagai berikut.
Untuk perusahaan A : Anggap bahwa digunakan strategi A1 dengan Probabilitas p, dan untuk A3
dengan probabilitas 1-p. Anggap bahwa B menggunakan strategi B1, maka keuntungan yang diharapkan A adalah:
Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan strategi S1, maka :
2p + 61-p = 2p + 6 – 6p = 6 – 4p
Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan strategi S2, maka :
5p + 11-p = 5p + 1 – 1p = 1 + 4p
Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka : 6
– 4p = 1 + 4p
5 = 8p
P = 58
= 0,625 Dan apabila nilai p = 0,625, maka nilai 1-p adalah 1
– 0,625 = 0,375, sehingga kedua nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S3 milik perusahaan A sudah
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
diketahui nilainya. Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas, maka keuntungan yang diharapkan oleh perusahaan A
adalah : Dengan persamaan ke-1
Dengan persamaan ke-2 = 2p + 61-p
= 5p + 11-p = 2 0,625 + 6 0,375
= 5 0,625 + 1 0,375 = 3,5
= 3,5 Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan keuntungan yang diharapkan adalah
sama, yakni sebesar 3,5. Sebelum menggunakan strategi campuran ini keuntungan perusahaan A hanya sebesar 2, berarti dengan digunakan strategi campuran ini,
keuntungan perusahaan A bisa meningkat 1,5 menjadi 3,5. Untuk perusahaan B :
Dengan cara serupa, dapat dihitung pay off yang diharapkan untuk perusahaan B. probabilitas untuk strategi B1 adalah q dan B2 adalah 1-q.
Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan strategi S1, maka :
2q + 51-q = 2q + 5
– 5q = 5 – 3p
Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan strategi S3, maka :
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
6q + 11-q = 6q + 1
– 1q = 1 + 5p
Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka : 5
– 3q = 1 + 5q 4
= 8q Q
= 48 = 0,5
Dan apabila nilai p = 0,5, maka nilai 1-p adalah 1 – 0,5 = 0,5, sehingga kedua
nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S2 milik perusahaan B sudah diketahui nilainya.
Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas, maka kerugian minimal yang diharapkan oleh perusahaan B adalah :
Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2
= 2q + 51-q = 6q + 11-q
= 2 0,5 + 5 0,5 = 6 0,5 + 1 0,5
= 3,5 = 3,5
Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan kerugian minimal yang diharapkan adalah sama, yakni sebesar 3,5. Sebelum menggunakan strategi campuran ini
kerugian minimal perusahaan B adalah sebesar 5, berarti dengan digunakan
strategi campuran ini, kerugian minimal perusahaan B bisa menurun sebesar 1,5
menjadi 3,5.
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
1 1
1 1
a d j ij
ij
P P
B optimal
strategi P
A optimal
strategi V
Permainan Nilai
3. Metode Aljabar Matriks
Metoda aljabar matriks adalah cara lain untuk menyelesaikan suatu permainan yang mempunyai matriks segi empat atau ordo 2 × 2.
Dimana P
ij
menunjukkan jumlah pay off dalam baris ke I dan kolom ke j. Strategi optimal untuk perusahaan A dan B da nilai permainan V, dapat
dicari dengan rumus-rumus berikut :
Strategi optimal A =
[ ] [ ]
[ ] [
]
Strategi optimal A =
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
Jadi dapat diketahui:
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
[ ]
[ ]
Dari hasil pencarian dengan rumus maka didapat : [ ]
[ ]
Jadi, strategi yang optimal adalah
Jadi, nilai permainan V
4. Metode Program Linear
Metoda grafik, analisis, dan aljabar matriks yang dibahas sebelumnya mempunyai ruang lingkup agak terbatas. Untuk menyelesaikan permainan
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
strategi-campuran dengan ordo 3 × 3 atau ordo yang lebih besar, dapat mempergunakan linear programming.
Untuk menguraikan teknik dan prosedur linear programming ini, akan kembali digunakan contoh permainan dua-pemain jumlah-nol dalam tabel 3.7.
Notasi yang dipergunakan :
2 1
2 1
2 1
2 1
, ,
B dan
B strategi
pemilihan as
probabilit Y
Y A
dan A
strategi pemilihan
as probabilit
X X
permainan nilai
V
Dengan A sebagai maximizing player, maka dapat dinyatakan keuntungan yang diharapkan untuk A dalam tanda ketidaksamaan ≥. Ini berarti bahwa A
mungkin memperoleh keuntungan lebih dari V bila B menggunakan strategi yang lemah. Jadi, nilai keuntungan yang diharapkan untuk pemain A adalah sebagai
berikut:
2 1
5 1
6 2
2 1
2 1
B strategi
n menggunaka
B pemain
bila V
X X
B strategi
n menggunaka
B pemain
bila V
X X
Diketahui bahwa:
, 1
2 1
2 1
X X
dan X
X
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
1 1
1 5
1 6
2
2 1
2 1
2 1
V X
V X
V X
V X
V X
V X
1 1
1 6
1 5
2
2 1
2 1
2 1
V Y
V Y
V Y
V Y
V Y
V Y
Dengan B sebagai minimizing player, maka dapat dinyatakan kerugian yang diharapkan B dalam tanda ketidaksamaan ≤. Ini berarti B mungkin mengalami
kerugian kurang dari V bila A menggunakan strategi yang lemah. Jadi, nilai kerugian yang diharapkan untuk pemain B adalah sebagai berikut:
3 1
6 1
5 2
2 1
2 1
A strategi
n menggunaka
A pemain
bila V
Y Y
A strategi
n menggunaka
A pemain
bila V
Y Y
Diketahui bahwa :
, 1
2 1
2 1
Y Y
dan Y
Y
Dengan membagi setiap ketidaksamaan dan persamaan diatas dengan V, didapatkan :
Untuk perusahaan A Untuk perusahaan B
Bila ditentukan variabel-variabel barunya :
2 2
1 1
2 2
1 1
, ,
Y V
Y Y
V Y
X V
X X
V X
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
Maka didapatkan : Untuk perusahaan A
Untuk perusahaan B 2 X1 + 6 X2 ≥ 1
2 Y1 + 5 Y2 ≤ 1 5 X1 + 1 X2 ≥ 1
6 Y1 + 1 Y2 ≤ 1 X1 + X2 = 1V
Y1 +Y2 = 1V Karena perusahaan A adalah maximizing player, maka tujuannya adalah
memaksimumkan V, atau sama dengan meminimumkan 1V. Dengan X1 + X2 = 1V, dapat dirumuskan masalah linear programming untuk perusahaan A sebagai
berikut: Minimumkan
Z = X1 + X2 → Z = 1V
Batasan-batasan: 2 X1 + 6 X2 ≥ 1
5 X1 + 1 X2 ≥ 1 X1 , X2 ≥ 0
Sedangkan perusahaan B adalah minimizing player, maka tujuannya adalah meminimumkan V, atau ini berarti B harus memaksimalkan 1V. Dengan Y1 +
Y2 = 1V, dapat dirumuskan masalah linear programming untuk perusahaan B sebagai berikut:
Maksimumkan
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
Z = Y1 + Y2 → Z = 1V Batasan-batasan:
2 Y1 + 5 Y2 ≤ 1 6 Y1 + 1 Y2 ≤ 1
Y1 , Y2 ≥ 0
Dengan metoda simplex, masalah linear programming primal dapat dipecahkan. Penyelesaian optimalnya :
28 3
28 5
7 1
7 1
2 1
2 1
X X
Y Y
Jadi, dapat ditentukan nilai V-nya
5 ,
3 2
7 7
2 28
3 28
5 1
2 1
V Jadi
X X
V Z
Hasilnya sama dengan metoda-metoda lain. Selanjutnya dapat dicari:
375 ,
8 3
28 3
2 7
. 625
, 8
5 28
5 2
7 .
2 2
1 1
X V
X X
V X
Dan
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
50 ,
2 1
7 1
2 7
. 50
, 2
1 7
1 2
7 .
2 2
1 1
Y V
Y Y
V Y
3.6 Prisoners Dilemma
Dua orang
penjahat ditahan
karena melakukan
perampokan bersenjata.Mereka langsung dipisahkan. Apabila terbukti dan dihukum, maka
mereka dapat 20 tahun di penjara. Akan tetapi bukti tidak cukup untuk mendakwa mereka.barang bukti hanya ada untuk kasus memiliki barang curian, yang
hukumannya 1 tahun. Penjahat tersebut diminta untuk melakukan hal berikut: Apabila Anda
mengaku dan teman Anda tidak, maka Anda akan dibebaskan. Apabila Anda tidak mengaku dan teman Anda mengaku, Anda akan memperoleh 20 tahun penjara.
Apabila kalian berdua mengaku maka Anda memperoleh 5 tahun penjara. Tabel 3.11 Matrik pay off prisoners dilemma
Individu B Mengaku
Tidak mengaku Individu A
Mengaku 5 , 5
0 , 20 Tidak
mengaku 20 , 0
1 , 1
Kiki Mustaqim, 2013 Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik
Universitas Pendidikan Indonesia
| repository.upi.edu
Suatu permainan dengan pay-off seperti dalam tabel di atas dikenal dengan dilema tahanan prisoners dilemma, karena game seperti itu pertama kali untuk
membahas dua orang tahanan yang bersekongkol untuk melakukan tindak kejahatan. Kemudian diinterogasi secara terpisah oleh kepolisian karena belum
memiliki bukti yang kuat. Dilema tahanan sering terjadi dalam negosiasi politik maupun ekonomi, misalnya dalam pengawasan senjata dan masalah penjatahan
produksi dalam suatu kartel.
Gambar 3.1 Prisoners Dilemma
3.7 Permainan Berjumlah Tak Nol Dua Pemain
