Scrambling Index dari Graf Perahu
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU
SKRIPSI
HELDA OKTAVIANI
130803074
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
gelar Sarjana Sains
HELDA OKTAVIANI
130803074
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Scrambling Index dari Graf Perahu
Kategori
: Skripsi
Nama
: Helda Oktaviani
Nomor Induk Mahasiswa
: 130803074
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan,
Juli 2017
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19620901 198803 1 002
NIP.19640109 198803 1 004
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Suyanto, M.Kom
NIP. 19590813 198601 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan,
Juli 2017
HELDA OKTAVIANI
130803074
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Segala puji dan syukur bagi Allah Subhanahu wa Ta’ala yang melimpahkan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi yang
berjudul ”SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU” ini. Shalawat serta
salam kepada Nabi Muhammad Shallallahu ’Alaihi wa Sallam beserta keluarga,
para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada:
1. Ibunda (Almh.) Helmi Indrawati, Ayahanda Dadan Suchendra, Adinda
Dwi Rachmadayanti, serta kepada Etek Hendro, Tante Ari, Om Iyas, dan
Etek Elvita yang senantiasa memberikan do’a dan dukungan selama menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku dosen pembimbing akademik
sekaligus pembimbing 1 dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen
pembimbing 2 yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat serta dapat
meluangkan waktu, tenaga dan pikiran selama penyusunan skripsi ini. Terima kasih telah memberikan penulis motivasi di sela-sela bimbingan skripsi.
3. Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku dosen
pembanding yang telah memberikan masukan dan saran selama penyusunan
skripsi ini.
4. Seluruh Dosen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat kepada penulis selama menimba ilmu di perkuliahan ini.
5. Seluruh staff administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara terkhusus staff administrasi Departemen Matematika, Bang Bandi dan Kak Wanti, yang telah membantu penulis dalam
iii
Universitas Sumatera Utara
menyelesaikan urusan-urusan terkait seminar proposal, seminar hasil, hingga ujian skripsi.
6. Rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2013 khususnya kepada sahabat
penulis; Mawar Riza, Yogi Nugraha, dan Tondi Marulizar yang telah banyak
membantu dan memberikan dukungan serta saran selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih juga kepada rekan-rekan kuliah lainnya Sishi, Bamba,
Ericha, Ica, Agelh, Jessa, Apri, Ariz, dan Yoko yang selama kuliah menjadi
”kawan seperjuangan” dalam melalui hari-hari perkuliahan di Matematika.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan
skripsi ini. Oleh karena itu, diperlukan kritik serta saran yang membangun dari
pembaca guna penyempurnaan skripsi ini.
Medan, Juli 2017
Penulis
HELDA OKTAVIANI
iv
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU
ABSTRAK
Scrambling index dari graf primitif G dinotasikan dengan k(G) adalah bilangan
bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda u dan
v, terdapat sebuah titik w yang mengakibatkan ada jalan dari u ke w dan jalan
dari v ke w dengan panjang k. Pada tugas akhir ini akan didiskusikan mengenai
scrambling index dari Graf Perahu G(p, q) yang terdiri atas pq + 2 titik dimana
p dan q adalah bilangan bulat positif sehingga p ≥ q. Untuk graf primitif G
untuk p bilangan bulat positif ganjil dan
diperlihatkan bahwa k(G) = diam(G(p,q))
2
diam(G(p,q))+1
untuk p bilangan bulat positif genap.
k(G) =
2
Kata kunci: graf primitif, graf perahu, scrambling index
iv
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX OF BOAT GRAPH
ABSTRACT
The scrambling index of a primitive graph G is the smallest positive integer k
that for each pair of vertices u dan v there is a vertex w that we can get to w
from u and v in G by walks of length k. We discuss the scrambling index of Boat
Graph G(p, q) consisting of pq + 2 vertices where p and q are elements of positive
integer such that p ≥ q. For such primitive graphs G we present formulae for
which p that is the odd positive integer and
scrambling index k(G) = diam(G(p,q))
2
diam(G(p,q))+1
k(G) =
which p that is the even positive integer.
2
Keywords: primitive graph, boat graph, scrambling index
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
BAB 2 GRAF PRIMITIF
5
2.1 Definisi Graf
5
2.2 Istilah-istilah dalam Graf
5
2.3 Matriks Ketetanggaan
7
2.4 Graf Terhubung
8
2.5 Primitifitas Graf
9
vii
Universitas Sumatera Utara
2.6 Scrambling Index
11
BAB 3 SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU
17
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
28
4.1 Kesimpulan
28
4.2 Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
29
LAMPIRAN
30
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
1.1
Graf G dengan 5 titik yang mempunyai k(G) = 1
2
1.2
Graf Perahu G(p, q)
3
2.1
Contoh Graf Primitif
5
2.2
(a) Graf Terhubung dan (b) Graf Tidak Terhubung
8
2.3
(a) Graf Primitif dan (b) Graf Tidak Primitif
10
ix
Universitas Sumatera Utara
SKRIPSI
HELDA OKTAVIANI
130803074
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
gelar Sarjana Sains
HELDA OKTAVIANI
130803074
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Scrambling Index dari Graf Perahu
Kategori
: Skripsi
Nama
: Helda Oktaviani
Nomor Induk Mahasiswa
: 130803074
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan,
Juli 2017
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19620901 198803 1 002
NIP.19640109 198803 1 004
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Suyanto, M.Kom
NIP. 19590813 198601 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan,
Juli 2017
HELDA OKTAVIANI
130803074
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Segala puji dan syukur bagi Allah Subhanahu wa Ta’ala yang melimpahkan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi yang
berjudul ”SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU” ini. Shalawat serta
salam kepada Nabi Muhammad Shallallahu ’Alaihi wa Sallam beserta keluarga,
para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada:
1. Ibunda (Almh.) Helmi Indrawati, Ayahanda Dadan Suchendra, Adinda
Dwi Rachmadayanti, serta kepada Etek Hendro, Tante Ari, Om Iyas, dan
Etek Elvita yang senantiasa memberikan do’a dan dukungan selama menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku dosen pembimbing akademik
sekaligus pembimbing 1 dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen
pembimbing 2 yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat serta dapat
meluangkan waktu, tenaga dan pikiran selama penyusunan skripsi ini. Terima kasih telah memberikan penulis motivasi di sela-sela bimbingan skripsi.
3. Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku dosen
pembanding yang telah memberikan masukan dan saran selama penyusunan
skripsi ini.
4. Seluruh Dosen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat kepada penulis selama menimba ilmu di perkuliahan ini.
5. Seluruh staff administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara terkhusus staff administrasi Departemen Matematika, Bang Bandi dan Kak Wanti, yang telah membantu penulis dalam
iii
Universitas Sumatera Utara
menyelesaikan urusan-urusan terkait seminar proposal, seminar hasil, hingga ujian skripsi.
6. Rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2013 khususnya kepada sahabat
penulis; Mawar Riza, Yogi Nugraha, dan Tondi Marulizar yang telah banyak
membantu dan memberikan dukungan serta saran selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih juga kepada rekan-rekan kuliah lainnya Sishi, Bamba,
Ericha, Ica, Agelh, Jessa, Apri, Ariz, dan Yoko yang selama kuliah menjadi
”kawan seperjuangan” dalam melalui hari-hari perkuliahan di Matematika.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan
skripsi ini. Oleh karena itu, diperlukan kritik serta saran yang membangun dari
pembaca guna penyempurnaan skripsi ini.
Medan, Juli 2017
Penulis
HELDA OKTAVIANI
iv
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU
ABSTRAK
Scrambling index dari graf primitif G dinotasikan dengan k(G) adalah bilangan
bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda u dan
v, terdapat sebuah titik w yang mengakibatkan ada jalan dari u ke w dan jalan
dari v ke w dengan panjang k. Pada tugas akhir ini akan didiskusikan mengenai
scrambling index dari Graf Perahu G(p, q) yang terdiri atas pq + 2 titik dimana
p dan q adalah bilangan bulat positif sehingga p ≥ q. Untuk graf primitif G
untuk p bilangan bulat positif ganjil dan
diperlihatkan bahwa k(G) = diam(G(p,q))
2
diam(G(p,q))+1
untuk p bilangan bulat positif genap.
k(G) =
2
Kata kunci: graf primitif, graf perahu, scrambling index
iv
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX OF BOAT GRAPH
ABSTRACT
The scrambling index of a primitive graph G is the smallest positive integer k
that for each pair of vertices u dan v there is a vertex w that we can get to w
from u and v in G by walks of length k. We discuss the scrambling index of Boat
Graph G(p, q) consisting of pq + 2 vertices where p and q are elements of positive
integer such that p ≥ q. For such primitive graphs G we present formulae for
which p that is the odd positive integer and
scrambling index k(G) = diam(G(p,q))
2
diam(G(p,q))+1
k(G) =
which p that is the even positive integer.
2
Keywords: primitive graph, boat graph, scrambling index
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
BAB 2 GRAF PRIMITIF
5
2.1 Definisi Graf
5
2.2 Istilah-istilah dalam Graf
5
2.3 Matriks Ketetanggaan
7
2.4 Graf Terhubung
8
2.5 Primitifitas Graf
9
vii
Universitas Sumatera Utara
2.6 Scrambling Index
11
BAB 3 SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PERAHU
17
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
28
4.1 Kesimpulan
28
4.2 Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
29
LAMPIRAN
30
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
1.1
Graf G dengan 5 titik yang mempunyai k(G) = 1
2
1.2
Graf Perahu G(p, q)
3
2.1
Contoh Graf Primitif
5
2.2
(a) Graf Terhubung dan (b) Graf Tidak Terhubung
8
2.3
(a) Graf Primitif dan (b) Graf Tidak Primitif
10
ix
Universitas Sumatera Utara