f. Tindakan-tindakan Pedagogis
Banyak anggapan bahwa guru membantu mendorong dan membimbing perbuatan belajar anak didiknya tetapi perlu diketahui
pula bahwa ada siswa yang dapat berhasil dalam belajar meskipun mereka menerima pelajaran yang jelek dari gurunya.
g. Kapasitas Dasar
Guru tidak perlu mengharapkan hasil akhir yang sama dari semua siswa karena mereka memiliki kapasitas yang berbeda-beda. Mereka
dapat berjalan sesuai dengan kemampuan dan kecepatan masing- masing.
Dari pendapat di atas, dapat disimpulkan bahwa faktor-faktor yang mempengaruhi hasil belajar siswa tersebut sangat berkaitan dan
berhubungan, baik faktor dari dalam maupun faktor dari luar diri siswa.
7. Pengertian Matematika
Kata matematika tentu sudah tidak asing lagi bagi kita, matematika merupakan ratu dari ilmu pengetahuan dimana materi matematika
dipakai dalam semua jurusan, bahkan dalam kehidupan sehari-hari matematika juga dipakai.
Istilah matematika berasal dari bahasa Latin mathematica, yang mulanya diambil dari bahasa Yunani, mathematike yang berarti “relating
to learning”. Berdasarkan etimologis Elea Tinggih dalam Erman Suherman. 2003: 16 yang dikutip oleh Sanjaya Yasin, kata matematika
berarti “ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar” dalam http:www.sarjanaku.com201106pengertian-matematika.html
tanggal 10 Maret 2013 .
Menurut Riedesel, matematika adalah kumpulan kebenaran dan aturan, matematika bukanlah sekedar berhitung. Matematika merupakan
sebuah bahasa, kegiatan pembangkitan masalah dan pemecahan masalah, kegiatan menemukan dan mempelajari pola serta hubungan dikutip dari
http:www.pengertianahli.com201310pengertian-matematika- menurut-ahli.html
diakses pada tanggal 14 November 2013 pukul 22.00. Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika adalah ilmu
tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan.
Berdasarkan pendapat di atas dapat disimpulkan bahwa matematika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang aljabar, analisis,
geometri yang didasarkan pada berpikir logis dan konsisten.
8. Materi Bentuk Akar Berdasarkan Buku MATEMATIKA Kelas X
Semester 1 Sartono Wirodikromo. 2007:204-227
a. Bilangan Rasional
Adalah bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
dengan a, b B,
≠ 0 dan B adalah himpunan bilangan bulat. Contoh:
Ubahlah pecahan desimal di bawah ini menjadi pecahan biasa 1
0.25 = 2
0,333… = A
3,333… = 10A
3,33… - 0,33… = 10A – A 3
= 9A A
= =
b. Bilangan Irasional
Merupakan kebalikan dari bilangan rasional, yaitu suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
,dengan a, b
B, ≠ 0.
Contoh:
√2 , √3 , log 7, log 11 , , .
Bilangan Bentuk Akar merupakan Bilangan Irasional. Namun,
tidak semua bilangan yang menggunakan tanda akar merupakan bilangan bentuk akar.
Contoh: 1
√5
bilangan irasional 2
√9
bilangan rasional 3
3√7
bilangan irasional
c. Menyederhanakan Bentuk Akar
Hal yang dilakukan terlebih dahulu yaitu mencari faktornya terlebih dahulu kemudian dipilih faktor yang dapat ditarik akarnya.
Contoh:
1 √27 = √9 ∙ √3 = 3√3
2 5√128 = 5 ∙ √64 ∙ √2 = 5 ∙ 4 ∙ √2 = 20√2
d. Jenis-jenis Akar
1 Akar Senama
Dikatakan senama jika pangkat akar dari bentuk-bentuk itu
sama.
Contoh:
√13 , √5 , √11
2 Akar Sejenis
Dikatakan sejenis jika bilangan tersebut memuat akar senama
dan bilangan yang terdapat dibawah tanda akar juga sama. Contoh:
a
√2 , 2√2 , 7√2 b
√3 , 4√3 , 9√3
3 Akar Sekawan
Dikatakan sekawan jika kedua bentuk akar itu dikalikan
menjadi bilangan rasional. contoh:
a a -
√
sekawan dengan a +
√
b
√
sekawan dengan
√
e. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
1 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Contoh:
a 7√5 + 4√5 = 7 + 4√5 = 11√5
b 5√7 − 2√7 = 5 − 2√7 = 3√7
2 Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Jika bentuk akar tersebut senama maka dapat memakai sifat-
sifat di bawah ini:
√ − √ = − √ √ + √ = + √
dan
dan
√ √
= √ ∙ √ =
∙ √ ∙
Contoh:
a 2√3 ∙ 7√6 = 2 ∙ 7√3 ∙ 6
= 14√18 = 14 ∙ √9 ∙ √2
= 14 ∙ 3√2 = 42√2
b
√ √
= = 2√7
Apabila bentuk akar belum senama, ubahlah bentuk akar
tersebut menjadi senama terlebih dahulu.
Contoh:
a √5 ∙ √4 = √5
∙
∙ √4
∙
= √5 ∙ 4
∙
= √2.000
∙
= √2.000 b
√ √
=
√
∙
√
∙
=
∙
=
3 Penarikan Akar Kuadrat dari hasil Pengkuadratan suatu
Penjumlahan atau Pengurangan Bentuk Akar a
Penarikan akar kuadrat dari hasil pengkuadratan suatu penjumlahan
√ + √ = √
+ 2 ∙ √ ∙ √ + √ = + + 2√ ∙
√ + √ = + + √ ∙
√ √
= √
∙
√
∙
=
∙
√ ∙ √ = √
∙
∙ √
∙
= √
∙
∙
dan
b Penarikan akar kuadrat dari hasil pengkuadratan suatu
pengurangan
√ − √ = √
− 2 ∙ √ ∙ √ + √ = + − 2 √ ∙
√ − √ = + − √ ∙
, a b
a b karena hasil dari + − √ ∙
adalah bilangan positif. Jika a b maka harus diberi tanda mutlak sehingga
menghasilkan bilangan positif. Jadi, berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa:
Contoh:
a 5 + 2√6 = 3 + 2 + 2√3 ∙ 2
= √3 + √2 b
11 − 4√7 = 7 + 4 − 2 ∙ 2√7 = 7 + 4 − 2√7 ∙ 4
= √7 − √4
f. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Amatilah pecahan-pecahan berikut ini:
1 √2
, 2
3√2 ,
√2 √3
, 2
5 − √2 √ ± √
= + ± √ ∙ ,
a b
Pecahan-pecahan di atas mempunyai penyebut yang memuat bentuk akar, atau penyebutnya adalah bilangan irasional. Berikut ini akan
kita pelajari mengenai cara mengubah nilai penyebut itu menjadi bilangan rasional.
1 Pecahan Bentuk
√
Cara merasionalkan penyebut pecahan bentuk
√
dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan oleh suatu
bentuk akar tetapi tetap tidak mengubah nilaidari pecahannya.
√
∙
√ √
=
∙√ √ ∙√
= √
Contoh: a
√
=
√
∙
√ √
= √5 b
√ √
=
√ √
∙
√ √
=
∙
√7 ∙ 3 = √21
2 Pecahan Bentuk
±√
Contoh: a
√
=
√
∙
√ √
=
√ √ ∙
√
=
√
= 4 − 2√3
b
√
=
√
∙
√ √
=
∙ √
√ √
=
√
= − 6 3 + 2 √3
3 √
= √
+ √ =
− √ −
dan
− √ =
+ √ −
3 Pecahan Bentuk
√ ±√
Contoh:
2 √5 − 3 √2 5 √5 + 2 √2
= 2 √5 − 3 √2
5 √5 + 2 √2 ∙
5 √5 − 2 √2 5 √5 − 2 √2
= 2 √5 − 3 √2 5 √5 − 2 √2
5 √5 + 2 √2 5 √5 − 2 √2
= 50 − 4 √10 − 15 √10 + 12
125 − 8 =
62 − 19 √10 117
g. Mengubah Bilangan akar manjadi Bilangan Pangkat
Sama artinya dengan
=
Pengertian terakhir ini dapat digunakan untuk mengubah suatu bilangan akar menjadi bentuk pangkat pecahan. Perhatikan uraian
berikut:
√ =
√ =
= = × × × … ×
= 1
= =
1 √ + √
= √ − √
−
dan
√ − √ =
√ + √ −
√ =
np faktor
Berdasarkan contoh-contoh tersebut, didefinisikan:
9. Pengertian Motivasi
