103
Matematika
3. Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi
Lakukanlah pengamatan pada beberapa contoh soal berikut untuk menentukan sifat-sifat operasi fungsi komposisi. Dari pengamatan yang kamu lakukan, tariklah
sebuah kesimpulan terkait sifat operasi fungsi komposisi.
Contoh 3.4
Diketahui fungsi f: R→R dengan fx = 4x + 3 dan fungsi g: R→R dengan
gx = x–1. a Tentukanlah rumus fungsi komposisi
g ◦ f x dan f ◦ gx b Selidiki apakah
g ◦ f x = f ◦ gx
Penyelesaian
a Menentukan rumus fungsi komposisi g ◦ f x dan f ◦ gx
g ◦ fx = gfx =
g4x + 3 = 4x + 3 –1
= 4x + 2 f ◦ gx = fgx
= fx – 1
= 4x – 1 + 3 = 4x – 4 + 3
= 4x – 1 Dengan demikian
g ◦ fx = 4x + 2 dan f ◦ gx = 4x – 1. b Selidiki apakah
g ◦ f x = f ◦ gx Berdasarkan hasil perhitungan butir a di atas diperoleh
g ◦ fx = 4x + 2, dan f ◦ gx = 4x – 1
Andaikan g ◦ f x = f ◦ gx
4x + 2 = 4x – 1 2 = –1
Ternyata hasil yang diperoleh adalah kontradiksi dari pernyataan. Jadi,
g ◦ f ≠ f ◦ g Berdasarkan Contoh 3.4 di atas, disimpulkan bahwa pada umumnya sifat
komutatif pada operasi fungsi komposisi tidak berlaku, yaitu; g ◦ f ≠ f ◦ g.
Di unduh dari : Bukupaket.com
104
Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1
Contoh 3.5
Diketahui fungsi f: R→R dengan fx = 2x – 1 dan fungsi g: R→R dengan gx = 4x+5, dan fungsi h: R→R dengan hx = 2x – 3.
a Tentukanlah fungsi komposisi g◦f ◦ hx dan g ◦ f ◦ hx.
b Tentukanlah fungsi komposisi f◦g ◦ hx dan f ◦ g ◦ hx.
c Selidiki apakah: i g ◦ f ◦ hx = g ◦ f ◦ hx, dan
ii f ◦ g ◦ hx = f ◦ g ◦ hx
Alternatif Penyelesaian
a Rumus fungsi komposisi g◦f ◦ hx dan g ◦ f ◦ hx
i Misalkan kx = f ◦ hx
kx = f hx
= 2hx – 1 = 22x – 3 – 1
= 4x – 6 – 1 = 4x – 7
g ◦ f ◦ hx = g ◦ kx
= gkx
= 4kx + 5 = 44x – 7 + 5
= 16x – 28 +5 = 16x – 23
Jadi fungsi komposisi g ◦ f ◦ hx = 16x – 23
ii Misalkan lx = g ◦ fx
lx= gfx = 4fx + 5
= 42x – 1 + 5 = 8x – 4 + 5
= 8x + 1 g ◦ f ◦ hx = l ◦ hx
= lhx
= 8hx + 1 = 82x – 3 + 1
= 16x – 24 + 1 = 16x – 23
Di unduh dari : Bukupaket.com
105
Matematika
Jadi rumus fungsi komposisi g ◦ f hx = 16x – 23.
b Rumus fungsi komposisi f ◦g ◦ h dan f ◦ g h
i Misalkan mx = g ◦ hx
mx = ghx = 4hx + 5 = 42x – 3 + 5
= 8x – 12 + 5 = 8x – 7
f ◦ g ◦ hx =
f ◦ mx =
fmx = 2mx – 1
= 28x – 7 – 1 = 16x – 14 – 1
= 16x – 15 Jadi rumus fungsi komposisi
f ◦ g ◦ hx = 16x – 15 ii Misalkan nx =
f ◦ gx nx
= fgx = 24x + 5 – 1
= 8x + 10 – 1 = 8x + 9
f ◦ g◦hx =
n ◦ hx =
nhx = 8hx + 9
= 82x – 3 + 9 = 16x – 24 + 9
= 16x – 15 Jadi rumus fungsi komposisi
f ◦ g ◦ hx = 16x – 15 iii Dari butir a dan butir b, diperoleh nilai
i g ◦ f ◦ hx = 16x – 23 dan g ◦ f ◦ hx = 16x – 23
ii f ◦ g ◦ hx = 16x – 15 dan f ◦ g ◦ hx = 16x – 15
Berdasarkan nilai -nilai ini disimpulkan bahwa
i g ◦ f ◦ hx = g ◦ f ◦ hx = 16x – 23
ii f ◦ g ◦ hx = f ◦ g ◦ hx = 16x – 15
Di unduh dari : Bukupaket.com
106
Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1
Sifat 3.1
Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika R
h
∩
D
g
≠ Ø; R
g
∩
D
f
≠ Ø; maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu;
f
◦
g
◦
h = f
◦
g
◦
h
Contoh 3.6
Diketahui fungsi f: R→R dengan fx = 5x – 7 dan fungsi I: R→R dengan Ix = x. a Rumus fungsi komposisi
f ◦ I dan I ◦ f. b Selidikilah apakah
f ◦ I = I ◦ f = f.
Alternatif Penyelesaian
a Rumus fungsi komposisi f ◦ I dan I ◦ f
f ◦ Ix = fIx
= fx
= 5x – 7 I ◦ fx =
Ifx =
Ifx = 5x – 7
a Berdasarkan hasil -hasil pada butir a di atas disimpulkan bahwa: f ◦ I = I ◦ f = f
Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.6 kita peroleh sifat berikut.
Sifat 3.2
Diketahui f suatu fungsi dan I merupakan fungsi identitas. Jika R
i
∩
D
f
≠ Ø maka terdapat sebuah fungsi identitas yaitu: I x = x, sehingga berlaku sifat identitas,
yaitu; f ◦ I = I ◦ f = f
Agar kamu lebih memahami sifat 3.2, selesaikanlah latihan berikut.
Latihan Diketahui fungsi f: R→R dengan fx = 5x – 7 dan fungsi identitas I: R→R dengan
Ix = x. Buktikanlah bawah f ◦ I = I ◦ f = f .
Di unduh dari : Bukupaket.com
107
Matematika
Uji Kompetensi 3.1
1. Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas
setengah jadi, dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah jadi
dengan mengikuti fungsi f x = 0,7x + 10 dan pada mesin II terdapat bahan campuran lain sehingga mengikuti fungsi g x = 0,02x
2
+ 12x, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton.
a Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? kertas dalam satuan ton.
b Jika bahan setengah jadi untuk kertas yang dihasilkan oleh mesin I sebesar 110 ton, berapa ton kah kayu yang sudah terpakai? Berapa banyak kertas
yang dihasilkan? 2. Diketahui fungsi fx =
x x
− 3 , x
≠ 0 dan gx = x
2
9 − . Tentukan
rumus fungsi berikut bila terdeinisi dan tentukan daerah asal dan daerah hasilnya. a f + gx
b f – gx c f × g x
d f
g x
3. Misalkan f fungsi yang memenuhi untuk f
x x
f x
x 1
1 2
+
− =
setiap x
≠ 0. Tentukanlah nilai f2.
4. Diketahui fungsi f: R→R dengan fx = x
Kategori