Scrambling Index dari Graf Perahu
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Graf merupakan suatu representasi objek-objek diskrit dan hubungan antara objekobjek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai titik (vertex) dan hubungan antara objek-objek tersebut dinyatakan dengan
sisi (edge). Dengan kata lain, sebuah graf G adalah sebuah pasangan berurut yang
dinotasikan G = (V, E) dimana V adalah suatu himpunan tak kosong yang berisi
elemen-elemen yang disebut titik (vertices) dan E adalah himpunan dari 2 subset
pasangan tak berurut V yang disebut garis (edge).
Andaikan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan dengan panjang p yang
menghubungkan titik u dan v di G adalah sebuah barisan p buah sisi dalam
bentuk
{u = u0 , u1}, {u1, u2 }, {u2, u3}, ..., {up−1, up = v}
p
dan dinotasikan dengan u −→ v. Sebuah lintasan yang menghubungkan titik u
dan v adalah sebuah jalan dengan tiap titik yang berbeda kecuali u = v. Lintasan
yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut cycle.
Sebuah graf G dikatakan terhubung jika untuk tiap pasangan titik u dan v
yang berbeda di G terdapat jalan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif jika dan hanya jika graf G mempunyai
paling sedikit satu cycle dengan panjang ganjil. Graf primitif merupakan graf terhubung dimana terdapat bilangan bulat positif k, sehingga untuk setiap pasangan
titik u dan v di G, terdapat jalan dengan panjang k yang menghubungkan kedua
titik tersebut.
Scrambling index merupakan salah satu topik dalam teori graf. Pada tahun
2009, Alkebek dan Kirkland memperkenalkan scrambling index sebagai sebuah
1
Universitas Sumatera Utara
2
parameter baru dari sebuah graf primitif. Scrambling index dari graf primitif G
(k(G)) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan
titik u dan v di G, terdapat sebuah titik w sedemikian sehingga ada jalan dari
titik u ke titik w dan jalan dari titik v ke titik w dengan panjang k. (Alkebek
dan Kirkland 2009a, 2009b).
Lebih lanjut, penelitian kemudian dilanjutkan oleh Chen dan Liu (2010)
membahas mengenai scrambling index dari matriks primitif simetris. Sebuah matriks persegi non-negatif A dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif
k sedemikian hingga semua elemen di Ak > 0. Scrambling index dari matriks
primitif A, dinotasikan dengan k(A) bilangan bulat positif terkecil k sehingga
untuk tiap dua baris di Ak terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi
kolom yang sama.
Sumardi et al. (2014) membahas mengenai graf primitif dengan scrambling
index 1. Suatu sisi yang menghubungkan suatu titik dengan titik yang sama
disebut loop. Sebuah cycle dengan panjang 3 disebut segitiga yang dinotasikan
dengan Sn dengan n merupakan jumlah titik pada graf tersebut. Andaikan G
adalah graf primitif dengan n ≥ 3 titik tanpa loop. Scrambling index k(G) = 1
jika dan hanya jika G memenuhi dua kondisi berikut :
1. Tiap titik di G berada di sebuah segitiga
2. Untuk tiap dua titik vi dan vj yang berada di segitiga yang berbeda, terdapat
Wvi vj dengan panjang 2.
Gambar 1.1 Graf G dengan 5 titik yang mempunyai k(G) = 1
Universitas Sumatera Utara
3
Andaikan Sn adalah graf primitif tanpa loop dengan n ≥ 3 titik dengan
k(Sn ) = 1. Ukuran terkecil dari Sn adalah (3n − 3)/2 jika n ganjil dan ukuran
terkecil dari Sn adalah (3n − 2)/2 jika n genap.
Penelitian ini akan membahas mengenai scrambling index dari suatu Graf
Perahu G(p, q) seperti pada Gambar 1.2, yakni sebuah graf yang terdiri atas
pq + 2 titik dan terdiri atas lintasan Pi : vpq+1 ↔ v(i−1)p+1 ↔ v(i−1)p+2 ↔ · · · ↔
v(i−1)p+p ↔ vpq+2 untuk i = 1, 2, ..., q, dan lintasan Pj : vj ↔ vp+j ↔ v2p+j ↔
· · · ↔ v(q−1)p+j untuk j = 1, 2, ..., p.
Gambar 1.2 Graf Perahu G(p, q)
1.2 Perumusan Masalah
Penelitian mengenai scrambling index terus berkembang. Namun demikian, scrambling index dari suatu graf perahu belum dibahas dalam literatur.
Andaikan G(p, q) adalah Graf Perahu dengan panjang p titik dan lebar q
titik dengan p ≥ q, fungsi f(p, q) manakah yang memenuhi k(G(p, q)) ≤ f(p, q)?
Universitas Sumatera Utara
4
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan bentuk umum scrambling index
dari graf primitif yang berbentuk perahu yang terdiri atas pq + 2 titik dengan
panjang p titik dan lebar q dimana p ≥ q titik berdasarkan fungsi f(p, q) yang
memenuhi k(G(p, q)) ≤ f(p, q).
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan informasi
guna menambah wawasan dalam pembahasan yang berhubungan dengan scrambling index serta dapat dijadikani bahan referensi bagi peneliti lain yang akan
membahas tentang scrambling index dari graf primitif lainnya.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Graf merupakan suatu representasi objek-objek diskrit dan hubungan antara objekobjek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai titik (vertex) dan hubungan antara objek-objek tersebut dinyatakan dengan
sisi (edge). Dengan kata lain, sebuah graf G adalah sebuah pasangan berurut yang
dinotasikan G = (V, E) dimana V adalah suatu himpunan tak kosong yang berisi
elemen-elemen yang disebut titik (vertices) dan E adalah himpunan dari 2 subset
pasangan tak berurut V yang disebut garis (edge).
Andaikan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan dengan panjang p yang
menghubungkan titik u dan v di G adalah sebuah barisan p buah sisi dalam
bentuk
{u = u0 , u1}, {u1, u2 }, {u2, u3}, ..., {up−1, up = v}
p
dan dinotasikan dengan u −→ v. Sebuah lintasan yang menghubungkan titik u
dan v adalah sebuah jalan dengan tiap titik yang berbeda kecuali u = v. Lintasan
yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut cycle.
Sebuah graf G dikatakan terhubung jika untuk tiap pasangan titik u dan v
yang berbeda di G terdapat jalan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif jika dan hanya jika graf G mempunyai
paling sedikit satu cycle dengan panjang ganjil. Graf primitif merupakan graf terhubung dimana terdapat bilangan bulat positif k, sehingga untuk setiap pasangan
titik u dan v di G, terdapat jalan dengan panjang k yang menghubungkan kedua
titik tersebut.
Scrambling index merupakan salah satu topik dalam teori graf. Pada tahun
2009, Alkebek dan Kirkland memperkenalkan scrambling index sebagai sebuah
1
Universitas Sumatera Utara
2
parameter baru dari sebuah graf primitif. Scrambling index dari graf primitif G
(k(G)) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan
titik u dan v di G, terdapat sebuah titik w sedemikian sehingga ada jalan dari
titik u ke titik w dan jalan dari titik v ke titik w dengan panjang k. (Alkebek
dan Kirkland 2009a, 2009b).
Lebih lanjut, penelitian kemudian dilanjutkan oleh Chen dan Liu (2010)
membahas mengenai scrambling index dari matriks primitif simetris. Sebuah matriks persegi non-negatif A dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif
k sedemikian hingga semua elemen di Ak > 0. Scrambling index dari matriks
primitif A, dinotasikan dengan k(A) bilangan bulat positif terkecil k sehingga
untuk tiap dua baris di Ak terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi
kolom yang sama.
Sumardi et al. (2014) membahas mengenai graf primitif dengan scrambling
index 1. Suatu sisi yang menghubungkan suatu titik dengan titik yang sama
disebut loop. Sebuah cycle dengan panjang 3 disebut segitiga yang dinotasikan
dengan Sn dengan n merupakan jumlah titik pada graf tersebut. Andaikan G
adalah graf primitif dengan n ≥ 3 titik tanpa loop. Scrambling index k(G) = 1
jika dan hanya jika G memenuhi dua kondisi berikut :
1. Tiap titik di G berada di sebuah segitiga
2. Untuk tiap dua titik vi dan vj yang berada di segitiga yang berbeda, terdapat
Wvi vj dengan panjang 2.
Gambar 1.1 Graf G dengan 5 titik yang mempunyai k(G) = 1
Universitas Sumatera Utara
3
Andaikan Sn adalah graf primitif tanpa loop dengan n ≥ 3 titik dengan
k(Sn ) = 1. Ukuran terkecil dari Sn adalah (3n − 3)/2 jika n ganjil dan ukuran
terkecil dari Sn adalah (3n − 2)/2 jika n genap.
Penelitian ini akan membahas mengenai scrambling index dari suatu Graf
Perahu G(p, q) seperti pada Gambar 1.2, yakni sebuah graf yang terdiri atas
pq + 2 titik dan terdiri atas lintasan Pi : vpq+1 ↔ v(i−1)p+1 ↔ v(i−1)p+2 ↔ · · · ↔
v(i−1)p+p ↔ vpq+2 untuk i = 1, 2, ..., q, dan lintasan Pj : vj ↔ vp+j ↔ v2p+j ↔
· · · ↔ v(q−1)p+j untuk j = 1, 2, ..., p.
Gambar 1.2 Graf Perahu G(p, q)
1.2 Perumusan Masalah
Penelitian mengenai scrambling index terus berkembang. Namun demikian, scrambling index dari suatu graf perahu belum dibahas dalam literatur.
Andaikan G(p, q) adalah Graf Perahu dengan panjang p titik dan lebar q
titik dengan p ≥ q, fungsi f(p, q) manakah yang memenuhi k(G(p, q)) ≤ f(p, q)?
Universitas Sumatera Utara
4
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan bentuk umum scrambling index
dari graf primitif yang berbentuk perahu yang terdiri atas pq + 2 titik dengan
panjang p titik dan lebar q dimana p ≥ q titik berdasarkan fungsi f(p, q) yang
memenuhi k(G(p, q)) ≤ f(p, q).
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan informasi
guna menambah wawasan dalam pembahasan yang berhubungan dengan scrambling index serta dapat dijadikani bahan referensi bagi peneliti lain yang akan
membahas tentang scrambling index dari graf primitif lainnya.
Universitas Sumatera Utara