3a Sub-elemen 1 portal ruang

Gambar 6.3a Sub-elemen 1 portal ruang

Fi t 111 1 Fl2

Sistem penomoran seperti pada gambar

1-- I I Gl 0 ·' 0 0 0 0

GI,

4Eiv

6Eiv

0 6Eiv 0 0

__ 2EI Y

-- 6Eiv

1 2EI y

6EI

1 2EI

0 fl]

I(

e)

[s]., = (6 - 2 a )

---------------

� ----------------

0 GI, 0 0 @ 0

GI,

2EI,

4Eiv

__ 6EI Y

c e e"

6Eiv _ 1 2Eiv

__ 6EI Y

1 2EI y

e"

e"

Bagi sub-elemen 2 berupa balok :

CD 0 ® 0 0 ®

EAX

0 0 0 EAX

CD 0

0 1 2EI7 6Eiz

0 - -- 1 2Eiz 6EJz

e2

0 6EJz 4EJz

0 6Eiz

2Eiz

e e2 [s], e 2-

(6 - 2 b ) EA,

EA,

Menggabungk an (6 -2a) dan (6-2b) , d ipero leh matrik k ekakuan total elemen:

1 2 1':1 z

0 0 0 6Ei y

0 2 Ei y

6E! y

0 el l' I '

I I 6E17

[sL

6 1·: 1 z

0 4 1- l z

: 0 6EI7

2tlz

0 12 ------------------------------------4-------�---------------------------- 1 : 12 1

L·\ '

0 : L\,

(J(-�:J z : 0 0 0 -7:

I I 6U,

: 0 0 r-

Cl ! "'

: I ()

0 (6 -3)

6 . 1 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Stru ktu r

Serupa dengan portal bidang, i dentifikasi perpindahan/perubahan pada sistem akibat beban luar d inyatakan dengan perpindahan tiga translasi normal dan tiga rot asi t itik-titik k umpul.

Contoh sistem portal ruang scperti pada G ambar 6.1.1.

Titik kumpul I,

2, 3 , 4 adalah perletakan jepit. Tidak terj adi baik perpindahan translasi maupun rotasi di keempat titik kumpul, mengingat sifat perletakan jepit. Titik kumpul 5, 6, 7,

8 dapat berotasi dan bertranslasi dalam ruang. Dengan demikian, derajat kebebasan strukur

NX =6 * 8-6 * 4 = 24 . Derajat kebebasan struktur ini dapat dihitung berdasarkan rumus :

NX = 6NJ - 6NFJ - 3 N PJ - 2 N R 1 - N R 2 (6 - 4) hal mana NJ

jum lah total titik kumpu l , termasuk perletakan N FJ = jum lah titik yang sifatnya jepit N PJ = jumlah titik yang sifatnya sendi NR1

= j um lah titik yang sifatnya rol tipe- 1 N R2 = jumlah titik yang sifatnya rol tipe - 2

Perpindahan garis elastis yang menyatakan perubahan posisi sistem struktur dapat dih itung. Gambar 6. 1 .2 memperl ihatkan perubahan posisi sistem secara skematik. Derajat kebebasan

titik d inyatakan dengan vektor Xi . A rah vektor positif seperti tergiunbar. Seperti j uga halnya dengan clemen, tetjadinya perubahan posisi titik kumpul ber akibat olch beke�janya gaya. Apabila setiap vektor perpindahan/rotasi titik kumpu l d iakibatkan oleh vektor gaya ekivalen

yang bekerja di titik kumpul tersebut, maka kedua vektor tersebut berpasangan. Perpasangan ini terkait dengan dcrajat kcbebasan struktur.

X,s, P1

garis clastis

X,s P1

XI

p I K 1 1 K 12 K u K l4

.K ij

K uo

p2 K zl K :!2 K 23 K 24

.K zj

K z,o

Xz

p) K , l K :;:! K ,> KJ4

.K >i

K 2'0

X>

x4

(6 - 5) pj

a tau {P} = [K){x}

K ;l K ., K , K j4 J• J.>

K ii

k j30

P2o K 201 K zoz K 20.1 K zo4

K 2oj

K 2020 XJo

Matrik K

d idefin iskan sebagai Matrik Kekakuan Struktur. Unsur matrik K;1 merupakan has i l rakitan unsur-unsur matrik elemen yang ujungnya terkait

menyusun titik kumpu l .

6 . 2 Koord inat Lokal dan Koordinat Struktur Perakitan matrik [ K] dari matrik elemen [S] memerlukan proses transformasi koordinat. Pada

perakitan unsur [K] di titik kumpul 5, Gambar 6.2. 1 , sistem koordinat elemen batang 2, 5 , dan 6 yang menyatakan h ubungan [S ] { 1<.} = { F } harus d itransformas ikan kedalam si stem koordinat struktur/global.

81, 82 dan 83 yang dibentuk e lemen batang m terhadap absis X, bidang X-Z, dan terhadap rotasi penampang, besaran gaya LF, F2 F, F4 F, F6 F7 F8 F9 F10 F11 F,2 J di­

Dengan sudut

nyatakan dengan LP, P2 P1 P4 P, P6 P7 P8 P9 P10 P11 P,2j melalui transformasi koordinat. F,

P, F2 p2

F,

P, F4 p4

Fs

[T ], 0 0 0 PS F6 := 0 [Tl 0 0 p6

F7 atau {F }111 = [T]111{P}m

0 0 [T], 0 p7

(6 - 6)

Fs

0 0 0 [T), ps

F9 p9

FIO

PlO

F, ,

P, ,

F,:

PI:!

J uga perpindahan ujung elemen LL1, l12 l13 l14 L1, l16 l17 l18 l19 l110 L111 L1,2j dinyatakan

dengan Lx , X:! X, x. X, x6 x7 x8 X') x,o x,, x,2J melalui transformasi koordinat :

L1,

x,

L12

X:

L1,

X,

L1.

x"

L1s

(T)1 0 0 0 x,

L16

0 [T), 0 0 x6

[s L {�}, = {F}, , akan diperoleh matrik kekakuan e lemen yang ditinj au dari si stem koordinat global/struktur sebagai berikut :

I­ : EA ,

II

l2E11

I I I 11 * [T]m ( X } m = [T]m { P } m·

(,[J ,

(> f. l /

------------------------------�-----------------------------· 1 I I I I

- EA , 0 () ()

1 - EA , 0 ()

I c,r.t ,

(> f::l ,

lt::-:1/ I

II .tEI 1

a tau

[S]m [T]m { X } m = [T]m { P } m

(6 - 8)

Menga l i kan persamaan (6 - 8) dengan matrik invers [T];,' [Tl,' [sL [TL {xL, = [Tt,' [TL {P}m

(6 - 9)

[Tt,' [sL [Tl, {xL, = {P},

0 0 G) 0 G) 0 0 0 ® @ @ @)

0 kll kl2 kll kl4 kl, kl6 kl7 kl8 kl9 kilO kill kll2

0 k21 k22 k23 k24 k2S k26 k27 k28 k29 k210 k211 k212

0 kll k,2 k_n k34 kJS k36 k37 k38 k39 kliO klll km

0 k41 k42 k43 k44 k4S k46 k47 k48 k49 k410 k411 k412

[k]m �

0 k,l k,2 k,] k,4 k" k,6 k,7 kS8 k,9 kSIO kSII k\12

k61 k62 k63 k64 k6S k66 k67 k68 k69 k610 k611 k612

k71 k72 k73 k74 k7S k76 k77 k78 k79 k710 k711 k712 k81 k82 k83 k84 k8S k86 k87 k88 k89 k810 k811 k812 k91 k92 k93 k94 k9S k96 k97 k98 k99 k910 k911 k912

@ kiOI kl02 kiOJ kl04 kiOS kl06 k 107 kl08 kl09 kiOIO kl012 kl012 @ kill kll2 kiiJ kll4 kiiS kll6 kll7 kll8 kll9 kiiiO kill I klll2

kl21 kl22 kl23 kl24 ki2S kl26 km kl28 kl29 kl210 kl211 kl212

(6 - 1 0) di mana :

= __ EA x

__ 12EI ( y

* cos2 81 cos2 82 + * - sin 81 cos83 + cos81 sin 82 cos83 2

kl l

e e3

12EI ( + * -cos81 sin 82 cos83 -sin 81 sin 83 )2

e3

EA 12EI �

k21 =�*cos81 sin82 cos82 - * cos82 sin83 -sin81 cos83 +cos81 sin82 cos83 X )

12EI �

+�* cos82 cos83 -cos81 sin82 cos83 -sin81 sin83 X )

6E1 k41 = -

* - cos81 sin82cos83 - sin81 sine3 ( X - sin 81 cos83 +cos81 sin82 sin83 ) + * ( - cos 81 sin 82 cos 83 - sin 81 sin 83 X- sin 81 cos 83 + cos 81 sin 82 sin 83)

kl4 = k41 6E1

k51 = - * ( cos82 cos83 X - sin 81 cos83 - cos81 sin82sin83) - z* ( cos 82 sin 83 X - cos 81 sin 82 cos 83 - sin 81 sin 83)

k 15 = k51 6E1

k61 = - * - sin 81 sin 82 cos e3 + cos81 sin 83 - sin 81 cos83 + cos81 sin 82 sin 83 ( X ) - 6E21z * ( cos82 sin 8_., X- cos81 sin 82 cos8_., - sin 81 sin 8_., .) .) .) )

f k16 = k61 6E1

X -sin 81 cos83 + cos81 sin 82 sin 83 ) + z* ( - cos 81 sin 82 cos 83 -sin 81 sin 83 X cos 81 cos e3 +sin 81 sin 82 sin 83 )

k71 = - * - sin 81 sin 82 cos 83 + cos 81 sin 83

kl7 = k71 6E1

k81 = - -i- * cos82 cos83 e ( X - sin81 cos83 + cos81 sin82 sin83)

cos82 sin 83 X - cos81 sin 82 cos83 - sin 81 sin 8 J cos82 sin 83 X - cos81 sin 82 cos83 - sin 81 sin 8 J

k l.l l = kl l.l 6El

k 121 =---f * (- sin 81 sin 82 cos83 + cos81 sin 83)(- sin 81 cos83 cos81 sin 82 sin 83) t

* (-cos81 sin 82 cos83 - sin 81 sin 83 )(cos81 cos83 + sin 81 sin 82 sin 83)

e kl . l2 = kl2.1

82 + � y* ( cos 82 sm 83 + ) � 12Elz * ( cos 82 cos 83 )

EAx . 2 12El

k22 =

kr = EA x (sin 81 sin 82 cos 82)- y * (cos 82 sin 83 )(cos 81 cos 83 + sin 81 sin 82 sin 83) J '

fJ

+ * (cos 82 cos 83 )(- sin 81 sin 82 cos 83 + cos 81 sin 83) k32 = k23

6El

k24 * sin 83)(- cos81 sin 82 cos83 - sin 81 sin 83 ) + z * (cos 82 cos 83 )(- sin 81 cos 83 + cos 81 sin 82 sin 83)

k24 = k42

( cos2 82 sin 83 cos 83 ) ( cos2 82 sin 83 cos 83 )

k25 *

z*

k 25 = k52

X k27 = * (cos 81 sin 82 cos 82) + y * (cos 82 sin 83 )(-sin 81 cos 83 +cos 81 sin 82 sin 83)

e * (cos82 cos83)(-cos81 sin 82 cos83 -sin 81 sin 83) k27 = k72

k28 EAx 2 12Eiy ( 2 2 82 cos 82sin 83 -er* cos 82 cos 83 12Elz ( 2 2 k28 = k82

k29 = EAx (sin 81 sin 82 cos82)+ * (cos82 sin 83)(cos81 cos83 +sin 81 sin 82 sin 83) f f � - * (cos82 cos83)(-sin 81 sin 82 cos83 + cos81 sin 83)

k29 k92 6EI

k210 = 7 * (cos82 sin e3)(-cos e) sin 82 cos83 -sin el sin e3) + * (cos82 cose3)(-sin el cos83 + cosel sin 82 sin e3) k210 = kl02

k21 1 = 7 6Eiy *( 2 . cos e2 sm83cos83

-y 6Eiz *( 2 . cos e2 sm83 cos83

k21 1 = kl l2 6EI

k212 = 7 * (cos 82 sin 83 )(-sin el sin 82 cos 83 +cos el sin 83) k212 = 7 * (cos 82 sin 83 )(-sin el sin 82 cos 83 +cos el sin 83)

k34 k43

k,5 _, * (cos82 cos8--Xcos81 cos8, + +sin01 sin81 sin8,) _, _, - _,

- z * (cos 81 sin 8, )(- sin 81 sin e2 cos 8, + cos 81 sin 8,) - _, _, _, e-

6EI k,6 .) --

f 2Y * (-sin 81 sin 81 cos8, + cos81 sin 8, cos81 cos8, +sin 81 sin 81 sin El� - .) .) .) - .) ) + * (- sin 81 sin 82 cos 83 + cos 81 sin 83 )(cos 01 cos 83 +sin 81 sin 82 sin 8J

k36 k63 12Eiy (

-7 * -sin 81 cos83 + cos81 sin 82 sin 83 cosOI cos83 +sin 81 sin 82 cos83 X ) + z *(- sin 81 sin 82 cos 83 + cos 81 sin 83 X- cos 81 sin 82 cos o3 - sin 81 sin 83)

k�7 k .) 73