II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial SPD orde satu dengan n persamaan dan m buah fungsi
yang tak diketahui
1
,
2
, … , dapat ditulis
sebagai berikut: = , ,
dengan =
1 .
..
, =
1 , .
.. ,
. Jika linear maka SPD di atas disebut linear,
sebaliknya jika tidak linear maka SPD di atas disebut taklinear.
2.2 Kontrol Optimum
Alat yang
paling penting
dari pengoptimuman dinamis adalah teori kontrol
optimum yang berkembang secara pesat pada akhir tahun 1950. Ada dua metode penyelesaian
masalah kontrol optimum, yaitu dynamic programming yang diperkenalkan oleh Bellman
1957
dan maximum
principle yang
diperkenalkan oleh Pontryagin 1962. Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol
di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem
dari state awal pada waktu
kepada state akhir
pada waktu akhir T, sedemikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau nilai
minimum bagi fungsional objektif. Pada masalah nyata yang berkembang
menurut waktu , sistem berada dalam keadaan atau kondisi state tertentu, yang dapat
diungkapkan dengan peubah keadaan state variables
1
,
2
, … , atau dalam bentuk vektor
∈ ℝ . Dengan nilai yang berbeda, vektor
menempati posisi yang berbeda di ruang
ℝ sehingga dapat dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang kurva di
ℝ .
Sistem dinamika dapat dinyatakan secara matematik oleh sistem persamaan diferensial:
= , , , 2.1 dengan peubah state dan peubah kontrol.
Jika kondisi sistem diketahui pada waktu ,
maka =
, ∈ ℝ . Jika dipilih kontrol
∈ ℝ yang terdefinisi untuk waktu ,
maka diperoleh sistem persamaan diferensial orde satu dengan peubah taktentu
. Karena diberikan, maka persamaan 2.1 memunyai
solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respon
terhadap yang dilambangkan dengan
. Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai,
berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan,
diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya setiap kontrol
dan peubah
state dihubungkan dengan
fungsional berikut: = , +
, , , 2.2
dengan fungsi yang diberikan, T tidak harus
fixed ditentukan dan memunyai kondisi
tertentu. Di antara semua fungsi atau peubah kontrol
yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga mencapai nilai maksimum atau minimum.
Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat
dinyatakan sebagai masalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsional 2.2
dengan kendala 2.1.
Tu 1994
2.3 Prinsip Minimum Pontryagin
Tinjau masalah kontrol optimum berikut: min
∶= , + , , ,
dengan kendala = , ,
dan syarat batas 0 =
, = .
Teorema 1 Prinsip Minimum Pontryagin Tinjau masalah kontrol optimum di atas.
Didefinisikan fungsi Hamilton sebagai berikut: , , , =
, , + , , .
Misalkan
∗
adalah kontrol admissible yang membawa state awal
, kepada state
akhir , , dan
∗
merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan
∗
. Agar kontrol
∗
merupakan kontrol optimum, maka perlu terdapat fungsi vektor
∗
≠ 0 sedemikian sehingga 1.
∗
= �
�
∗
,
∗
,
∗
, .
2.
∗
= − �
�
∗
,
∗
,
∗
, ,
dengan
∗
dan
∗
merupakan solusi dari sistem kanonik.
3. = 0.
4.
∗
,
∗
,
∗
, , , , .
5. Jika syarat batas 0 =
dan =
tidak diberikan, maka syarat transversalitas berikut harus dipenuhi:
−
=0 =
+ +
=0 =
= 0. Jika
= 0 dan diketahui, diketahui, dan
tidak diketahui bebas, maka syarat transversalitas menjadi:
− |
=
= 0. Jika diberikan syarat tambahan yaitu
≡ 0 tidak ada fungsi scrap, maka diperoleh syarat
transversalitas: = 0.
Bukti: [Lihat Lampiran 1] Tu 1994
III MODEL HAMA-PREDATOR
Model yang akan dianalisis merupakan suatu model yang dibangun berdasarkan interaksi
antarspesies yang hidup secara bersamaan dalam suatu ekosistem. Dalam sistem hama-predator,
ekosistem dibagi menjadi dua subsistem, yaitu subsistem yang dikendalikan tanpa campur
tangan
manusia dan
subsistem yang
dikendalikan dengan campur tangan manusia. Subsistem yang dikendalikan tanpa campur
tangan manusia memanfaatkan pengendalian alami natural control yang melibatkan agen
lain selain predator, seperti cuaca atau makanan. Contoh kasus yang terjadi pada subsistem ini
adalah kandungan gossifo atau zat beracun pada kapas sehingga dapat menyebabkan kematian
pada hama Helicoverpa Bin-Yahya 2012.
Subsistem yang dikendalikan dengan campur tangan manusia dibagi menjadi dua yaitu:
1. Pengendalian kimiawi: pengendalian ini
dilakukan menggunakan
bahan kimia
beracun untuk melindungi tanaman atau hasil tanaman dari serangan hama. Contoh
pendekatan ini
adalah pemanfaatan
pestisida COPALD untuk mengurangi hama ulat grayak Spodoptera litura.
2. Pengendalian hayati: pengendalian yang
dilakukan dengan memanfaatkan predator atau musuh alami untuk mengendalikan
hama. Contoh pendekatan ini ialah dengan mengintroduksi serangga predator yaitu
kumbang vedalia Rodolia cardinalis untuk mengendalikan hama serangga pada
jeruk Icerya purcasi Hartoyo 2008.
Konstruksi model matematika untuk model hama-predator ini menggunakan asumsi:
1. Kontrol yang dilakukan oleh manusia dapat
memengaruhi laju pertumbuhan populasi hama-predator
secara langsung
dan taklangsung, di mana pengaruh taklangsung
dapat memengaruhi laju pertumbuhan dengan memanfaatkan interaksi antara
hama dan predator. 2.
Bagi populasi hama, kontrol yang dilakukan adalah upaya untuk mengurangi jumlah
hama dan bagi populasi predator, kontrol dapat meningkatkan jumlah predator.
3. Semua parameter dan variabel yang
digunakan bernilai positif. Sistem hama-predator yang terdiri atas
populasi, dengan
1
menyatakan banyaknya populasi
hama, dan
−
1
menyatakan banyaknya populasi predator, dapat dituliskan
sebagai berikut: =
1
,
2
, … , , 3.1
dengan =
, = 1,2, … , , menyatakan kepadatan populasi pada waktu dan
merupakan fungsi kontinu yang bergantung pada kepadatan populasi hama dan predator.
Terhadap sistem 3.1 diterapkan suatu kontrol
yang dapat memengaruhi laju pertumbuhan populasi secara langsung dan
taklangsung. Jika ke dalam sistem tersebut dimasukkan peubah kontrol
= yaitu
upaya pengendalian dengan campur tangan manusia terhadap populasi hama atau predator
ke- yang dapat memengaruhi laju pertumbuhan hama-predator pada waktu , dan pengurangan
jumlah hama dengan menggunakan pestisida atau penambahan jumlah predator, maka ditinjau
sistem berikut:
= −
1
−
1
,
2
−
2
, … ,
1
−
1
, … ,
1+1
+
1+1
, … ,
+ −� , 3.2
= +
1
−
1
,
2
−
2
, … ,
1
−
1
, … ,
1+1
+
1+1
, … ,
+ +
� , 3.3 3
dengan =
menyatakan kepadatan populasi hama ke-
= 1,2, … ,
1
dan populasi predator ke-
=
1+1
,
1+2
, … ,
pada saat , dengan � merupakan konstanta
yang bernilai positif. Pada sistem 3.2 dan 3.3, suku
− dan + menyatakan kontrol taklangsung, di
mana kontrol dapat memengaruhi laju
pertumbuhan melalui interaksi dengan populasi hama atau predator, sedangkan suku
� menyatakan kontrol langsung pada sistem yang
dapat memengaruhi laju pertumbuhan tanpa melalui interaksi antara populasi hama dan
predator.
IV PEMBAHASAN
Dalam karya ilmiah ini, model interaksi hama-predator diasumsikan hanya terdiri atas
satu populasi hama dan satu populasi predator. Pada kasus ini populasi hama dinyatakan dalam
indeks = 1 dan populasi predator dinyatakan
dalam indeks = 2.
4.1 Sistem yang