Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton Dwiwarna dengan n Titik Ganjil
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
MERRYANTY LESTARI P
110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
MERRYANTY LESTARI P
110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PERSETUJUAN
Judul
:
Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton
Dwiwarna dengan n Titik Ganjil
Kategori
:
Skripsi
Nama
:
Merryanty Lestari P
Nomor Induk Mahasiswa
:
110803067
Program Studi
:
Sarjana (S1) Matematika
Departemen
:
Matematika
Fakultas
:
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan,
Juli 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP. 19630405 198811 2 001
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP. 19640109 198803 1 004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2015
MERRYANTY LESTARI P
110803067
ii
PENGHARGAAN
Segala puji hanya bagi Allah SWT yang senantiasa memberikan pertolongan
dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
”SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL” ini dengan baik. Shalawat beriring
salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat.
Dalam penulisan skiripsi ini penulis banyak mendapatkan bimbingan, motivasi dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada:
1. Ibunda Tetti Mahrani Lubis, AMS dan Ayahanda Anwar Pasaribu, S.Hut
serta Kakanda Rahmelya Oktari, S.IA yang telah mendo’akan, memotivasi,
dan memberikan dukungan selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I, dan
Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II dan Sekretaris
Departemen Matematika FMIPA USU Medan, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi
maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian
ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I dan Ketua
Departemen Matematika FMIPA USU Medan, dan Bapak Dr. Suwarno
Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan nasihat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara,
Medan.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat terbaik Intayashu,
Indah, Mantari, Ratih, Tika, Tilsa, Aisyah, dan Nisa yang senantiasa menyemangati dan memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis
iii
mengucapkan terima kasih kepada seluruh rekan-rekan Matematika 2011 terkhusus kepada Matematika Murni 2011 yang telah memberikan bantuan moril kepada
penulis. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas bantuan yang diberikan
kepada penulis.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis
mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak untuk penyempurnaan skripsi
ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
iv
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
ABSTRAK
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif adalah bilangan bulat positif
terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian
hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat sebuah titik w di D(2)
dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, ℓ)-walk dari titik u ke titik w dan sebuah
(h, ℓ)-walk dari titik v ke titik w. Tulisan ini membahas mengenai scrambling
index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna atas n ≥ 5 titik ganjil yang terdiri
dari dua cycle dengan panjang n dan (n − 1)/2. Pertama, tulisan ini membahas
primitifitas dari sebuah digraf dwiwarna D(2) dan selanjutnya memperlihatkan
rumus scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang
relatif terhadap titik berderajat masuk dua.
Kata kunci: Primitif, digraf dwiwarna, digraf Hamilton, scrambling index.
v
SCRAMBLING INDEX OF A CLASS OF TWO-COLORED
HAMILTONIAN DIGRAPH WITH N ODD VERTICES
ABSTRACT
The scrambling index of a primitive two-colored digraph D(2) is the least positive
integer h + ℓ over all pairs of nonnegative integers (h, ℓ) such that for each pair
of vertices u and v in D(2) there is a vertex w in D(2) with the property that there
is an (h, ℓ)-walk from u to w and an (h, ℓ)-walk from v to w. This paper discuss
the scrambling index of a class of two-colored Hamiltonian digraph on n ≥ 5 odd
vertices consist of two cycles of length n and (n − 1)/2, respectively. First, this
paper discuss the primitivity of a two-colored digraph D(2) and then present formulae for scrambling index that depend on n vertex and the position of the blue
arcs relative to the vertex of indegree two.
Keywords: Primitive, two-colored digraph, Hamiltonian digraph, scrambling index.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
v
ABSTRACT
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
viii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
4
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
5
2.1 Definisi Digraf Dwiwarna
5
2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna
7
2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna
8
2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna
11
2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna
16
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
19
BAB 4 SCRAMBLING INDEX DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
21
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
41
5.1 Kesimpulan
41
5.2 Saran
41
DAFTAR PUSTAKA
42
vii
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
1.1
Digraf Wielandt Wn
3
1.2
(a) D(2) dengan 2 arc biru dan (b) D(2) dengan 3 arc biru
4
2.1
Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc
6
2.2
Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc
8
2.3
(a) D(2) terhubung kuat, (b) D(2) tidak terhubung kuat
9
2.4
Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat primitif
10
2.5
Digraf dwiwarna D(2) primitif
13
viii
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
MERRYANTY LESTARI P
110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
MERRYANTY LESTARI P
110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PERSETUJUAN
Judul
:
Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton
Dwiwarna dengan n Titik Ganjil
Kategori
:
Skripsi
Nama
:
Merryanty Lestari P
Nomor Induk Mahasiswa
:
110803067
Program Studi
:
Sarjana (S1) Matematika
Departemen
:
Matematika
Fakultas
:
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan,
Juli 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP. 19630405 198811 2 001
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP. 19640109 198803 1 004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
i
PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2015
MERRYANTY LESTARI P
110803067
ii
PENGHARGAAN
Segala puji hanya bagi Allah SWT yang senantiasa memberikan pertolongan
dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
”SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL” ini dengan baik. Shalawat beriring
salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat.
Dalam penulisan skiripsi ini penulis banyak mendapatkan bimbingan, motivasi dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada:
1. Ibunda Tetti Mahrani Lubis, AMS dan Ayahanda Anwar Pasaribu, S.Hut
serta Kakanda Rahmelya Oktari, S.IA yang telah mendo’akan, memotivasi,
dan memberikan dukungan selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I, dan
Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II dan Sekretaris
Departemen Matematika FMIPA USU Medan, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi
maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian
ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I dan Ketua
Departemen Matematika FMIPA USU Medan, dan Bapak Dr. Suwarno
Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan nasihat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara,
Medan.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat terbaik Intayashu,
Indah, Mantari, Ratih, Tika, Tilsa, Aisyah, dan Nisa yang senantiasa menyemangati dan memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis
iii
mengucapkan terima kasih kepada seluruh rekan-rekan Matematika 2011 terkhusus kepada Matematika Murni 2011 yang telah memberikan bantuan moril kepada
penulis. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas bantuan yang diberikan
kepada penulis.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis
mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak untuk penyempurnaan skripsi
ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
iv
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON
DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
ABSTRAK
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif adalah bilangan bulat positif
terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian
hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat sebuah titik w di D(2)
dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, ℓ)-walk dari titik u ke titik w dan sebuah
(h, ℓ)-walk dari titik v ke titik w. Tulisan ini membahas mengenai scrambling
index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna atas n ≥ 5 titik ganjil yang terdiri
dari dua cycle dengan panjang n dan (n − 1)/2. Pertama, tulisan ini membahas
primitifitas dari sebuah digraf dwiwarna D(2) dan selanjutnya memperlihatkan
rumus scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang
relatif terhadap titik berderajat masuk dua.
Kata kunci: Primitif, digraf dwiwarna, digraf Hamilton, scrambling index.
v
SCRAMBLING INDEX OF A CLASS OF TWO-COLORED
HAMILTONIAN DIGRAPH WITH N ODD VERTICES
ABSTRACT
The scrambling index of a primitive two-colored digraph D(2) is the least positive
integer h + ℓ over all pairs of nonnegative integers (h, ℓ) such that for each pair
of vertices u and v in D(2) there is a vertex w in D(2) with the property that there
is an (h, ℓ)-walk from u to w and an (h, ℓ)-walk from v to w. This paper discuss
the scrambling index of a class of two-colored Hamiltonian digraph on n ≥ 5 odd
vertices consist of two cycles of length n and (n − 1)/2, respectively. First, this
paper discuss the primitivity of a two-colored digraph D(2) and then present formulae for scrambling index that depend on n vertex and the position of the blue
arcs relative to the vertex of indegree two.
Keywords: Primitive, two-colored digraph, Hamiltonian digraph, scrambling index.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
v
ABSTRACT
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
viii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
4
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
5
2.1 Definisi Digraf Dwiwarna
5
2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna
7
2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna
8
2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna
11
2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna
16
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
19
BAB 4 SCRAMBLING INDEX DIGRAF HAMILTON DWIWARNA
21
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
41
5.1 Kesimpulan
41
5.2 Saran
41
DAFTAR PUSTAKA
42
vii
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
1.1
Digraf Wielandt Wn
3
1.2
(a) D(2) dengan 2 arc biru dan (b) D(2) dengan 3 arc biru
4
2.1
Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc
6
2.2
Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc
8
2.3
(a) D(2) terhubung kuat, (b) D(2) tidak terhubung kuat
9
2.4
Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat primitif
10
2.5
Digraf dwiwarna D(2) primitif
13
viii