Teorema 2.33
Barisan turun dan terbatas ke bawah adalah konvergen.
Bukti:
Diberikan turun dan terbatas ke bawah. Karena
: ∈ ℕ ≠ ∅ maka ter- dapat
∈ ℝ dan = inf : ∈ ℕ . Jadi, untuk setiap ∈ ℕ berlaku ≥ 2.5
Karena = inf : ∈ ℕ , maka untuk 0 yang diberikan terdapat : ∈ ℕ
dan −
•
≥ 2.6 Karena
turun, maka mengingat 2.5 dan 2.6, untuk setiap ≥ : berlaku
−
•
≥ ≥ + 2.7
Jadi, diperoleh pernyataan bahwa untuk setiap 0 terdapat : ∈ ℕ sedemikian
sehingga untuk setiap ≥ ℕ dan ≥ :, maka
− . Jadi, konver-
gen dan lim
= = inf : ∈ ℕ .
B. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks
Definisi 2.34
Sebuah Fungsi
B: ℝ → ℝ dikatakan kontinu pada … ∈ ℝ jika untuk setiap
k 0 yang diberikan, terdapat 9 0 sedemikian sehingga jika − … 9 ma- ka
B − B … k.
Definisi 2.35
Limit B untuk mendekati ` adalah †, ditulis
L x
f
c x
=
→
lim jika dan hanya jika untuk setiap
0 yang diberikan, terdapat 9 0 sedemi- kian sehingga bila
0 − ` 9 berlaku B − † .
Teorema 2.36
Misalkan ‡ adalah konstanta, B dan ˆ adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit
di `. Maka
1. k
k
c x
=
→
lim ;
2. lim
lim x
f k
x kf
c x
c x
→ →
= ;
3.
[ ]
L K
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
+ =
+ =
+
→ →
→
lim lim
lim ;
4.
[ ]
L K
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
− =
− =
−
→ →
→
lim lim
lim ;
Bukti:
1. Misalkan didefinisikan
B = ‡ maka harus dibuktikan
k x
f
c x
=
→
lim .
Misalkan 0, harus ditunjukkan bahwa dapat dicari 9 0 sedemikian se-
hingga B
− ‡ bila 0 − ` 9
Ambil sebarang 9 0 maka untuk 0 − ` 9 berlaku
B − ‡ = ‡ − ‡ = 0
Jadi terbukti bahwa k
k
c x
=
→
lim
2. Jika
‡ = 0 maka ‡B = 0, maka
[ ]
lim lim
x f
x f
c x
c x
= =
=
→ →
Limit di atas adalah kasus khusus dari rumus 1, dengan ‡ = 0. Oleh karena
itu, rumus 1 adalah benar untuk ‡ = 0.
Asumsikan bahwa ‡ ≠ 0.
Misalkan 0,
K x
f
c x
=
→
lim maka melalui definisi limit ada
9
1
0 sedemi- kian sehingga
bila 0 − ` 9
berlaku
B − ‡
‡
Pilih 9 = 9
1
dan harus ditunjukkan bahwa bila
0 − `
9 berlaku
‡B − ‡?
Misalkan 0 − ` 9, maka
‡B − ‡? = ‡ B
− ? ‡
‡ =
Jadi, terbukti bahwa lim
lim x
f k
x kf
c x
c x
→ →
=
3. Misalkan
0, K
x f
c x
=
→
lim dan
L x
g
c x
=
→
lim maka ada
9
1
0 dan 9
2
sedemikian sehingga B
− ?
2
bila 0 − ` 9 dan
ˆ − †
2
bila 0 − ` 9
Pilih 9 = min 9 , 9 . Harus ditunjukkan bahwa
bila 0 − `
9 berlaku
B + ˆ
− ? + † Misalkan bahwa
0 − `
9, maka
B + ˆ
− ? + † = B − ? + ˆ
− † ≤ B
− ? + ˆ − †
2 + 2
= Jadi terbukti bahwa
[ ]
L K
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
+ =
+ =
+
→ →
→
lim lim
lim
4. Untuk membuktikan rumus 4, akan digunakan informasi dari rumus-rumus se-
belumnya.
[ ]
[ ]
L K
x g
x f
x g
x f
x g
x f
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
c x
c x
c x
c x
c x
− =
− =
− +
= −
+ =
− +
= −
→ →
→ →
→ →
→ →
lim lim
2 rumus
melalui lim
1 lim
3 rumus
melalui 1
lim lim
3 rumus
melalui 1
lim lim
Teorema 2.37
Diberikan himpunan ‰ ⊂ m, fungsi B dan ˆ yang didefinisikan pada ‰ ke dalam
m dan ‡ ∈ ℝ. Jika B dan ˆ kontinu di [], ], maka B − ˆ kontinu di [], ].
Bukti:
Misalkan ` sebarang titik di [], ].
Akan dibuktikan
[ ]
lim c
g c
f x
g x
f
c x
− =
−
→
Karena B dan ˆ kontinu di `, maka
lim c
f x
f
c x
=
→
dan lim
c g
x g
c x
=
→
. Menurut teorema tentang limit fungsi diperoleh:
[ ]
lim lim
lim c
g c
f x
g x
f x
g x
f
c x
c x
c x
− =
− =
−
→ →
→
Karena ` adalah sebarang titik di [], ] maka B − ˆ kontinu di setiap titik pada
interval [], ].
Definisi 2.38
Andaikan n daerah asal dari B, yang memuat titik ` maka
1.
B` adalah nilai maksimum B pada n jika B` ≥ B untuk semua ∈
n. 2.
B` adalah nilai minimum B pada n jika B` ≤ B untuk semua ∈ n.
3.
B` adalah nilai ekstrim B pada n jika merupakan nilai maksimum atau ni-
lai minimum.
Teorema 2.39 Teorema Titik Kritis
Andaikan B terdefinisikan pada selang Š yang memuat titik `. Jika B` adalah
nilai ekstrim, maka ` haruslah berupa suatu titik kritis; yakni ` berupa salah satu:
1. Titik ujung dari
Š; atau 2.
Titik stasioner dari B yakni titik ` sedemikian sehingga B′` = 0; atau
3. Titik singular dari
B yakni titik ` sedemikian sehingga B′` tidak ada;
Bukti:
Misalkan B` berupa nilai maksimum B pada Š dan misalkan bahwa ` bukan ti-
tik ujung atau pun titik singular. Harus diperlihatkan bahwa ` adalah titik sta-
sioner. Karena
B` adalah nilai maksimum, maka B ≤ B` untuk semua dalam Š, yaitu
B − B` ≤ 0 Jadi, jika
`, sehingga − ` 0, maka B − B`
− ` ≥ 0 2.8
sedangkan jika `, maka
B − B` − `
≤ 0 2.9 Karena
` bukan titik singular maka B′` ada. Akibatnya, untuk → `
}
maka lim
Ž→•
•
B − B` − `
= B
‘
` ≥ 0
dan untuk → `
~
maka lim
Ž→•
’
B − B` − `
= B
‘
` ≤ 0 Jadi, dapat disimpulkan bahwa
B
‘
` = 0 atau ` merupakan titik stasioner.
Teorema 2.40 Teorema Nilai Rata-rata
Jika B kontinu pada selang tertutup [], ] dan terdiferensial dalam interval ],
maka terdapat paling sedikit satu bilangan ` dalam ], dimana
B
‘
` = B − B]
− ] atau ekuivalen dengan
B − B] = B
‘
` − ]
Bukti:
Pembuktian Teorema Nilai Rata-rata ini didasarkan pada analisis dari fungsi H = B − ˆ , yang akan diperlihatkan pada Gambar 2.1
Persamaan = ˆ
], B] dan , B
dan melalui ], B]
Selanjutnya dihasilk
Perhatikan bahwa H
Gambar 2.1
pada Gambar 2.1 adalah persamaan garis . Karena garis ini mempunyai kemiringan
B − B] − ]
] maka bentuk kemiringan persamaannya adala ˆ − B] =
B − B] − ]
− ] ilkan rumus
H = B − ˆ = B − B] −
B − B] − ]
H = H] = 0 dan untuk dalam ], H
‘
= B
‘
− B − B]
− ]
is yang melalui
alah
− ]
Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan ` dalam ], yang memenuhi
H
‘
` = 0 maka bukti selesai. Hal ini didasarkan pada persamaan terakhir bahwa 0 = B
‘
` − B − B]
− ] Karena
B dan ˆ kontinu maka B − ˆ kontinu di [], ]. Oleh karena itu H
‘
` ada untuk suatu
` dalam ], Berdasarkan sifat bahwa jika
B kontinu pada interval tertutup [], ], maka B mencapai nilai maksimum dan minimum. Jadi
H harus mencapai nilai maksimum ataupun nilai minimum pada
[], ]. Jika kedua nilai ini kebetulan nol, maka H secara identik adalah nol pada
[], ], akibatnya H
‘
= 0 untuk semua dalam ], . Jika salah satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan nol,
maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik dalam `, karena H] = H = 0.
Karena H mempunyai turunan di setiap titik dari ], , sehingga dengan Teo-
rema Titik Kritis H
‘
` = 0.
Definisi 2.41
Sebuah fungsi
B: ℝ → ℝ dikatakan terdiferensial secara kontinu pada ∈ ℝ ,
