dengan =
menyatakan kepadatan populasi hama ke-
= 1,2, … ,
1
dan populasi predator ke-
=
1+1
,
1+2
, … ,
pada saat , dengan � merupakan konstanta
yang bernilai positif. Pada sistem 3.2 dan 3.3, suku
− dan + menyatakan kontrol taklangsung, di
mana kontrol dapat memengaruhi laju
pertumbuhan melalui interaksi dengan populasi hama atau predator, sedangkan suku
� menyatakan kontrol langsung pada sistem yang
dapat memengaruhi laju pertumbuhan tanpa melalui interaksi antara populasi hama dan
predator.
IV PEMBAHASAN
Dalam karya ilmiah ini, model interaksi hama-predator diasumsikan hanya terdiri atas
satu populasi hama dan satu populasi predator. Pada kasus ini populasi hama dinyatakan dalam
indeks = 1 dan populasi predator dinyatakan
dalam indeks = 2.
4.1 Sistem yang
Dikendalikan dengan
Kontrol
Model interaksi antara hama dan predator yang dikendalikan dengan kontrol diberikan
oleh sistem persamaan diferensial berikut:
1
=
1
−
1 1
1
−
1
,
2
+
2
− �
1 1
, 4.1
2
=
2
+
2 2
1
−
1
,
2
+
2
+ �
2 2
, 4.2
dengan
1
: kepadatan populasi hama,
2
: kepadatan populasi predator,
1
: fungsi kontrol terhadap populasi hama berupa upaya untuk mengurangi jumlah
hama dengan menggunakan pestisida,
2
: fungsi kontrol
terhadap populasi
predator berupa
upaya untuk
mempertahankan atau menambahkan jumlah predator,
�
1
, �
2
: konstanta yang bernilai positif. 4.2 Masalah Kontrol Optimum
Masalah kontrol optimum yang dihadapi adalah menentukan fungsi kontrol
1
dan
2
, yang membawa sistem dari kondisi awal ke
kondisi akhir kepadatan populasi hama dan predator agar tidak menimbulkan kerugian
ekonomi yang cukup signifikan.
Didefinisikan fungsional objektif berikut: ∶=
1 1
−
2 2
+
1
�
1 1
� +
2
�
2 2
� �, 4.3 dengan
1
dan
2
merupakan parameter bobot yang dikenakan pada peubah kontrol
1
dan
2
. Meminimumkan fungsional objektif pada
persamaan 4.3
berarti meminimumkan
populasi hama
1
dan memaksimumkan populasi predator
2
di akhir periode , dan sekaligus meminimumkan fungsi kontrol
1
serta memaksimumkan fungsi kontrol
2
. Dengan demikian masalah kontrol optimum
dapat dituliskan sebagai berikut: min 4.4
dengan kendala:
1
=
1
−
1 1
1
−
1
,
2
+
2
− �
1 1
,
2
=
2
+
2 2
1
−
1
,
2
+
2
+ �
2 2
,
1 1
, 4.5
2
. 4.6 Masalah kontrol optimum di atas dapat
diselesaikan dengan
prinsip minimum
Pontryagin. Untuk
menyelesaikannya didefinisikan peubah berikut:
=
1 1
−
2 2
+
1
�
1 1
� +
2
�
2 2
� �, 4.7
1
=
1
−
1
, 4.8
2
=
2
+
2
, 4.9 dengan
1
: populasi hama yang telah diberikan kontrol secara taklangsung,
2
: populasi predator yang telah diberikan kontrol secara taklangsung.
Sebagai akibatnya masalah kontrol optimum di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
modifikasi dengan fungsional objektif dan kendala baru sebagai berikut:
min 4.10
dengan kendala: =
1 1 1 1
,
2
−
2 2 2 1
,
2
, 4.11
1
=
1 1 1
,
2
− �
1 1
, 4.12
2
=
2 2 1
,
2
+ �
2 2
, 4.13
1
=
1
−
1
,
2
=
2
+
2
,
1 1
,
2
. Penurunan persamaan 4.11 dapat dilihat pada
Lampiran 2. Dengan
prinsip minimum
Pontryagin diperoleh fungsi Hamilton dari masalah kontrol
optimum tersebut, ialah sebagai berikut: =
1 1 1 1 1
,
2
−
1 2 2 1
,
2
+
2 1 1
1
,
2
− �
1 1
+
3 2 2
1
,
2
+ �
2 2
. 4.14 Karena
=
1
,
2
,
1
,
2
,
1
,
2
,
3
, , maka syarat 1 Teorema 1 Prinsip Minimum
Pontryagin memberikan: =
1
,
1
=
2
,
2
=
3
. Syarat 1 akan menghasilkan kembali kendala
pada masalah kontrol optimum tersebut yang dapat dituliskan sebagai berikut:
=
1 1 1 1
,
2
−
2 2 2 1
,
2
,
1
=
1 1 1
,
2
− �
1 1
,
2
=
2 2 1
,
2
+ �
2 2
. Pada fungsi Hamilton juga terdapat peubah
adjoin
1
,
2
, dan
3
yang nilainya ditentukan melalui syarat 2 berikut:
1
= − = 0, 4.15
2
= −
1
, 4.16
3
= −
2
. 4.17 Peubah adjoin yang dihasilkan merupakan
syarat batas yang akan memengaruhi perubahan setiap peubah
1
dan
2
pada waktu ,
sedangkan
1
,
2
dan
3
menyatakan laju dari perubahan peubah tersebut
. Untuk menentukan fungsi kontrol pada
masalah kontrol optimum, maka syarat 3 memberikan dua kondisi berikut:
1
= −
� �
1
− �
1 2
= 0, 4.18
2
=
� �
2
+ �
2 3
= 0. 4.19 Penurunan persamaan 4.18 dan 4.19 dapat
dilihat pada Lampiran 3. Persamaan
4.18 dan
4.19 dapat
disederhanakan menjadi:
� �
1
= −�
1 2
, 4.20
� �
2
= −�
2 3
. 4.21 Dari persamaan 4.15, 4.16, 4.17, 4.18,
dan 4.19 diperoleh fungsi-fungsi adjoin:
1
= , 4.22
2
=
2
ℯ
�1
, 4.23
3
=
3
ℯ
�2
. 4.24 Karena diasumsikan
bebas, maka harus dipenuhi syarat transversalitas berikut syarat 5
pada Teorema 1:
1
= ⇔
1
= 1, 4.25
2
=
1
⇔
2
= 0, 4.26
3
=
3
⇔
3
= 0, 4.27 sehingga dari persamaan 4.22, 4.23, 4.24,
4.25, 4.26, dan 4.27 diperoleh nilai konstanta
1
= 1 dan
2
=
3
= 0, dan persamaan 4.25, 4.26, dan 4.27 dapat
dituliskan menjadi:
1
= 1,
2
= 0, 4.28
3
= 0.
Dari persamaan 4.28 maka fungsi Hamilton 4.14 dapat dituliskan menjadi:
=
1 1 1 1
,
2
−
2 2 2 1
,
2
. 4.29
Substitusi persamaan 4.28 dan 4.29 ke persamaan 4.20 dan 4.21 dapat dituliskan
sebagai berikut:
1
�
1 1 1
,
2
�
1
−
2
�
2 2 1
,
2
�
1
= 0, 4.30
1
�
1 1 1
,
2
�
2
−
2
�
2 2 1
,
2
�
2
= 0. 4.31
Penurunan persamaan 4.30 dan 4.31 dapat dilihat pada Lampiran 4.
Dari persamaan 4.5, 4.6, 4.8, dan 4.9 diperoleh nilai fungsi kontrol untuk populasi
hama dan predator, yang dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut:
1
=
1
−
1
;
1 1
0 ;
1 1
,
2
=
2
−
2
;
2 2
0 ;
2 2
. 4.32
Fungsi kontrol
yang diperoleh
pada persamaan
4.32 merupakan
upaya pengendalian hama dan predator yang akan
membawa sistem pada level kesetimbangan yang diinginkan. Upaya pengendalian hama
merupakan pengurangan jumlah hama dengan menggunakan pestisida dan upaya pengendalian
predator
untuk mempertahankan
atau menambahkan jumlah predator.
Dengan menyelesaikan persamaan 4.30 dan 4.31 secara serentak, akan diperoleh
1 ∗
dan
2 ∗
. Nilai
1 ∗
dan
2 ∗
yang diperoleh kemudian disubstitusi kembali ke persamaan
4.32, sehingga dapat dituliskan menjadi:
1 ∗
=
1 ∗
−
1 ∗
;
1 ∗
1 ∗
0 ;
1 ∗
1 ∗
, 4.33
2 ∗
=
2 ∗
−
2 ∗
;
2 ∗
2 ∗
0 ;
2 ∗
2 ∗
. 4.34 Persamaan 4.33 dan 4.34 disubstitusikan ke
persamaan 4.12
dan 4.13,
sehingga diperoleh:
1
=
1 ∗
1 1
∗
,
2 ∗
− �
1 1
∗
−
1 ∗
, 4.35
2
=
2 ∗
2 1
∗
,
2 ∗
+ �
2 2
∗
−
2 ∗
. 4.36
V STUDI KASUS
Bagian ini akan membahas model interaksi hama-predator Lotka-Volterra, yang melibatkan
dua fungsi kepadatan populasi berikut:
1 1
,
2
= −
1
−
2
,
2 1
,
2
=
1
−
2
− . Pada sistem 3.1 diterapkan kontrol
1
dan
2
, sehingga fungsi kepadatan populasi hama
predator dituliskan menjadi:
1 1
−
1
,
2
+
2
= −
1
−
1
−
2
+
2
,
2 1
−
1
,
2
+
2
=
1
−
1
−
2
+
2
− , atau dapat dituliskan sebagai berikut:
1 1
,
2
= −
1
−
2
, 5.1
2 1
,
2
=
1
−
2
− , 5.2 dengan
: tingkat pertumbuhan populasi hama tanpa adanya interaksi dengan predator,
: laju kematian populasi hama karena adanya interaksi dengan predator,
: koefisien tingkat pemangsaan, : koefisien
pertumbuhan predator
saat memangsa hama,
: laju penurunan populasi predator, : tingkat kematian populasi predator tanpa
adanya interaksi dengan populasi hama. Substitusi persamaan 5.1 dan 5.2 ke
persamaan 4.30 dan 4.31 akan memberikan persamaan berikut:
1
−
2
− 2
1
−
2 2
= 0, 5.3
1 1
+
2
− +
1
− 2
2
= 0. 5.4 Penurunan persamaan 5.3 dan 5.4 dapat
dilihat pada Lampiran 5. Solusi dari sistem 5.3 dan 5.4 adalah:
1 ∗
=
1 1
+
2
+2
1 2 1
+
2 2
+4
1 2
, 5.5
2 ∗
=
1 1
+
2
−2
1 2 1
+
2 2
+4
1 2
. 5.6
Penurunan persamaan 5.5 dan 5.6 dapat dilihat pada Lampiran 6.
5.1 Kontrol Optimum Hama untuk Tanaman
