20
BAB I V PE MB AHAS AN
4.1 Pel abel an To ta l Super Vertex-Magi c pada Graf
Menurut MacDougall et al. [8], pelabelan total super vertex-magic adalah suatu bijeksi
λ dari VG EG ke bilangan bulat 1, 2, , + dengan syarat bahwa untuk setiap VG berlaku
̊
dengan k bernilai konstan disebut konstanta magic dan λVG = {1, 2, , υ}.
Teorema 4.1.1
Jika G mempunyai suatu pelabelan total super vertex-magic, maka
1 1
2
Bukti
Diberikan graf G dan λ adalah pelabelan total super vertex-magic pada graf G
sedemikian sehingga setiap vertex berbobot k. Jika 껐
, , ,
υ
maka 1,2, , dengan k 1, 2, , . Ditulis kembali rumusan matriks
adjacency label, yaitu matriks simetris
n
̊
dengan k, u = 1, 2, , sehingga
n
̊
,
̊
jika
̊
jika k u
0 lainnya 4 1
dengan ,
̊
adalah label edge dan adalah label vertex. Syarat magic
menyiratkan bahwa jumlah semua entri pada baris ke-i dan kolom ke-j harus konstan dan senilai dengan konstanta magic k, untuk setiap i = 1, 2,
,υ. Oleh karena itu diperoleh hubungan
n n
n
υ
, k 1, 2, , 4.2 Menurut persamaan 4.1,
n
̊
untuk i = j bernilai sehingga persamaan 4.2
dapat disajikan
n n
a
n
υ
n n
a
n
υ
υ
n
υ
n
υ
n
υ ,υ
, hasil penjumlahan semua baris adalah
υ
2 n n
a
n
υ ,υ
4.3 Menurut persamaan 4.1, jika edge
̊
E maka a
ij
= λ ,
̊
yang berlabel mulai dari
1 sampai dengan , sehingga persamaan 4.3 dapat
dituliskan 1 2
2 1 2
] 1
2 2
1 1
2 4 4
1 2
1 1
1 1
2 dan diperoleh konstanta magic pada graf, yaitu
1 1
2 4 5
Teorema 4.1.1 menghasilkan Akibat 4.1.2 dan Akibat 4.1.3.
Akibat 4.1.2 Jika graf G mempunyai pelabelan total super vertex-magic, maka
| 1 jika ganjil dan |2
1 jika genap. Akibat 4.1.3
Jika G adalah graf berorder genap yang mempunyai pelabelan total super vertex-magic maka
0 ذ Ƽ 8 dan 0 atau 3 ذ Ƽ 4; atau
4 ذ Ƽ 8 dan 1 atau 2 ذ Ƽ 4.
Teorema 4.1.4 Jika suatu graf r-regular G berorder
mempunyai pelabelan total super vertex-magic, maka
dan r mempunyai parity yang berlawanan dan jika
0 ذ Ƽ 8 maka 0 ذ Ƽ 4,
jika 4 ذ Ƽ 8 maka
2 ذ Ƽ 4
Bukti
Diasumsikan suatu graf r-regular G mempunyai order , dengan bernilai
ganjil, dan graf G memiliki pelabelan total super vertex-magic. Jumlah edge dalam graf G dinotasikan . Menurut Fletcher et al. [3], jumlah derajat semua
vertex dalam suatu graf sama dengan dua kali size. Oleh karena setiap vertex
dalam graf r-regular G mempunyai derajat yang sama yaitu r, maka size ε dapat
disajikan 2
4 6 Substitusi persamaan 4.6 ke konstanta magic 4.5 ditampilkan sebagai berikut.
2 2
1 1
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 Karena harus integer,
2
υ
1 dan 1 harus mempunyai parity
yang sama sehingga jika ganjil maka r genap, jika genap maka r ganjil.
Merujuk pada Akibat 4.1.3 dan
υ
, maka dapat dikatakan bahwa graf r- regular G
berorder genap
a. jika 0 ذ Ƽ 8 maka
υ
0 ذ Ƽ4. b.
jika 4 ذ Ƽ 8 maka
υ
2 ذ Ƽ 4.
Teorema 4.1.4 menyatakan bahwa jika suatu graf super vertex-magic berderajat ganjil maka mempunyai order genap. Jika graf super vertex-magic
berderajat genap maka ber-order ganjil. Teorema 4.1.4 mengakibatkan gabungan disjoint m
graf r-regular dengan setiap komponen ber-order memuat pelabelan
total super vertex-magic
a. jika r genap maka nilai ذ dan ganjil,
b. jika r ganjil maka nilai ذ atau genap.
Oleh karena itu dapat dikatakan bahwa
a. jika cycle ú mempunyai pelabelan total super vertex-magic jika t ganjil,
b. jika gabungan disjoint m cycle ذú mempunyai pelabelan total super vertex-magic
jika ذ dan t ganjil,
c. jika graf circulant ú 1,2, , t 1 2
⁄ mempunyai pelabelan total super vertex- magic jika
t ganjil, d.
jika gabungan disjoint m graf circulant ذú 1,2, , t 1 2 ⁄ mempunyai
pelabelan total super vertex-magic jika ذ dan t ganjil.
4.2 Pel abel an To ta l Super Vertex-Magi c pada C ycle
Kategori