PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3.

PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-3

Oleh :

Tornados P. Silaban NIM. 4103230037 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

iii

Pengaruh Perubahan Nilai Parameter Terhadap Nilai Error pada Metode Runge-Kutta Orde 3

Tornados P. Silaban (NIM 4103230037)

ABSTRAK

Metode Runge-Kutta merupakan suatu metode numerik yang digunakan untuk mencari solusi dari suatu persamaan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi pada titik terpilih dalam setiap selang langkah. Dalam tulisan ini dibahas tentang pengaruh perubahan nilai parameter (h) terhadap nilai error pada metode Runge-Kutta Ordo-3. Persamaan yang akan dibahas yaitu persamaan diferensial biasa linier tingkat dua yang telah di ubah kedalam sistem persamaan linier. Dalam proses penelitian tidak ditemukan nilai parameter yang tetap untuk mendapatkan nilai error yang paling minimum, karena setiap parameter memiliki nilai error yang bervariasi pada masing-masing persamaan.

iv

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Adapun skripsi ini berjudul “Pengaruh Perubahan Nilai Parameter Terhadap Nilai Error Pada Metode Runge-Kutta Ordo-3”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Negeri Medan.

Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini, mulai dari pengajuan proposal penelitian, sampai kepada penyusunan skripsi antara lain kepada Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd.,selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam , Bapak Dr.Edy Surya,M.Si., selaku ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika, Ibu Dr. Faiz Ahyaningsih, M.Si selaku Pembimbing Skripsi yang telah banyak membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini dan Dr. Mulyono, M.Si sebagai pembimbing akademik yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan. Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M. Si, Ibu Susiana, S.Si,M. Si dan Bapak Drs. Zul Amry, M.Pd. Ph.D selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan masukan dan saran dalam penyusunan skripsi ini. Saya ucapkan terima kasih kepada Kepala UPT Perpustakaan Universitas Negeri Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian, serta seluruh staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA yang telah memberikan bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti perkuliahan.

Teristimewa dan terkhusus penulis mengucapkan terima kasih dan hormat kepada Orang tua penulis Ayah Charles Silaban dan Ibu tercinta Alm. Asnauli Hutasoit dan juga kepada Bapa Uda Sanggam Silaban, untuk semua kasih sayang, doa, motivasi dan jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi. Serta Abang saya Tomu Pardomuan Silaban dan Kakak Ipar Maria Antoinette

v

Purba, Tumpak Parasian Silaban dan Kakak Ipar boru Turnip, dan juga Kakak saya Desnita Triwani Silaban dan Keluarga, Derisma Titisandora Silaban, dan Derlina Jerawati Silaban yang memberikan dukungan doa dan motivasi kepada penulis. Kepada sahabat terkasih Mariana Simanjuntak, S.Si, Reniwati Sinaga, dan juga Rubilissen Nababan yang tidak bosan-bosannya menasehati, membantu dan mendukung serta member motivasi kepada penulis, terima kasih penulis sampaikan juga kepada teman seperjuangan Ebenezer Htasoit, S.Si., Criston Nababan, S.Farm, Daniel Silaban, S.E, Johan Wijaya Simangunsong, S.Si, Herman Simangunsong, S.Pd, Roy Andi Simatupang, dan Bornok Minong Siburian dan teman-teman lainnya yang memberikan bantuan dan motivasi, serta selalu membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang selama ini memberikan dukungan, semangat, dan doa serta semua pihak yang turut membantu penyelesaian skripsi ini.

Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita semua. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.

Medan, April 2016 Penulis,

Tornados P Silaban NIM. 4103230037

vii

DAFTAR ISI

Halaman

Lembar Pengesahan i

Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

Lampiran xi

BAB I. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Perumusan Masalah 4

1.3 Pembatasan Masalah 4

1.4 Tujuan Penelitian 5

1.5 Manfaat Penelitian 5

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 6

2.1 Persamaan Diferensial 6

2.2 Persamaan Diferensial Biasa Linear 8

2.2.1 Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Satu 9

2.2.2 Persamaan Diferensial Linear Tingkat Dua 12

2.2.2.1 Persamaan Diferensial Linear Tingkat Dua Homogen 12 2.2.2.1a Persamaan Diferensial Linear Homogen Dengan

Koefisien Konstan 13 2.2.2.1b Persamaan Diferensial Linear Homogen Dengan

vii

2.2.2.2 Persamaan Diferensial Linear Tingkat Dua Tidak Homogen

Dengan Koefisien Konstan 16

2.2.3 Persamaan Diferensial Linear Tingkat Tinggi 17

2.3 Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem) 17

2.4 Kesalahan (Error) 17

2.4.1 Pembagian Kesalahan 19

2.5 Metode Euler 21

2.6 Metode Runge Kutta 22

2.6.1 Metode Runge Kutta Ordo-2 24

2.6.2 Metode Runge Kutta Ordo-3 27

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 29

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian 29

3.2 Jenis Penelitian 29

3.3 Prosedur Penelitian 29

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 32

4.1Penyelesaian Analitik Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua 32

4.1.1 Persamaan Dengan Koefisien Konstan 32

4.1.1.1 Adalah Polinomial Berderajat n ( ) 32

4.1.1.2 Jika 35

4.1.1.3 Jika 42

4.1.1.4 Jika 43

4.2 Perbandingan Nilai Error Menggunakan Nilai Parameter yang Berbeda 46

4.3 Analisis Error 66

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 77

5.1 Kesimpulan 77

vii

DAFTAR PUSTAKA 79

ix

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2.1 Nilai untuk 28 Tabel 4.1a Nilai Error Persamaan Kasus 1

Pada Parameter 48

Tabel 4.1b Nilai Error Persamaan Kasus 1

Pada Parameter 49

Tabel 4.2a Nilai Error Persamaan Kasus 2

Pada Parameter 52 Tabel 4.2b Nilai Error Persamaan Kasus 2

Pada Parameter 53

Tabel 4.3a Nilai Error Persamaan Kasus 3

Pada Parameter 56 Tabel 4.3b Nilai Error Persamaan Kasus 3

Pada Parameter 57

Tabel 4.4a Nilai Error Persamaan Kasus 4

Pada Parameter 60 Tabel 4.4b Nilai Error Persamaan Kasus 4

Pada Parameter 61 Tabel 4.5a Nilai Error Persamaan Kasus 5

Pada Parameter 63 Tabel 4.5b Nilai Error Persamaan Kasus 5

x

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 4.1 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 1

dengan nilai parameter yang berbeda 47

Gambar 4.2 Grafik nilai error kasus 1 untuk setiap nilai parameter 50 Gambar 4.3 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 2

dengan nilai parameter yang berbeda 51

Gambar 4.4 Grafik nilai error kasus 2 untuk setiap nilai parameter 54

Gambar 4.5 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 3

dengan nilai parameter yang berbeda 55

Gambar 4.6 Grafik nilai error kasus 3 untuk setiap nilai parameter 58 Gambar 4.7 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 4

dengan nilai parameter yang berbeda 59

Gambar 4.8 Grafik nilai error kasus 4 untuk setiap nilai parameter 62

Gambar 4.9 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 5

dengan nilai parameter yang berbeda 63

Gambar 4.10 Grafik nilai error kasus 5 untuk setiap nilai parameter 66

Gambar 4.11 Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter Pada Kasus 1 69 Gambar 4.11a Eror Berdasarkan Nilai Parameter

xi

Gambar 4.11b Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

Pada Kasus 2 (ukuran langkah = 0.01) 70 Gambar 4.11c Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

Pada Kasus 2 (ukuran langkah = 0.001) 71

Gambar 4.11d Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

Pada Kasus 2 (ukuran langkah = 0.0001) 72

Gambar 4.12 Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter Pada Kasus 3 73 Gambar 4.13 Grafik Error Berdasarkan Nilai Parameter Pada Kasus 4 74 Gambar 4.14a Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

Pada Kasus 5 (ukuran langkah = 0.1) 75 Gambar 4.14b Grafik Eror Berdasarkan Nilai Parameter

xii

LAMPIRAN

Lampiran 1 Surat Persetujuan Dosen Pembinbing Skripsi

Lampiran 2 Permohonan Surat Izin Penelitian

Lampiran 3 Surat Izin Penelitian

Lampiran 4 Dokumentasi Penelitian

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya dan diketahui jumlah serta fungsinya (Birkhoff, 1978). Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan diferensial yang terdiri dari satu variable bebas saja (Setiawan,2006).

Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan diferensial. Ada dua jenis persamaan diferensial yang kita kenal, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah persamaan diferensial biasa. Solusi dari persamaan diferensial adalah fungsi spesifik yang memenuhi persamaan. Persamaan dibawah ini merupakan contoh dari persamaan diferensial biasa yang memiliki solusi. Pada persamaan dibawah ini, x merupkan variabel bebas dan y merupakan variabel terikat. y merupakan nama unknown function dari variabel x

.

Contoh:

1. Solusi:

2. ( ) ( )

Solusi:

2

Tidak semua permasalahan yang dimodelkan ke bentuk persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan dengan mudah, bahkan terdapat suatu persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Oleh kerena itu, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggungjawabkan secara analitik.

Dengan menggunakan metode pendekatan, tentu setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Dalam analisa metode numerik, kesalahan ini menjadi penting. Karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.

Penyelesaian suatu model matematika secara numerik memberikan hasil aproksimasi atau pendekatan yang berbeda dengan penyelesaian secara analitis. Adanya perbedaan inilah yang sering disebut sebagai error (kesalahan). Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan error dapat dirumuskan sebagai berikut:

Nilai eksak = aproksimasi + error

Dengan menyusun kembali persamaan di atas, diperoleh definisi dari kesalahan absolut (absolute error), yaitu:

Kesalahan absolut = nilai eksak – aproksimasi

Metode Runge-Kutta memperoleh akurasi dari pendekatan deret Taylor tanpa memerlukan perhitungan derivatif yang lebih tinggi. Metode Runge-Kutta dikembangkan oleh dua ahli matematika Jerman. Mereka adalah Runge dan Kutta. Metode ini juga dibedakan dengan ordo-ordonya.

Banyak variasi dari metode Runge-Kutta, namun secara umum bentuknya adalah:

3

∑

Dengan adalah konstanta dan adalah :

∑

Dimana diperoleh

( )

dan merupakan parameter-parameter yang terdapat pada metode Runge-Kutta. Nilai parameter dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan error per langkah, dan persamaan metode Runge-Kutta akan sama dengan metode deret Taylor dari ordo setinggi mungkin. Perhatikan bahwa adalah hubungan yangselalu berulang, hadir dalam persamaan untuk , hadir dalam persamaan ,danseterusnya..

Pada metode numerik ordo-2 terdapat empat parameter yang memiliki keterkaitan dimana dalam hal ini membuat metode Runge-Kutta tidak memiliki solusi yang unik. Solusi metode Runge-Kutta bergantung pada pemilihan nilai parameter yang diberikan. Pemilihan nilai parameter juga mempengaruhi besar-kecilnya nilai error. Oleh karena itu penulis mengambil judul “PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-3”. Karena untuk mendapatkan hasil

4

perhitungan suatu data yang akurat, nilai error yang harus diperoleh harus seminimum mungkin. Sedangkan untuk mendapatkan error minimum nilai parameter yang kita pergunakan harus sesuai dengan data yang kita peroleh.Untuk itulah penelitian ini sangat perlu untuk dilakukan.

1.2Perumusan Masalah

Dari latar belakang ada beberapa masalah yaitu :

1. Bagaimana solusi persamaan diferensial biasa secara analitik dan numerik yaitu menggunakan metode Runge-Kutta Ordo-3.

2. Bagaimana nilai kesalahan metode Runge-Kutta Ordo-3 terhadap perubahan nilai parameter yang diberikan.

3. Bagaimana pengaruh perubahan nilai salah satu parameter secara increament terhadap nilai kesalahan yang diperoleh.

1.3Pembatasan Masalah

Adapun batasan-batasan masalah dalam melakukan penelitian ini antara lain:

1. Metode Runge Kutta yang digunakan adalah Metode Runge-Kutta Ordo-3 2. Persamaan diferensial yang diselesaikan pada tulisan ini adalah persamaan

diferensial biasa yaitu persamaan diferensial linier tingkat dua yang memiliki solusi eksak.

3. Persamaan diferensial yang digunakan adalah Persamaan diferensial linier tingkat dua dengan melakukan pendekatan terhadap metode Runge-Kutta Ordo-3

4. Menggunakan alat bantu matlab

5. Perubahan salah satu parameter yang digunakan adalah perubahan secara meningkat (increament) dengan selang iterasi sebesar 0.0001.

6. Karena nilai parameter adalah bilangan rill maka yang memenuhi persamaan ada banyak bilangan rill yang memenuhi persamaan

5

tersebut. Oleh karena itu , penulis membatasi nilai parameter pada interval

1.4Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menetukan nilai parameter yang menghasilkan nilai error terkecil pada penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua menggunakan metode Runge-Kutta Ordo-3

1.5 Manfaat Penelitian

Selain menambah literatur dalam bidang komputasi, tulisan ini juga dapat menambah wawasan bagi masyarakat terutama mahasiswa tentang penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan metode Runge-Kutta khususnya metode Runge-Kutta Ordo-3 dan penggunaan parameter yang paling efisien pada Runge-Kutta sehingga mendapatkan nilai error yang lebih kecil.

77 BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan

Dari penelitian yang telah dilakukan ini dapat diambil beberapa kesimpulan mengenai penyelesaian persamaan diferensial menggunakan metode Runge-Kutta Ordo-3.

1. Penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua menggunakan metode Runge-Kutta yaitu dengan menjadikan persamaan diferensial linier tingkat dua menjadi suatu sistem persamaan diferensial. Dimana didalam sistem tersebut terdapat dua buah persamaan yang memiliki saling keterkaitan, yaitu persamaan diferensial linier tingkat dua yang dirubah menjadi dua persamaan diferensial tingkat satu.

2. Pada pembahasan skripsi ini, tidak diperoleh nilai parameter yang tetap untuk mendapatkan nilai error yang paling minimum pada setiap penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua secara umum. Setiap parameter memiliki nilai error yang bervariasi pada masing-masing persamaan.

3. Pada penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua menggunakan metode Runge-Kutta diperoleh solusi yang beragam dan nilai error yang berbeda-beda pada satu kasus yang sama. Hal ini dikarenakan metode Runge-Kutta tidak memiliki solusi yang tunggal, terkecuali Metode Runge-Runge-Kutta ordo satu. Besar kecilnya nilai error pada metode Runge-Kutta dipengaruhi oleh pemilihan nilai parameter dan ukuran langkah yang diberikan. Semakin kecil ukuran langkah yang diberikan maka semakin kecil nilai error yang dihasilkan. Selain itu, penentuan nilai awal dan juga mempengaruhi besar kecilnya nilai error.

78

5.2 Saran

Skripsi ini merupakan penelitian dengan kajian literatur tentang pengaruh nilai parameter terhadap nilai error pada metode Runge-Kutta Ordo-3. Nilai parameter yang diambil adalah dimana nilai parameter mengalami perubahan secara increament dengan bertahap dimulai dari pertambahan nilai 0.1 untuk iterasi pertama untuk iterasi ketiga samapai iterasi yang keempat yaitu . Persamaan yang akan dicari solusinya adalah persamaan diferensial linier tingkat dua. Oleh karena, itu penulis mengharapkan agar ada penelitian lain tentang tentang pengaruh nilai parameter terhadap nilai error pada metode Runge-Kutta Ordo-3 dimana nilai parameter mengalami perubahan secara increament dengan interval nilai parameter lebih luas lagi agar diperoleh solusi yang lebih bervariasi lagi. Penulis juga mengharapkan metode Runge-Kutta ordo-3 ini diterapkan pada persamaan lain. Misalnya diterapkan pada persamaan diferensial tak linier.

79

DAFTAR PUSTAKA

Birkhoff, G., and Rota, G.C. 1978. Ordinary Differential Equations, 3rd Edition. USA: John Wiley & Sons, Inc.

Finizio, N., and Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Edisi Kedua. Terjemahan Santoso, Widiarti. Jakarta : Erlangga. Gerald, CF., and Wheatley, P., 2004. Applied Numerikal Analysis. 7th Edition.

USA: Pearson Education, Inc.

Marwan, dan Munzir, S. 2009. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Graha Ilmu. Munir, R. 2010. Metode Numerik. Bandung: Penerbit Informatika.

Nugroho, D.B. 2011. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Ralston, A. 1978. Runge-Kutta Methods with Minimum Error Bounds. New Jersey: Stevens Institute of Technology.

Rao, K.S. 2001. Numerikal Methods for Scientists and Engineers. New Delhi, India: Jay Print Pack Private Limited. .

Shepley, L.R. 1984. Differential Equations. 2nd Edition. USA: John Wiley & Sons, Inc.

Stewart, J. 2011. Calculus. 5th Edition. Jakarta: Salemba Teknika.

3

∑

Dengan adalah konstanta dan adalah :

∑ Dimana diperoleh

( )

dan merupakan parameter-parameter yang terdapat pada metode Runge-Kutta. Nilai parameter dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan error per langkah, dan persamaan metode Runge-Kutta akan sama dengan metode deret Taylor dari ordo setinggi mungkin. Perhatikan bahwa adalah hubungan yangselalu berulang, hadir dalam persamaan untuk , hadir dalam persamaan ,danseterusnya..

Pada metode numerik ordo-2 terdapat empat parameter yang memiliki keterkaitan dimana dalam hal ini membuat metode Runge-Kutta tidak memiliki solusi yang unik. Solusi metode Runge-Kutta bergantung pada pemilihan nilai parameter yang diberikan. Pemilihan nilai parameter juga mempengaruhi besar-kecilnya nilai error. Oleh karena itu penulis mengambil judul “PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA

perhitungan suatu data yang akurat, nilai error yang harus diperoleh harus seminimum mungkin. Sedangkan untuk mendapatkan error minimum nilai parameter yang kita pergunakan harus sesuai dengan data yang kita peroleh.Untuk itulah penelitian ini sangat perlu untuk dilakukan.

1.2Perumusan Masalah

Dari latar belakang ada beberapa masalah yaitu :

1. Bagaimana solusi persamaan diferensial biasa secara analitik dan numerik yaitu menggunakan metode Runge-Kutta Ordo-3.

2. Bagaimana nilai kesalahan metode Runge-Kutta Ordo-3 terhadap perubahan nilai parameter yang diberikan.

3. Bagaimana pengaruh perubahan nilai salah satu parameter secara increament terhadap nilai kesalahan yang diperoleh.

1.3Pembatasan Masalah

Adapun batasan-batasan masalah dalam melakukan penelitian ini antara lain:

1. Metode Runge Kutta yang digunakan adalah Metode Runge-Kutta Ordo-3 2. Persamaan diferensial yang diselesaikan pada tulisan ini adalah persamaan

diferensial biasa yaitu persamaan diferensial linier tingkat dua yang memiliki solusi eksak.

3. Persamaan diferensial yang digunakan adalah Persamaan diferensial linier tingkat dua dengan melakukan pendekatan terhadap metode Runge-Kutta Ordo-3

4. Menggunakan alat bantu matlab

5. Perubahan salah satu parameter yang digunakan adalah perubahan secara meningkat (increament) dengan selang iterasi sebesar 0.0001.

6. Karena nilai parameter adalah bilangan rill maka yang memenuhi persamaan ada banyak bilangan rill yang memenuhi persamaan

5

tersebut. Oleh karena itu , penulis membatasi nilai parameter pada interval

1.4Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menetukan nilai parameter yang menghasilkan nilai error terkecil pada penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua menggunakan metode Runge-Kutta Ordo-3

1.5 Manfaat Penelitian

Selain menambah literatur dalam bidang komputasi, tulisan ini juga dapat menambah wawasan bagi masyarakat terutama mahasiswa tentang penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan metode Runge-Kutta khususnya metode Runge-Kutta Ordo-3 dan penggunaan parameter yang paling efisien pada Runge-Kutta sehingga mendapatkan nilai error yang lebih kecil.

77

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari penelitian yang telah dilakukan ini dapat diambil beberapa kesimpulan mengenai penyelesaian persamaan diferensial menggunakan metode Runge-Kutta Ordo-3.

1. Penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua menggunakan metode Runge-Kutta yaitu dengan menjadikan persamaan diferensial linier tingkat dua menjadi suatu sistem persamaan diferensial. Dimana didalam sistem tersebut terdapat dua buah persamaan yang memiliki saling keterkaitan, yaitu persamaan diferensial linier tingkat dua yang dirubah menjadi dua persamaan diferensial tingkat satu.

2. Pada pembahasan skripsi ini, tidak diperoleh nilai parameter yang tetap untuk mendapatkan nilai error yang paling minimum pada setiap penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua secara umum. Setiap parameter memiliki nilai error yang bervariasi pada masing-masing persamaan.

3. Pada penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua menggunakan metode Runge-Kutta diperoleh solusi yang beragam dan nilai error yang berbeda-beda pada satu kasus yang sama. Hal ini dikarenakan metode Runge-Kutta tidak memiliki solusi yang tunggal, terkecuali Metode Runge-Runge-Kutta ordo satu. Besar kecilnya nilai error pada metode Runge-Kutta dipengaruhi oleh pemilihan nilai parameter dan ukuran langkah yang diberikan. Semakin kecil ukuran langkah yang diberikan maka semakin kecil nilai error yang dihasilkan. Selain itu, penentuan nilai awal dan juga mempengaruhi besar kecilnya nilai error.

78

5.2 Saran

Skripsi ini merupakan penelitian dengan kajian literatur tentang pengaruh nilai parameter terhadap nilai error pada metode Runge-Kutta Ordo-3. Nilai parameter yang diambil adalah dimana nilai parameter mengalami perubahan secara increament dengan bertahap dimulai dari pertambahan nilai 0.1 untuk iterasi pertama untuk iterasi ketiga samapai iterasi yang keempat yaitu . Persamaan yang akan dicari solusinya adalah persamaan diferensial linier tingkat dua. Oleh karena, itu penulis mengharapkan agar ada penelitian lain tentang tentang pengaruh nilai parameter terhadap nilai error pada metode Runge-Kutta Ordo-3 dimana nilai parameter mengalami perubahan secara increament dengan interval nilai parameter lebih luas lagi agar diperoleh solusi yang lebih bervariasi lagi. Penulis juga mengharapkan metode Runge-Kutta ordo-3 ini diterapkan pada persamaan lain. Misalnya diterapkan pada persamaan diferensial tak linier.

79

Birkhoff, G., and Rota, G.C. 1978. Ordinary Differential Equations, 3rd Edition. USA: John Wiley & Sons, Inc.

Finizio, N., and Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Edisi Kedua. Terjemahan Santoso, Widiarti. Jakarta : Erlangga. Gerald, CF., and Wheatley, P., 2004. Applied Numerikal Analysis. 7th Edition.

USA: Pearson Education, Inc.

Marwan, dan Munzir, S. 2009. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Graha Ilmu. Munir, R. 2010. Metode Numerik. Bandung: Penerbit Informatika.

Nugroho, D.B. 2011. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Ralston, A. 1978. Runge-Kutta Methods with Minimum Error Bounds. New Jersey: Stevens Institute of Technology.

Rao, K.S. 2001. Numerikal Methods for Scientists and Engineers. New Delhi, India: Jay Print Pack Private Limited. .

Shepley, L.R. 1984. Differential Equations. 2nd Edition. USA: John Wiley & Sons, Inc.

Stewart, J. 2011. Calculus. 5th Edition. Jakarta: Salemba Teknika.