Prinsip Minimum Pontryagin Masalah Kontrol Optimum Hama Secara Hayati

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial SPD orde satu dengan n persamaan dan m buah fungsi yang tak diketahui 1 , 2 , … , dapat ditulis sebagai berikut: = , , dengan = 1 . .. , = 1 , . .. , . Jika linear maka SPD di atas disebut linear, sebaliknya jika tidak linear maka SPD di atas disebut taklinear.

2.2 Kontrol Optimum

Alat yang paling penting dari pengoptimuman dinamis adalah teori kontrol optimum yang berkembang secara pesat pada akhir tahun 1950. Ada dua metode penyelesaian masalah kontrol optimum, yaitu dynamic programming yang diperkenalkan oleh Bellman 1957 dan maximum principle yang diperkenalkan oleh Pontryagin 1962. Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state akhir pada waktu akhir T, sedemikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsional objektif. Pada masalah nyata yang berkembang menurut waktu , sistem berada dalam keadaan atau kondisi state tertentu, yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan state variables 1 , 2 , … , atau dalam bentuk vektor ∈ ℝ . Dengan nilai yang berbeda, vektor menempati posisi yang berbeda di ruang ℝ sehingga dapat dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang kurva di ℝ . Sistem dinamika dapat dinyatakan secara matematik oleh sistem persamaan diferensial: = , , , 2.1 dengan peubah state dan peubah kontrol. Jika kondisi sistem diketahui pada waktu , maka = , ∈ ℝ . Jika dipilih kontrol ∈ ℝ yang terdefinisi untuk waktu , maka diperoleh sistem persamaan diferensial orde satu dengan peubah taktentu . Karena diberikan, maka persamaan 2.1 memunyai solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respon terhadap yang dilambangkan dengan . Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya setiap kontrol dan peubah state dihubungkan dengan fungsional berikut: = , + , , , 2.2 dengan fungsi yang diberikan, T tidak harus fixed ditentukan dan memunyai kondisi tertentu. Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga mencapai nilai maksimum atau minimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsional 2.2 dengan kendala 2.1. Tu 1994

2.3 Prinsip Minimum Pontryagin

Tinjau masalah kontrol optimum berikut: min ∶= , + , , , dengan kendala = , , dan syarat batas 0 = , = . Teorema 1 Prinsip Minimum Pontryagin Tinjau masalah kontrol optimum di atas. Didefinisikan fungsi Hamilton sebagai berikut: , , , = , , + , , . Misalkan ∗ adalah kontrol admissible yang membawa state awal , kepada state akhir , , dan ∗ merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan ∗ . Agar kontrol ∗ merupakan kontrol optimum, maka perlu terdapat fungsi vektor ∗ ≠ 0 sedemikian sehingga 1. ∗ = � � ∗ , ∗ , ∗ , . 2. ∗ = − � � ∗ , ∗ , ∗ , , dengan ∗ dan ∗ merupakan solusi dari sistem kanonik. 3. = 0. 4. ∗ , ∗ , ∗ , , , , . 5. Jika syarat batas 0 = dan = tidak diberikan, maka syarat transversalitas berikut harus dipenuhi: − =0 = + + =0 = = 0. Jika = 0 dan diketahui, diketahui, dan tidak diketahui bebas, maka syarat transversalitas menjadi: − | = = 0. Jika diberikan syarat tambahan yaitu ≡ 0 tidak ada fungsi scrap, maka diperoleh syarat transversalitas: = 0. Bukti: [Lihat Lampiran 1] Tu 1994 III MODEL HAMA-PREDATOR Model yang akan dianalisis merupakan suatu model yang dibangun berdasarkan interaksi antarspesies yang hidup secara bersamaan dalam suatu ekosistem. Dalam sistem hama-predator, ekosistem dibagi menjadi dua subsistem, yaitu subsistem yang dikendalikan tanpa campur tangan manusia dan subsistem yang dikendalikan dengan campur tangan manusia. Subsistem yang dikendalikan tanpa campur tangan manusia memanfaatkan pengendalian alami natural control yang melibatkan agen lain selain predator, seperti cuaca atau makanan. Contoh kasus yang terjadi pada subsistem ini adalah kandungan gossifo atau zat beracun pada kapas sehingga dapat menyebabkan kematian pada hama Helicoverpa Bin-Yahya 2012. Subsistem yang dikendalikan dengan campur tangan manusia dibagi menjadi dua yaitu: 1. Pengendalian kimiawi: pengendalian ini dilakukan menggunakan bahan kimia beracun untuk melindungi tanaman atau hasil tanaman dari serangan hama. Contoh pendekatan ini adalah pemanfaatan pestisida COPALD untuk mengurangi hama ulat grayak Spodoptera litura. 2. Pengendalian hayati: pengendalian yang dilakukan dengan memanfaatkan predator atau musuh alami untuk mengendalikan hama. Contoh pendekatan ini ialah dengan mengintroduksi serangga predator yaitu kumbang vedalia Rodolia cardinalis untuk mengendalikan hama serangga pada jeruk Icerya purcasi Hartoyo 2008. Konstruksi model matematika untuk model hama-predator ini menggunakan asumsi: 1. Kontrol yang dilakukan oleh manusia dapat memengaruhi laju pertumbuhan populasi hama-predator secara langsung dan taklangsung, di mana pengaruh taklangsung dapat memengaruhi laju pertumbuhan dengan memanfaatkan interaksi antara hama dan predator. 2. Bagi populasi hama, kontrol yang dilakukan adalah upaya untuk mengurangi jumlah hama dan bagi populasi predator, kontrol dapat meningkatkan jumlah predator. 3. Semua parameter dan variabel yang digunakan bernilai positif. Sistem hama-predator yang terdiri atas populasi, dengan 1 menyatakan banyaknya populasi hama, dan − 1 menyatakan banyaknya populasi predator, dapat dituliskan sebagai berikut: = 1 , 2 , … , , 3.1 dengan = , = 1,2, … , , menyatakan kepadatan populasi pada waktu dan merupakan fungsi kontinu yang bergantung pada kepadatan populasi hama dan predator. Terhadap sistem 3.1 diterapkan suatu kontrol yang dapat memengaruhi laju pertumbuhan populasi secara langsung dan taklangsung. Jika ke dalam sistem tersebut dimasukkan peubah kontrol = yaitu upaya pengendalian dengan campur tangan manusia terhadap populasi hama atau predator ke- yang dapat memengaruhi laju pertumbuhan hama-predator pada waktu , dan pengurangan jumlah hama dengan menggunakan pestisida atau penambahan jumlah predator, maka ditinjau sistem berikut: = − 1 − 1 , 2 − 2 , … , 1 − 1 , … , 1+1 + 1+1 , … , + −� , 3.2 = + 1 − 1 , 2 − 2 , … , 1 − 1 , … , 1+1 + 1+1 , … , + + � , 3.3 3 dengan = menyatakan kepadatan populasi hama ke- = 1,2, … , 1 dan populasi predator ke- = 1+1 , 1+2 , … , pada saat , dengan � merupakan konstanta yang bernilai positif. Pada sistem 3.2 dan 3.3, suku − dan + menyatakan kontrol taklangsung, di mana kontrol dapat memengaruhi laju pertumbuhan melalui interaksi dengan populasi hama atau predator, sedangkan suku � menyatakan kontrol langsung pada sistem yang dapat memengaruhi laju pertumbuhan tanpa melalui interaksi antara populasi hama dan predator. IV PEMBAHASAN Dalam karya ilmiah ini, model interaksi hama-predator diasumsikan hanya terdiri atas satu populasi hama dan satu populasi predator. Pada kasus ini populasi hama dinyatakan dalam indeks = 1 dan populasi predator dinyatakan dalam indeks = 2.

4.1 Sistem yang