Fungsi gelombang transversal yang merambat sepanjang dawai diberikan oleh persamaan
y x,t =3sin πt−4 x,
dengan x dan y dalam cm dan t dalam sekon. a Tentukan panjang gelombang dan periode gelombang transversal ini. b Tentukan kecepatan transversal dan
percepatan transversal pada saat t. c Hitunglah kecepatan transversal dan percepatan transversal pada titik
x=0,25 cm
ketika
t=0.
d Hitunglah kecepatan transversal dan percepatan transversal maksimumnya.
Penyelesaian
a Jika fungsi gelombang
y x,t =3sin πt−4 x
dibandingkan dengan Persamaan 1-
7, yaitu
y x,t = A sin ωt −kx= A sin π 2t
T −
2x λ
,
diperoleh
panjang gelombang:
4= 2
λ ,
λ=0,5
cm,
periode:
1= 2
T ,
T =2 sekon.
b Kecepatan transversal:
v
y
= ∂
y x , t ∂
t =
3 π cos π t−4 x .
Percepatan transversal
a
y
= ∂
2
y x , t ∂
t
2
=− 3 π
2
sin π t−4 x .
c Kecepatan transversal dan percepatan transversal pada
x=0,25
cm ketika
t=0
dapat dihitung dengan substitusi
x=0,25
cm dan t = 0 ke dalam jawaban b:
v
y
= 3 π cos−π=−3 π
cms,
a
y
=− 3 π
2
sin−π=0.
d Kecepatan transversal maksimum,
v
y, maks
= 3π
cms. Percepatan transversal maksimum,
a
y, maks
=− 3 π
2
cms
2
.
D. Laju Gelombang Transversal pada Dawai
Besaran fisika yang memengaruhi laju gelombang transversal pada dawai adalah tegangan dawai F dan massa per satuan panjang μ kerapatan massa linear dawai.
Dengan menggunakan pendekatan analisis, dapat ditunjukkan bahwa hubungan antara laju
14
gelombang transversal, tegangan dawai, dan massa per satuan panjang dawai dirumuskan dengan persamaan
v=
√
F μ
.
1-13
Contoh Soal 1.4
Gelombang transversal dengan panjang gelombang 0,3 m merambat sepanjang kawat bermassa 15 kg dengan panjang 300 m. Jika tegangan kawat 1.000 N, berapakah laju
gelombang transversal dan frekuensinya?
Penyelesaian
Panjang gelombang :
λ=0,3
m Panjang kawat
:
l=300
m Massa kawat
:
m=15
kg Tegangan kawat
:
F=1. 000
N Jadi, massa per satuan panjang kawat
μ= m
l =
15 kg 300 m
= 0, 05
kgm. Dengan menggunakan Persamaan 1-13, diperoleh
v=
√
F μ
=
√
1.000 N 0,05 kgm
=
√
20.000
ms = 141 ms. Frekuansi gelombang dapat dihitung dengan Persamaan 1-1:
f = v
λ =
141 ms 0,3 m
= 470 Hz.
E. Laju Gelombang Longitudinal
Gelombang longitudinal merupakan salah satu pokok bahasan yang sangat penting. Apabila frekuensi gelombang longitudinal terletak dalam jangkauan pendengaran manusia,
gelombang manusia dikenal sebagai bunyi. Jadi, bunyi merupakan gelombang longitudinal.
15
Semua alat musik tiup, misalnya seruling, akan menghasilkan gelombang longitudinal bunyi yang merambat dalam medium udara yang berada dalam pipa. Seperti pada pembahasan laju
gelombang transversal, laju gelombang longitudinal juga bergantung pada sifat-sifat medium. Pada gelombang longitudinal pergeseran partikel-partikel yang bergetar tidak tegak lurus
terhadap arah perambatan, tetapi searah dengan arah perambatan. Kita akan membahas laju gelombang longitudinal dalam fluida yang berada di dalam
pipa. Gambar 1.5 menunjukkan fluida, baik zat cair maupun gas, dengan kerapatan ρ yang berada dalam pipa yang luang penampangnya
A .
Dalam keadaan setimbang, fluida ini memiliki tekanan tetap p. Pada Gambar 1.5a, fluida dalam keadaan diam. Ketika
t=0,
piston di ujung kiri digerakkan ke kanan dengan laju tetap
v
y
.
Hal ini menyebabkan gelombang merambat ke kanan di sepanjang pipa. Gambar 1.5b menunjukkan keadaan fluida
pada saat
t.
Bagian fluida di sebelah kiri titik P bergerak ke kanan dengan laju
v
y
,
sedangkan bagian fluida yang terletak di sebelah kanan titik P tetap diam. Batas antara bagian fluida yang bergerak dan bagian fluida yang diam berjalan ke kanan dengan kelajuan yang
sama dengan laju gelombang, yaitu
v .
Pada saat
t
piston telah bergerak sejauh
v
y
t
dan batas itu telah bergerak sejauh
vt .
Kita akan menentukan laju gelombang longitudinal ini dengan menggunakan teorema impuls-momentum.
Gambar 1.5 Laju gelombang longitudinal dalam fluida yang berada dalam pipa. a Fluida berada dalam keadaan setimbang. b Pada fluida yang bergerak terdapat gaya sebesar
p+Δp A− pA=Δ pA
yang arahnya ke kanan. Banyaknya fluida yang bergerak dalam waktu
t
sama dengan banyaknya fluida yang mula-mula menempati bagian pipa dengan panjang
vt
dan luas penampang
A .
Oleh karena itu, fluida yang bergerak memiliki volume
Avt
dan massa
ρ Avt.
Dengan mengingat
16
momentum adalah massa kali kecepatan, massa fluida ini memiliki momentum sebesar
ρ Avt v
y
.
Selanjutnya, kita akan menghitung perubahan tekanan
Δp
dalam fluida yang bergerak. Fluida yang bergerak memiliki volume mula-mula
V =
Avt
dan telah berkurang sebanyak
ΔV =−Av
y
t
tanda negatif menunjukkan bahwa volume fluida telah berkurang. Untuk menghitung perubahan tekanan fluida
Δp,
kita akan menggunakan besaran modulus Bulk B yang didefinisikan sebagai nilai negatif dari perbandingan perubahan tekanan
Δp Δp
terhadap fraksi perubahan volume
ΔV V .
Secara matematis, modulus Bulk dirumuskan dengan persamaan
B=− Δp
ΔV V .
Akan tetapi,
V =
Avt
dan
ΔV =−Av
y
t
sehingga
B=− Δp
− Av
y
t Avt
atau
Δp=B v
y
v .
Tekanan fluida yang bergerak adalah
p+Δp
dan gaya yang diberikan oleh piston pada fluida yang bergerak adalah
p+Δp A.
Jadi, pada fluida yang bergerak terdapat gaya sebesar
p+Δp A− pA=Δ pA
Gambar 1.5b. Jadi, fluida yang bergerak memiliki impuls sebesar
Δ pAt= Bv
y
v At .
Dengan mengingat teorema impuls-momentum, diperoleh
B v
y
v At=ρ vtA
y
,
v=
√
B ρ
.
1-14
17
Jadi, laju gelombang longitudinal dalam fluida hanya bergantung pada modulus Bulk B dan massa jenis fluida.
Persamaan 1-14 merupakan perumusan gelombang longitudinal dalam pipa. Akan tetapi, Persamaan 1-14 berlaku untuk gelombang longitudinal secara umum. Laju gelombang
bunyi di udara dan di air dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan 1-14. Jika gelombang longitudinal merambat dalam zat padat, situasinya sedikit berbeda.
Sebatang zat padat dapat berekspansi sedikit ke samping apabila penampang batang itu ditekan secara horisontal. Sebaliknya, fluida yang berada dalam pipa tidak dapat berekspansi
ke samping apabila penampangnya ditekan secara horisontal. Kita dapat menunjukkan bahwa laju gelombang longitudinal dalam zat padat dapat dihitung dengan menggunakan rumus
v=
√
Y ρ
,
1-15
dengan Y adalah modulus Young zat padat, yaitu perbandingan antara tegangan dan regangan, dan ρ adalah massa jenis zat padat.
Perhatikan bahwa ada kemiripan bentuk Persamaan 1-13, 1-14, dan 1-15. Pada ketiga persamaan ini, pembilang di dalam tanda akar menunjukkan sifat elastik yang
menjelaskan gaya pemulih dan penyebut menunjukkan sifat inersial medium yang bersangkutan.
Tabel 1.1 menunjukkan laju bunyi dalam beberapa macan medium. Gelombang bunyi merambat lebih lambat dalam medium timah daripada dalam medium alumininium, sebab timah
memiliki modulus Bulk dan modulus geser lebih kecil dan massa jenis yang lebih besar.
Tabel 1.1 Laju Bunyi dalam Bahan
Bahan Laju Bunyi ms
Gas Udara 20
o
C Helium 20
o
C Hidrogen 20
o
C Zat Cair
Helium Cair 4 K Raksa 20
o
C Air 0
o
C 344
999 1.330
211 1.451
1.402
18
Air 20
o
C Air 100
o
C Zat Padat
Aluminium Timah
Baja 1.482
1.543 6.420
1.960 5.941
F. Gelombang Bunyi dalam Gas
