C. Deskripsi Matematis Gelombang
Banyak karakteristik gelombang periodik yang dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep laju gelombang, periode gelombang, dan panjang gelombang. Akan tetapi, seringkali
kita memerlukan deskripsi yang lebih rinci mengenai posisi dan gerak partikel yang bergetar. Untuk maksud ini kita dapat menggunakan konsep fungsi gelombang, yaitu suatu fungsi yang
menjelaskan posisi partikel yang bergetar pada sembarang waktu. Kita akan meninjau gelombang pada dawai yang diregangkan. Pada posisi setimbang,
dawai membentuk garis lurus. Kita menganggap bahwa garis lurus ini merupakan sumbu-x dalam sistem koordinat kartesius. Getaran dawai membentuk gelombang transversal sehingga
selama geraknya seluruh partikel dengan posisi setimbang sepanjang sumbu-x digeser sejauh y yang arahnya tegak lurus sumbu-x ini. Nilai y bergantung pada posisi partikel yang ditinjau
dan juga bergantung pada waktu. Secara matematis, y merupakan fungsi dari x dan t atau sering ditulis
y=y x ,t .
Ungkapan
y x,t
disebut sebagai fungsi gelombang. Jika fungsi gelombang diketahui, kita dapat menentukan pergeseran partikel yang bergetar diukur dari
posisi setimbang pada sembarang waktu. Sekarang kita akan membicarakan bentuk fungsi gelombang untuk gelombang
sinusoidal, yaitu gelombang sinusoidal yang berjalan dari kiri ke kanan sepanjang dawai. Diandaikan pergeseran partikel di ujung kiri dawai
x=0
dinyatakan dengan persamaan
y0, t = A sin ωt= A sin 2π ft= A sin 2π
T t .
1-2 Artinya, partikel itu bergerak harmonik sederhana dengan amplitudo A, frekuensi f, dan
frukuensi sudut
ω=2π ft.
Pada
t=0
partikel di
x=0
memiliki pergeseran nol
y=0
dan partikel sedang bergerak ke arah sumbu-y positif. Gelombang ini merambat dari
x=0
ke titik x di sebelah kanan titik asal dalam waktu
xv ,
dengan v laju gelombang. Jadi, gerakan di titik x pada waktu t sama seperti gerakan di titik
x=0
pada waktu sebelumnya, yaitu
8
t− x
v .
Dengan demikian, kita dapat menghitung pergeseran di titik x pada waktu t hanya
dengan mengganti t pada Persamaan 1-2 dengan
t− x
v .
Jadi,
y x, t = A sin ω t−
x v
= A sin 2 πf
t− x
v .
1-3 Kita dapat menuliskan fungsi gelombang Persamaan 1-3 menjadi beberapa bentuk yang
berbeda. Dengan mengingat
f =1T
dan
λ=v f =vT ,
Persamaan 1-3 menjadi
y x, t = A sin 2 π t
T −
x λ
.
1-4 Bilangan gelombang, dengan simbol k, didefinisikan sebagai
k =2 π λ .
1-5
Dengan substitusi
λ=2 π k
dan
f =ω2 π
ke Persamaan 1-1, diperoleh
ω=vk .
1-6 Dengan demikian, Persamaan 1-4 menjadi
y x,t = A sin ωt −kx
.
1-7 Kita dapat memodifikasi Persamaan 1-3 sampai dengan Persamaan 1-7 untuk
menjelaskan gelombang yang merambat ke arah sumbu-x negatif. Dalam kasus ini, pergeseran di titik x pada saat t adalah sama seperti gerak di titik
x=0
pada waktu sesudahnya, yaitu
9
t+ x
v .
Dengan demikian, kita dapat mengganti t pada Persamaan 1-2 dengan
t+ x
v .
Jadi, untuk gelombang yang merambat ke arah sumbu-x negatif berlaku
y x , t = A sin 2 πf t+
x v
= A sin 2 π
t T
+ x
λ =
A sin ωt+kx .
1-7
Secara umum, fungsi gelombang dapat dituliskan sebagai
y x,t = A sin ωt ±kx
.
Tanda positif menunjukkan gelombang merambat ke arah sumbu-x negatif, sedangkan tanda negatif menunjukkan gelombang merambat ke arah sumbu-x positif. Besaran
ωt±kx
dinamakan sudut fase, dengan satuan derajat atau radian. Titik-titik yang pergeserannya maksimum, yaitu
y= A,
terjadi ketika
sin ωt±kx
= 1.
Sudut fase pada saat pergeseran maksimum adalah
π 2, 5π 2,
dan seterusnya. Titik-titik yang pergeserannya minimum, yaitu
y=0,
terjadi ketika sudut fasenya adalah 0, π ,
2π ,
dan seterusnya. Dua titik A dan B dikatakan memiliki fase sama apabila kedua titik ini memiliki beda sudut fase sebesar
2π
atau
2nπ
, dengan n bilangan bulat. Apabila dua titik memiliki fase yang sama, maka kedua titik tersebut bergerak dalam arah yang sama.
Contoh Soal 1.2
Widya bermain dengan tali plastik yang biasa digunakan untuk menjemur pakaian. Ia melepaskan salah satu ujung tali dan memegangnya sehingga tali membentuk garis lurus
mendatar. Selanjutnya, ia menggerakkannya ke atas dan ke bawah secara sinusoidal dengan frekuensi 2 Hz dan amplitudo 0,5 m. Laju gelombang pada tali adalah
v=12
ms. Ketika
t=0
ujung tali memiliki pergeseran nol dan bergerak ke arah sumbu-y positif. a Hitunglah amplitudo, frekuensi sudut, periode, panjang gelombang, dan bilangan gelombang dari
gelombang yang terbentuk pada tali. b Tulislah fungsi gelombangnya. c Tulislah fungsi gelombang dari sebuah titik yang terletak pada tali yang dipegang Widya. d Tulislah fungsi
gelombang dari sebuah titik yang berjarak 3 m dari ujung tali yang dipegang Widya.
10
Penyelesaian
a Amplitudo gelombang sama dengan amplitudo gerakan tali. Jadi, amplitudo
A=0,5 m.
Frekuensi sudut
ω=2πf =2π rad2 Hz=4 π rads
Periode
T = 1
f =
1 2 Hz
= 0,5 s.
Panjang gelombang dapat dihitung dengan Persamaan 1-1:
λ= v
f =
12 ms 2 Hz
= 6 m .
Bilangan gelombang k dapat dihitung dengan Persamaan 1-5 atau Persamaan 1-6. Diperoleh,
k = 2 π
λ =
2 π rad 6 m
= π
3 radm
atau
k= ω
v =
4 π rad 12 ms
= π
3 radm .
b Diandaikan ujung tali yang dipegang Widya adalah
x=0
dan gelombang merambat sepanjang tali ke arah sumbu-x positif. Oleh karena itu, fungsi gelombangnya dapat
dinyatakan dengan Persamaan 1-4:
y x,t = A sin 2 π t
T −
x λ
= 0,5 m sin 2 π
t 0,5 s
− x
6 m =0,5 msin
[
4 π rads t−π 3 radm x
]
Hasil ini dapat juga diperoleh dengan menggunakan Persamaan 1-7, dengan
ω=4 π rads
dan
k= π
3 radm .
c Fungsi gelombang dari sebuah titik yang terletak pada tali yang dipegang Widya, artinya x
= 0, dapat diperoleh dengan substitusi x = 0 ke dalam jawaban b. Diperoleh,
y x, t =0,5 msin
[
4 π radst−π 3 radm0
]
= 0,5 msin4 π rads t .
11
d Fungsi gelombang dari sebuah titik yang berjarak 3 m dari ujung tali yang dipegang Widya
dapat diperoleh dengan substitusi x = 3 m ke dalam jawaban b. Diperoleh,
y x, t =0,5 msin
[
4 π radst−π 3 radm3 m
]
=0,5 msin
[
4 π rads t−π rad
]
.
Kecepatan dan Percepatan Partikel dalam Gelombang Sinusoidal
Kita dapat menentukan kecepatan transversal sembarang partikel yang bergerak dalam gelombang transversal dengan menggunakan fungsi gelombang. Ada perbedaan antara cepat
rambat gelombang dan kecepatan transversal. Untuk membedakan keduanya, cepat rambat gelombang diberi simbol v, sedangkan kecepatan transversal diberi simbol
v
y
.
Untuk menentukan kecepatan transversal
v
y
di titik tertentu, kita mendiferensialkan parsial fungsi gelombang
y x,t
terhadap t. Jika fungsi gelombangnya berbentuk
y x,t = A sin ωt −kx
,
maka kecepatan transversal didefinisikan sebagai
v
y
x, t = ∂
yx ,t ∂
t =
ωA cosωt−kx .
1-9
Ungkapan
∂ y x ,t ∂ t
disebut diferensial parsial
y x,t
terhadap t, yaitu diferensial
y x,t
terhadap t dengan mempertahankan x tetap. Persamaan 1-9 menunjukkan bahwa kecepatan transversal berubah terhadap waktu. Kecepatan transversal mencapai maksimum
ketika
cos ωt−kx
= 1,
sehingga
v
y, maks
= ωA.
Percepatan partikel dalam gelombang sinusoidal merupakan diferensial parsial kedua dari
y x,t
terhadap t. Jadi,
a
y
x ,t = ∂
2
y x ,t ∂
2
t =−
ω
2
A sin ωt −kx=−ω
2
yx , t .
1-10
Kita dapat juga menentukan diferensial parsial kedua
y x,t
terhadap x. Jika hal ini dilakukan, diperoleh
12
∂
2
y x ,t ∂
2
x =−
k
2
A sin ωt−kx=−k
2
yx , t .
1-11
Ungkapan
∂
2
y x,t ∂ x
2
menunjukkan kelengkungan dawai. Berdasarkan Persamaan 1-10 dan Persamaan 1-11 serta mengingat
ω=vk ,
diperoleh
∂
2
y x, t ∂t
2
∂
2
y x ,t ∂ x
2
= −
ω
2
y x ,t −
k
2
y x ,t =
ω
2
k
2
= v
2
,
atau
∂
2
y x ,t ∂
x
2
= 1
v
2
∂
2
y x , t ∂
t
2
.
1-12 Persamaan 1-12 disebut persamaan gelombang yang merupakan salah satu persamaan yang
sangat penting dalam fisika. Gambar 1.4 menunjukkan arah kecepatan transversal
v
y
dan percepatan transversal yang diberikan oleh Persamaan 1-9 dan Persamaan 1-10 untuk beberapa titik pada dawai.
Titik-titik di mana dawai itu memiliki kelengkungan ke atas, maka percepatan di titik-titik itu berharga positif. Sebaliknya, titik-titik di mana dawai itu memiliki kelengkungan ke bawah, maka
percepatan di titik-titik itu berharga negatif. Perlu ditegaskan lagi bahwa
v
y
dan
a
y
adalah kecepatan dan percepatan transversal dari titik-titik pada dawai. Titik-titik bergerak sepanjang
arah sumbu-y, bukan sepanjang arah perambatan gelombang.
y x
Gambar 1.4 Arah kecepatan transversal
v
y
dan percepatan transversal
a
y
pada beberapa titik dalam dawai.
Contoh Soal 1.3
13
Fungsi gelombang transversal yang merambat sepanjang dawai diberikan oleh persamaan
y x,t =3sin πt−4 x,
dengan x dan y dalam cm dan t dalam sekon. a Tentukan panjang gelombang dan periode gelombang transversal ini. b Tentukan kecepatan transversal dan
percepatan transversal pada saat t. c Hitunglah kecepatan transversal dan percepatan transversal pada titik
x=0,25 cm
ketika
t=0.
d Hitunglah kecepatan transversal dan percepatan transversal maksimumnya.
Penyelesaian
a Jika fungsi gelombang
y x,t =3sin πt−4 x
dibandingkan dengan Persamaan 1-
7, yaitu
y x,t = A sin ωt −kx= A sin π 2t
T −
2x λ
,
diperoleh
panjang gelombang:
4= 2
λ ,
λ=0,5
cm,
periode:
1= 2
T ,
T =2 sekon.
b Kecepatan transversal:
v
y
= ∂
y x , t ∂
t =
3 π cos π t−4 x .
Percepatan transversal
a
y
= ∂
2
y x , t ∂
t
2
=− 3 π
2
sin π t−4 x .
c Kecepatan transversal dan percepatan transversal pada
x=0,25
cm ketika
t=0
dapat dihitung dengan substitusi
x=0,25
cm dan t = 0 ke dalam jawaban b:
v
y
= 3 π cos−π=−3 π
cms,
a
y
=− 3 π
2
sin−π=0.
d Kecepatan transversal maksimum,
v
y, maks
= 3π
cms. Percepatan transversal maksimum,
a
y, maks
=− 3 π
2
cms
2
.
D. Laju Gelombang Transversal pada Dawai
Kategori