Scrambling Index dari Graf Perahu Chapter III IV

BAB 3
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU

Andaikan terdapat 2 buah titik yaitu vpq+1 dan vpq+2 yang saling lepas. Kedua
titik tersebut dihubungkan dengan sebuah graf berbentuk persegi panjang yang
mempunyai panjang p titik dan lebar q titik sehingga membentuk Graf Perahu
G(p, q), yakni sebuah graf yang terdiri atas pq + 2 titik dan terdiri atas lintasan
Pi : vpq+1 ↔ v(i−1)p+1 ↔ v(i−1)p+2 ↔ · · · ↔ vip ↔ vpq+2 untuk i = 1, 2, ..., q, dan
lintasan Pj : vj ↔ vp+j ↔ v2p+j ↔ · · · ↔ v(q−1)p+j untuk j = 1, 2, ..., p seperti
yang ditunjukkan pada Gambar 1.2.
Proposisi 3.1 Andaikan p dan q adalah bilangan bulat positif sehingga p ≥ q
maka diam(G(p, q)) = p + 1.
Bukti. Perhatikan Graf Perahu G(p, q) pada Gambar 1.2. Diperlihatkan bahwa titik vpq+1 dan vpq+2 merupakan dua titik terjauh di graf G(p, q). Lintasan
terpendek yang menghubungkan titik vpq+1 dan titik vpq+2 adalah lintasan dalam
bentuk
Pvpq+1 vpq+2 : vpq+1 ↔ v(i−1)p+1 ↔ v(i−1)p+2 ↔ · · · ↔ vip−1 ↔ vip ↔ vpq+2
untuk i = 1, 2, ..., q. Lintasan tersebut mempunyai panjang
ℓ(Pvpq+1 vpq+2 ) = d(vpq+1 , v(i−1)p+1) + d(v(i−1)p+1, vip) + d(vip , vpq+2)
= 1 + (p − 1) + 1
=p+1
Jadi, ℓ(Pvpq+1 vpq+2 ) = p + 1.

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa untuk tiap dua titik berbeda vx dan vy
di G(p, q), terdapat lintasan dengan panjang d(vx , vy ) ≤ p + 1. Diperhatikan dua
kasus, yaitu jika vx = vpq+1 atau vx = vpq+2 dan vy adalah titik selain keduanya,
serta jika vx dan vy bukanlah titik vpq+1 ataupun titik vpq+2 .
17

Universitas Sumatera Utara

18
Kasus 1. Andaikan vx = vpq+1 dan vy adalah titik dalam bentuk v(i−1)p+t dengan
1 ≤ i ≤ q dan 1 ≤ t ≤ p.
Perhatikan lintasan
Pvx vy : vx ↔ v(i−1)p+1 ↔ v(i−1)p+2 ↔ · · · ↔ v(i−1)p+t−1 ↔ vy .
Lintasan Pvx vy mempunyai panjang
ℓ(Pvx vy ) = d(vpq+1 , v(i−1)p+1) + d(v(i−1)p+1, v(i−1)p+t)
= 1+t−1
=t≤p