BAB II TEORI DASAR
II.1. Teori balok umum
Balok ataupun batang lentur adalah salah satu diantara elemen-elemen struktur yang paling banyak dijumpai pada setiap struktur. Balok adalah elemen
struktur yang memikul beban yang bekerja tegak lurus dengan sumbu longitudinalnya. Hal ini menyebabkan balok itu melentur.
Apabila memvisualisasikan balok juga elemen struktur lain untuk melakukan analisis atau desain, akan lebih mudah bila memandang elemen struktur
tersebut dalam bentuk idealisasi. Bentuk ideal itu harus dapat mempresentasikan sedekat mungkin dengan elemen struktur aktualnya, tetapi bentuk ideal juga harus
dapat memberikan keuntungan secara matematis. Sebagai contoh pada gambar II.1.1.a sebuah balok ditumpu sederhana, tumpuan tersebut adalah sendi di ujung kiri
dan rol di ujung kanan ; akan menghasilkan suatu kondisi yang dpat diperlakukan dengan mudah secara matematis, misalnya untuk mencari reaksi, momen, geser
lintang dan defleksi. Sedangkan pada gambar II.1.1.b diperlihatkan balok kantilever yang mempunyai tumpuan jepit di ujung kiri. Jenis tumpuan demikian memberikan
reaksi vertikal dan horizontal, juga tahanan rotasi. Tumpuan jepit seperti ini cukup untuk mempertahankan keseimbangan statis balok. Meskipun kondisi ideal pada
umumnya tidak ada pada struktur aktual, kondisi actual dapat mendekati kondisi ideal dan harus cukup dekat untuk digunakan dalam analisis atau desain.
Universitas Sumatera Utara
Gambar II.1.1. Batang Lentur
II.1.1. Perilaku lentur balok. Pada gambar II.1.2. diperlihatkan suatu panjang balok lurus dimana telah
dilenturkan pada radius p dengan momen M ; segmen yang ada dijadikan sebagai lentur murni. Berdasarkan dua potongan melintang AB dan CD terdapat suatu jarak
yang terpisah, bagian yang sama 0ab dan bcd memberikan
ϵ=
� �
a Dimana y adalah jarak yang diukur dari garis rotasi garis netral. Tetapi,
regangannya adalah jarak yang cocok dari garis netral. Variasi pada tegangan pada potongan melintang itu diberikan pada diagram bahan tegangan dan regangan,
berputar 90
M = ∫ ����
�
b dari orientasi konvensional, menyediakan garis regangan
ϵ di skalakan melalui persamaan a dengan jarak y pada gambar II.1.2.b. momen lentur M
diberikan dengan :
Dimana �� adalah suatu elemen dari suatu luasan pada jarak y gambar
II.1.2.c . akan tetapi, momen M dapat ditentukan jika hubungan antara regangan dan tegangan diketahui. Jika tegangan searah dengan regangan maka f = E
ϵ, persamaan a dan b menjadi
Universitas Sumatera Utara
M
=
� �
∫ �
2 �
�� =
�� �
c Atau mengeleminasi p pada persamaan a ,
M =
��� �
=
�� �
d
Gambar II.1.2. a penampang balok ,b kurva tegangan regangan, c penampang melintang balok
Perilaku lentur dari balok dengan penampang melintang persegi panjang menghasilkan suatu diagram leleh baja. Pada persamaan d membuat suatu garis
tegangan yang panjang jika f ≤ Fy . ketika regangan mencapai puncak yaitu pada
nilai ϵ
y
M =
�
�
�2
=
�
�
��
2
6
e , distribusi tegangan dan distribusi regangan di tampilkan pada gambar
II.1.3.b dan c. momen di atas disebut momen leleh yaitu
Di mana b adalah lebar dan d adalah tinggi pada penampang melintang gambar II.1.3.a . untuk M
≤ My, momen yang cocok untuk tegangan dan regangan puncak. Jika regangan maksimum adalah 2
ϵ
y
pada gambar II.1.3.d, maka distribusi tegangan ditunjukan pada gambar II.1.3.e . maka momen yang dihasilkan adalah
Universitas Sumatera Utara
M =
11 48
F
y
b d
2
Momen ini hanya 37,5 persen dari momen leleh yang ada walaupun regangan maksimum yang dua kali lebih besar. masih jauh deformasi yang ditunjukan pada
gambar II.1.3.f , dimana sudah 90 persen dari penampang sudah mencapai leleh. Momen yang dihasilkan yaitu
f
M = 0.249 F
y
b d
2
Pada gambar II.1.3.h ditunjukan bahwa momen telah mencapai plastis dimana momen yang ada lebih besar 0,4 persen dari momen pada regangan 10
ϵ g
y
M =
�
� ��
2 �
2
=
�
�
��
2
4
h .
Gambar II.1.3. kurva tegangan-regangan pada balok baja
Momen pada persamaan h itu dinamakan ketahanan pada momen plastis. Yang disimbolkan dengan Mp . ini biasanya diambil nilai batasan. Rasio antara momen
plastis dan momen leleh untuk penampang di atas yaitu
�
�
�
�
=
� �
=
ξ
Rasio ξ di atas disebut shape factor faktor bentuk .
Universitas Sumatera Utara
II.2. Teori Metode Elemen Hingga FEM . Balok cellular yang merupakan material baja yang nonlinear dapat di analisis
melalui rumus pendekatan yang berdasarkan metode elemen hingga. FEM merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya-gaya dalam yang terjadi
dalam suatu komponen struktur. Finite element methode juga dapat dipakai untuk perhitungan struktur, fluida, elektrik, static, dinamik, dan lain-lain. FEM juga dikenal
sebagai metode kekakuan atau displacement methode karena yang didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian mencari gaya batang.
Dikarenakan perhitungan matematis yang kompleks, FEM secara utama dikembangkan untuk deformasi linear yang kecil dimana matriks kekakuan konstan.
Pada kasus deformasi yang besar, matriks kekakuan dan gaya dalam menjadi fungsi dari perpindahan. Nonlinear FEM digunakan untuk memperbaiki parameter material
dari pandangan pelat elastis yang tinggi. Dalam bab ini, dikembangkan model FEM nonlinear untuk deformasi geometri yang besar. dalam hal ini akan digunakan suatu
model untuk memperbaiki deformasi yang ada pada struktur balok. Suatu balok merupakan suatu batang, yang berarti satu dimensi lebih besar
dari dua elemen struktur yang dapat menahan gaya transversal pada perletakan yang ada. Balok yang umum dapat digunakan sebagai struktur tersendiri atau
dikombinasikan untuk membentuk struktur portal bangunan yang umum digunakan pada bangunan dan dapat digunakan pada varisai beban secara luas dengan berbagai
arah. Karena kita bekerja pada gambaran struktur 2D , maka digunakan suatu balok sederhana yang membentuk suatu balok 3D di bawah pengaruh gaya yang dipakai
pada balok .
Universitas Sumatera Utara
II.2.1. deskripsi model matematis. Euler-Bernoulli beam EB teori secara luas digunakan untuk memodelkan
deformasi yang kecil. Timoshenko beam TB teori memperluas persamaan EB untuk memperjelas untuk efek nonlinear seperti geser. Untuk lebih teliti, elemen kinematik
pada balok dijelaskan dengan 3 dof per node yaitu perpindahan aksial pada sumbu X Ux, perpindahan transversal pada sumbu Y Uy dan rotasi pada penampang
melintang θ. Teori EB mengasumsikan bahwa penampang melintang meninggalkan
gaya normal untuk membentuk sumbu longitudinal, di mana TB menghapus kendala normal dengan memperkenalkan deformasi geser. Sebagai tambahan, kedua teori
mengacuhkan perubahan dimensi dari bentuk penampang balok yang mengalami deformasi. Teori TB dapat digunakan untuk perilaku geometri nonlinear akibat
perpindahan dan perputaran yang besar. walaupun lebih kompleks teori TB yang muncul agar lebih efisien dalam hal perhitungan FEM.
Balok tersebut dibagi menjadi beberapa bagian elemen hingga . elemen- elemen balok lurus dan memiliki 2 node. Maka dikumpulkan semua nodal dof ke
dalam sistem vektor dof yang dinamakan vektor tetap :
U = [
�x1 �y1 θ1 . . . �xn �yn θn ]
T
Dalam hal ini, diasumsikan untuk mengetahui material properti dari model yang ada seperti E modulus elastisitas, G yaitu modulus geser. Materialnya masih
tetap linear elastis . gaya-gaya yang ada bekerja pada node balok yang dikumpulkan untuk membentuk vektor gaya yaitu :
f = [
fx1 f y1 f
θ
1
. . . fxn fyn f
θn
] dengan n adalh total jumlah node yang ada pada model balok.
T
Universitas Sumatera Utara
Regangan merupakan suatu ukuran untuk mengubah bentuk objek, dalam hal ini yaitu panjang, sebelum dan sesudah terjadi deformasi yang diakibatkan beberapa
beban yang ada. Tegangan adalah distribusi gaya-gaya dalam per satuan luas yang seimbang dan bereaksi terhadap gaya luar yang terjadi pada balok. Dalam kasus teori
TB , ada tiga perbedaan komponen tegangan per elemen balok : regangan aksial yang diukur berdasarkan besar ukuran balok e , regangan geser yang diukur berdasarkan
perubahan sudut antara dua garis pada balok sebelum dan sesudah deformasi γ ,
dan ukuran perubahan kurva k . Dari hal di atas , dapat dikumpulkan menjadi suatu vektor regangan balok secara umum :
h
T
= [ e
1
γ
1
k
1
. . . e
n-1
γ
n-1
k
n-1
]. Resultan tegangan pada teori TB ditentukan gaya aksial N , gaya lintang V
dan momen lentur M per satuan luas dari penampang melintang. Resultan tegangan secara umum :
z = [ N
1
V
1
M
1
. . . N
n-1
V
n-1
M
n-1
]. Di mana n-1 adalah jumlah dari elemen balok.
Energi regangan dalam model sepanjang balok dapat ditulis sebagai integral panjang :
U = ∫ �
� �
hdX
Di mana L adalah panjang balok. Vektor gaya dalam bisa didapat dengan mengambil variasi pertama dari energi regangan sehubungan dengan perpindahan nodal :
P =
�� ��
= ∫ �
� �
uzdX
Persamaan ini dievaluasi dengan penggabungan satu titik Gauss. B adalah matrik regangan-perpindahan . akhirnya, variasi pertama pada gaya dalam
mendefinisikan matriks kekakuan tangensial :
Universitas Sumatera Utara
K
T
=
�� ��
=
∫ �
�
�� ��
+
�� ��
�
�
dX = K
M
+ K
G
Di mana KT adalah kekakuan material dan KG adalah kekakuan geometri. Kekakuan material adalah konstan dan identik dengan matriks kekakuan linear pada balok
Euler-Bernoulli C1 . kekakuan geometri mendatangkan variasi dari B dimana resultan tegangan tetap dan membawa balok nonlinear pada deformasi geometri yang
besar.
II.3. Castellated beam
Castellated beam merupakan suatu profil baja yang mempunyai bukaan berbentuk segi enam. Castellated mengalami proses pemotongan pada bagian badan
profil dengan pola zigzag. Salah satu bagian yang telah dipotong lalu diangkat dan disatukan bagian badannya dan terakhir dilakukan pengelasan pada bagian badan
yang menempel ; hal ini dilakukan untuk meningkatkan tinggi dari profil awal h dengan tinggi potongan yang ada d. bentuk castellated beam ditampilkan dalam
gambar II.3.1.
Gambar II.3.1. Proses pembentukan castellated beam
Universitas Sumatera Utara
Adapun keuntungan dari penggunaan castellated beam. Keuntungan yang utama yaitu meningkatkan kekakuan lentur secara vertikal; castellated beam telah
dibuktikan lebih efisien untuk beban medium pada bentang panjang dimana perencanaannya dikontrol dengan kapasitas momen dan lendutan. Balok castellated,
karena rasio kuat tariknya yang tinggi dengan berat dan pemeliharaan yang kecil, kadang-kadang secara menguntungkan dapat menggantikan penggunaan girder.
Mereka digunakan dalam bangunan bertingkat, bangunan komersial dan bangunan industri, dan juga untuk rangka portal. Keuntungan balok castellated juga mencakup
penampilan mereka yang mengesankan dan memungkinkan penggunaan daerah bukaan untuk pelayanan instalasi.
Adapun juga kerugian dari penggunaan balok castellated. Akibat adanya bukaan pada bagian badan profil, perilaku struktur dari balok castellated akan
berbeda dari balok baja yang biasa. Karena perbedaan kemungkinan moda kegagalan atau moda kegagalan yang baru, mereka merupakan struktur nonlinear, dimana tidak
bisa dianalisis dengan metode sederhana. Kapasitas geser pada bagian badan profil adalah suatu faktor yang terbatas, dan balok castellated tidak cocok untuk bentang
pendek yang dibebani dengan berat. Deformasi geser pada bagian T nya sangat signifikan dan analisa lendutan lebih kompleks daripada balok yang bagian badan
profil padat.
II.3.1. Analisa dan perencanaan balok castellated. Geometri dari balok castellated terdapat tiga parameter yaitu sudut potongan
pada bukaan badan profil ∅ , rasio ekspansi α, dan panjang pengelasan c yang
ditunjukan pada gambar II.3.2.
Universitas Sumatera Utara
Gambar II.3.2.parameter pada castellated beam •
Sudut potongan ∅
Sudut potongan mempengaruhi jumlah proses pemotongan balok castellated N per unit panjang dari balok . N akan kecil ketika sudut itu rata dan akan besar
ketika bertahap. Percobaan telah menunjukan bahwa peningkatan jumlah N mempunyai pengaruh yang kecil untuk kekakuan elastis pada balok castellated,
itu akan meningkatkan daktailitas dan kapasitas rotasi, percobaan yang ada menunjukan bahwa penyesuaian pada sudut 60
• Rasio ekspansi
α adalah suatu sudut standart yang
efisien terhadap bangunan industri.
Rasio ekspansi merupakan suatu ukuran dari peningkatan tinggi balok yang dicapai pada proses pemotongan. Dalam teori tinggi balok baja yang biasa dapat
hampir dua kali lipat, tetapi tinggi seluruhnya dari profil T adalah suatu faktor batas. Dalam pelaksanaan, tinggi dari potongan ‘d’ adalah setengah bagian dari
tinggi h
s
h , maka
T
=
ℎ
�
4
, h
C
Untuk sudut potongan 60 =
ℎ
�
2
+ ℎ , α =
ℎ
�
ℎ
≈ 1,5 menjadi,
Universitas Sumatera Utara
α =
.5ℎ
�
√3
=
0.289 h •
Panjang pengelasan c
s
Jika panjang pengelasan terlalu pendek . kemudian las pada bagian badan yang disambung akan mengalami kegagalan geser horizontal, dan apabila terlalu
panjang akan mengalami kegagalan dalam lentur vierendeel, jadi keseimbangan yang beralasan antara dua moda kegagalan ini yaitu c = h
s
4.
II.4. Cellular Beam