28
Q = C sin 2 b
= C [sin 2 b cos sin
2 cos 2 b sin cos ] 2.4
Kemudian Q disubstitusikan dengan sin dan cos
dengan nilai yang lebih kecil, maka didapat persamaan 2.5 seperti berikut
=
C
q
2 2C
q
2
= +
2.5
Dari persamaan 2.3 diasumsikan nilai 1, sehingga diperoleh
persamaan 2.6 berikut +
.. 2.6
Kemudian turunan Q disederhanakan kedalam persamaan 2.3 dengan pertambahan waktu, sehingga diperoleh persamaan 2.7 berikut
= ..
2.7 Persamaan diatas merupakan persamaan difusi satu dimensi klasik yang
akandikembangkan sesuai dengan persamaan debit sediment di setiap titik sejajar pantai dengan penambahan waktu sehingga diperoleh solusi untuk nilai y untuk
situasi pantai yang berbeda dengan perhitungan analitik dimetode One-Line model.
2.7. Heat Equation Persamaan Panas:
2.7.1 Solution By Fourier Series Solusi Dengan Seri Fourier
Persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan parsial dari fungsi dua atau lebih variabel independen disebut persamaan diferensial parsial.Urutan
turunan tertinggi disebut urutan persamaan.Seperti dalam kasus diferensial biasa,
Universitas Sumatera Utara
29
persamaan diferensial adalah linier jika tingkat pertama dalam variabel dipenden dan turunannya parsial. Jika setiap istilah persamaan tersebut megandung variabel
dipenden atau salah satu turunannya, persamaan dikatakan sama, selain itu dikatakan tidak sama.
Dari persamaan gelombang kita beralih untuk persamaan besar berikutnya yaitu heat equation persamaan panas. Dalam persamaan ini suhu y x,
y, z, t berada dalam bahan dari material yang sama.seperti berikut
=
dengan
c²
= Dimana : c² merupakan penyebar panas; K adalah daya konduksi panas;
adalah panas khusus; ρ adalah kepadatan material dari bahan; ²y adalah Laplacian dari u
dan berubungan dengan kordinat Cartesian x, y, z, maka persamaan menjadi
= +
+
Suhu diberikan di sepanjang batang tipis atau penampang kawat konstan dan bahan yang homogen yang berorientasi sepanjang sumbu x dan terosilasi
lateral sempurna, sehingga panas mengalir dalam arah x saja. Maka persamaan Laplace tergantung hanya pada x dan waktu t, dan persamaan panas menjadi one
dimensional heat equation persamaan panas satu dimensi, seperti berikut
= c
2.8 Persamaan yang dihasilkan memiliki sedikit perbedaan dengan persamaan
gelombang, dimana pada persamaan gelombang digunakan istilah sementara
persamaan panas menggunakan istilah .
Universitas Sumatera Utara
30
Untuk ujung x = 0 dan x = L dengan suhu 0, maka didapat kondisi batas, seperti persamaan berikut
y0,t = 0 yL,t = 0
untuk semua t 2.9
Suhu awal di batang pada saat t = 0 adalah fx, sehingga kita memiliki kondisi awal seperti berikut
yx,0 = fx 2.10
Untuk solusi ux,t dari persamaan panas satu dimensimetode akan paralel untuk persamaan gelombang jika digunakan aplikasi pemisahan variabel kemudian
diikuti dengan deref Fourier. Langkah pertama untuk two ordinary differential equations dua
persamaan diferensial biasa adalah subsitusi persamaan 2.8, sehingga menjadi yx,t = FxGt
2.11 sehingga persamaan 2.8 berubah menjadi FG = c²F”G dengan G = dGdt dan
F”= d²Fdx². Untuk pemisahan variabel kita bagi dengan c²FG, sehingga diperoleh persamaan seperti berikut
= 2.12
Sisi kiri hanya tergantung pada t dan sisi kanan hanya pada x, sehingga keduanya harus sama dengan k. Ini menunjukkan bahwa untuk k
0 satu-satunya solusi untuk y = FG yang memenuhi persamaan 2.9 adalah u
0. Untuk negatif k = -p², yang diperoleh dari persamaan 2.12 sehingga diperoleh
F” + p²F = 0 2.13
dan +
= 0 2.14
Universitas Sumatera Utara
31
Langkah kedua adalah untuk memenuhi kondisi batas, dengan
memecahkan persamaan 2.13. Maka diperoleh solusi seperti berikut Fx = A cos px + B sin px
2.15
Dari kondisi batas pada persamaan 2.9 maka diperoleh y0,t = F0Gt = 0
dan yL,t = FLGt = 0
Dimana G 0 maka u
0, digunakan F0 = 0, FL = 0 dan menghasilkan F0 = A = 0 dari persamaan 2.15 dan kemudian FL = B sin pL = 0, dengan B
untuk menghindari F 0, demikan juga dengan sin ρL = 0 maka
= ,
n = 1, 2, … Untuk B = 1, diperoleh solusi untuk persamaan 2.13 dari persamaan 2.9 seperti
berikut =
n = 1, 2, … Dari p = nπL maka persamaan 2.14 menjadi
+ ² = 0dimanaλn =
Memperoleh solusi Gnt =
²
n = 1, 2, … Dimana
adalah konstan. Maka fungsi berubah menjadi , =
=
²
n = 1,2,… 2.16
Persamaan tersebut adalah solusi dari persamaan panas pada persamaan 2.8 dan 2.9, yang merupakan masalah dari fungsi eigen dengan nilai-nilai eigen λn =
cnπL.
Universitas Sumatera Utara
32
Langkah ketiga adalah solusi untuk semua masalah. Persamaan 2.16 di substitusikan kedalam persamaan 2.8, 2.9 dan 2.10 pada fungsi eigen,
sehingga diperoleh solusi seperti berikut , =
, = sin
²
= 2.17
Dari persamaan 2.17 kemudian di substitusikan kedalam persamaan 2.10,maka , 0 =
= Selanjutnya persamaan 2.17 disubstitusikan ke persamaan 2.10, dimana
’s harus merupakan koefisien dari seri sinus Fourier seperti yang terdapat pada
persamaan 2.13, sehingga diperoleh solusi =
sin n = 1, 2, …
2.18 Solusi dari masalah ini dapat dibentuk dengan asumsi bahwa fx adalah
piecewise kontinu pada interval dan memiliki turunan satu sisi pada
semua titik interior dari interval.
2.7.2 Solution By Fourier Integrals and Transforms Solusi Dengan Integral Fourier dan Transformasi
Pada batang tak terbatas dari seri Fourier digentikan dengan Fourier Integrals integral Fourier dimana digunakan batang atau kawat sepanjang 300
kaki.Maka akan diperoleh solusi dari persamaan panas sebagai berikut =
2.19 Pada batang diberikan suhu panas pada kedua sisinya sehingga terisolasi lateral
maka akan diperolehkondisi awal seperti berikut yx,0 = fx
- 2.20
Universitas Sumatera Utara
33
Dimana fx adalah suhu awal yang diberikan batang. Untuk menyelesaikan masalah ini maka kita mulai dengan menggantikan persamaan 2.20 menjadi
yx,t = FxGt dan diberikan dua persamaan yaitu F” + P²F = 0
2.21 dan
+ = 0
2.22 Maka solusinya adalah Fx = A cos px + B sin px dan
Gt = Dimana A dan B adalah konstan, maka solusi dari persamaan 2.19 adalah
yx, t; p = FG = A cos px + B sin px 2.23
Pada hal ini k yang digunakan adalah k yang negatif karena nilai-nilai positif dari k akan mengakibatkan peningkatan fungsi eksponensial dalam persamaan 2.22.
Fungsi dari setiap seri pada persamaan 2.23 dengan mengambil p sebagai kelipatan akan mengarah pada fungsi periodik dalam x pada saat t = 0. Tetapi
karena fx pada persamaan 2.20 tidak dianggap periodik maka akan digunakan integral Fourier bukan seri Fourier. Karena 2.20 A dan B dianggap sebagai
fungsi p maka A = Ap dan B = Bp. Karena persamaan panas dalam kasus ini adalah linier dan homogen maka
diberikan intergral terpisah terhadap x dan terhadap waktu t, maka diperoleh solusi seperti berikut
, = , ;
= [
+ ]
2.23 Langkah selanjutnya adalah penentuan dari Ap dan Bp dari kondisi
awal initial condition pada persamaan 2.23 dan persamaan 2.20, maka diperoleh solusi
yx,0 = [
+ ]
= 2.24
Universitas Sumatera Utara
34
Kemudian Ap dan Bp disubstitusikan kedalam persamaan 2.22 dan persamaan 2.23 pada fx, maka diperoleh solusi sebagai berikut
Ap = ,
Bp = Dengan mensubstitusi integral Fourier pada persamaan 2.24 dengan Ap dan
Bp, maka diperoleh yx,0 =
cos Hal yang sama juga dilakukan pada persamaan 2.23, sehingga menjadi
yx,t = cospx
pv Dengan membalikkan integrasi, maka diperoleh
yx,t = 2.25
Kemudian dilakukan evaluasi pada integral bagian dalam, sehingga di dapat solusi sebagai berikut
2 =
2.26 Dengan mengambil bentuk integral dalam p = sc
sebagai variabel baru, maka diperoleh b =
Kemudian 2bs = x – vp dan ds = dp dimasukkan kedalam persamaan 2.26,
sehingga menjadi cos
= Dengan memasukkan hasil diatas ke dalam persamaan 2.25 maka diperoleh
representasi seperti berikut yx,t =
2.27
Universitas Sumatera Utara
35
Pengambilan z = v – x2c sebagai variabel integrasi, maka diperoleh bentuk
alternative sebagai berikut yx,t
+ 2 2.28
Jika fx dibatasi untuk semua nilai x dan terintegrasi dalam setiap interval, maka fungsi dari persamaan 2.27 dan 2.28 memenuhi fungsi persamaan 2.19 dan
2.20. Transformasi Fourier yang memiliki hubungan erat dengan integral
Fourier menggunakan
transisi cosinus
Fourier dan
transformasi sinus.Transformasi Fourier berlaku untuk semua masalah yang menyangkut
seluruh sumbu, cosinus Fourier dan transformasi sinus mengubah masalah yang melibatkan sumbu positif.
2.8. Program MATLAB
