H. A l e h Maryunis - Pengetahuan Awal Matematika Sekolah - Universitas Negeri Padang Repository
PENCETAHUAN AWAL MATEMATMA SEKOLAH
Oleh:
Dr. H. A l e h Maryunis
JURUSAN PENDIDIKAN M ATEM ATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA D A N
ILMU PENGETAHUAN ALAM
PADANG
1998
PENGETAWAN AWAL M A m T I K A SEKOLAE
oleh :
Dr. ALEKS MARYUNIS
Jurusan Pendidikan M'atematika FPMIPA IKIP Padang
1998
PENGETAHUAN A'A.4L blATEM_4TIKA SEKOLAH
o l e h : Dr. Aleks Maryunis
Berbagai t e o r i b e l a j a r yang men j e l a s k a n bagamana p r o s e s b e l a j a r t e r j a d i pada d i r i siswa, s e p e r t i Teo-
r i Pemrosesan I n f ormasi, T e o r i K o n s t r u k t i v i s , a t a u Teor i Bela j a r Bermakna, menekankan pentingnya peranan pengetahuan awal dalam p r o s e s b e l a j a r .
T e o r i Pemrosesan I n f o r m a s i (Kein, 1997; Leahey
dan H a r r i s ' , 1997) n e n j e l a s k a n bahwa p r o s e s b e r p i k i r
a k t u a l yang t e r j a d i dalam memori jangka pendek, d i s a w
t i n g t e r g a n t u n g kepada i n f o r m a s i a t a u masalah 'yang d i h a d a p i , juga s a n g a t t e r g a n t u n g kepada t e r s e d i a n y a pengetahuan a t a u skemata. Pada memori jangka pendek t e r j a d i p r o s e s k o n t r o l berupa p e n s l a n g a n dan penyandian,
Pengulangan menungkinkan i n f o r m a s i i t u t e t a p h i d u p dalam memori jangka pendek, dan dengan penyandian t e r j a d i p r o s e s penyatuan i n f o r m a s i yang baru d i t e r i m a dengan pengetahuan awal yang t e r s e d i a .
T e o r i K o n s t r u k t i v i s (NCTM, 1992; D r i s c o l l , 1994)
mengemuk,akan bahwa siswa s e n d i r i l a h yang sebenarnya b e r tanggungjawab mengkonstruksi p e n g e r t i a n mengenai konsep
yang sedang d i p e l a j a r i n y a .
Pembentukan konsep t e r s e b u t
akan s a n g a t d i t e n t u k a n o l e h pengetahuan awal yang dimil i k i siswa.
1
Eegitu p u l a d a r i T e o r i Eklajar Bermakna yang d i k e
mukakan o l e h Ausubel (1985) d a p a t d i k e t a h u i bahwa b e l a j a r
akan bermakna a p a b i l a i n f o r m a s i bahan pengajaran baru dap a t t e r k a i t dengan s t r u k t u r k o g n i t i f a t a u penge tahuan
awal s i s w a .
Walaupun peranan pengetahuan awal t e r s e b u t t e l a h
d i s a d a r i keutamaannya o l e h p a r a guru matematika, namun
masih s e r i n g timbul pertanyaan t e n t a n g pengetahuan awal
mana yang dianggap menjadi pengetahu-an awal s u a t u t o p i k
m a t e m a t i k a t e r t e n t u . S e p e r t i m i s a l n y a timbul pertanyaan,
pengetahuan m a n a yang menjadi pengetahuan a w a l u n t u k me*
p e l a j a r i fungsi kuadrat
, matriks,
l o g i k a matematika, d m
sebagainya.
Berdasarkan hal-ha1 t e r s e b u t d i a t a s , n d - a l a h i n i
ak=m berusaha mengungkapkan dan nembahas a p a yang menja-
d i pengetahuan awal b a g i matematika s e k o l a h yang t e r d i r i
a t a s subbidang s t u d i a r i t m e t i k a , a 1j a b a r ,
geometri, dan
k a l k u l u s . Untuk- maksud i t u , akan d i u r a i k a n p e n g e r t i a n
s i s t e m matematika, matematika s e k o l a h , pengetahuan awal
untuk masing-masing subbidang s t u d i matematika s e k o l a h ,
pengetahuan awal dan pemecahan masalah, s e r t a p r o s e s
akomodasi s e b a g a i pengembangan penge tahuan awal
.
P e t e r s o n (1974) mengemukakan bahwa s u a t u s i s t e m
mat,ematika d i b e n t u k o l e h t i g a komponen utama, y 3 i t u :
a. himpunan,
b, r e l a s i , dan
C.
operasi.
Himpunan merupakan sekelompok obyek ( b a i k konk-
r i t maupun a b s t r a k ) yang m e m i l i k i c i r i - c i r i t e r t e n t u ,
Obyek-obyek t e r s e b u t s e p e r t i m i s a l n y a i d e a t a u h a s i l
pengamatan d a p a t m e n j a d i a n g g o t a a t a u u n s u r sebuah himpunan t e r t e n t u .
R e l a s i a d a l a h b e n t u k hubungan yang t e r d a p a t a n -
tara anggota-anggota a t a u unsur-unsur himpunan t e r s e b u t , Persamaan, p e r tidaksamaan, s i m e t r i , dan ekuivalen-
s i , merupakan b e b e r a p a c o n t o h r e l a s i .
Antara
3 dan 4
t e r d a p a t r e l a s i 3 kurang d a r i 4, a t a u 4 l e b i h d a r i 3 ,
O p e r a s i merupakan m a n i p u l a s i a p a yang d a p a t d i lakukan t e r h a d a p anggota-anggota a t a u unsur-unsur sebua h himpunan, Penjumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n , dan
pembagian merupakan beberapa c o n t o h o p e r a s i .
dan
-
Antara 7
5 misalnya, dapat dilakukan o p e r a s i :
a . penjumlahan : 7 +
b, pengurangan : 7
c. p e r k a l i a n
5
-5
: 7 x
5
d . pemhagian
M ATEM ATIKA' :SEKOLkH
Matematika s e k o l a h a d a l a h b i d a n g s t u d i matematik a yang d i a j a r k a n d i s ekolah-sekolah,
Topik-topik y a x
d i a jarkan diambil d a r i kurikulum yang t e l a h d i t e t a p k a n .
Matematika yang d i a j a r k a n d i sekolah-sekolah t e r d i r i a t a s empat subbidang s t u d i matematika, y a i t u : a r i t n e t i k a , a l j a b a r , g e o a e t r i , dan k a l k u l u s .
a, Aritmetika
Aritmetika d i k e n a l juga dengan nama b e r h i t u n g .
Subbidang s t u d i matematika i n i t e l a h d i a jarkan s e j a k sekolah d a s a r (SD).
Unsur-unsur utama a r i t m e t i k a a d a l a h b i l a n g a n bilangan a s l i yang d i s e b u t juga b i l a n g a n b u l a t p o s i t i f .
Bilangan-bilangan a s l i i n i digunakan untuk menghitung banyaknya benda a t a u obyek s e p e r t i orang, mobil, pohon ka.-.
yu, dan sebagainya. Dengan menambahkan bilangan n o l , mak a himpunan bilangan a s l i i n i d i p e r l u a s menjadi himpunan
bilangan cacah. Begitu s e t e r u s n y a dengan menambahkan bert u r u t - t u r u t bilangan b u l a t n e g a t i f , b i l a n g a n pecah, b i langan i r r a s i o n a l , dan bilangan k h a y a l ; maka b e r t u r u t t u r u t d i p e r o l e h himpunan bilangan b u l a t , himpunan bilanga n r a s i o n a l , himpunan bilangan r e a l , dan himpunan bilanga n kompleks.
R e l a s i utama pada a r i t m e t i k a a d a l a h r e l a s i :
a ) sama dengan,
b ) l e b i h d a r i , dan
c ) kurang d a r i .
O p e r a s i - o p e r a s i d a s a r pada a r i t m e t i k a a d a l a h :
a ) pen jumlahan
,
b) pengurangan,
c ) p e r k a l i a n , dan
d ) pembagian
Dalam banyak h a 1 t e r d a p a t persamaan a n t a r a a l j a b a r
dan a r i t m e t i k a , Perbedaan a n t a r a keduanya a d a l a h j i k a pada a r i t m e t i k a hanya b i l a n g a n - b i l a n g a n t e r t e n t u yang dioper a s i k a n , maka pada a l j a b a r di samping b i l a n g a n - b i l a n g a n
t e r t e n t u d i o p e r a s i k a n juga unsur-unsur berupa lambanglambang yang menyatakan bilangan.
S e c a r a umum obyek-obyek a l j a b a r d i s e b u t bentuk-bent u k a l j a b a r . Sebuah b e n t u k a l j a b a r d a p a t merupakan :
3 , 1 0 , 3 , dan sebagai-
a ) bilzngan t e r t e n t u , s e p e r t i : 2,
b ) sebuah lambang h u r u f , s e p e r t i : a , b, x , y ,
c ) kombinasi a n t a r a b i l a n g a n t e r t e n t u dan lambang h u r u f ,
s e p e r t i : 2 + a , ' a + b, x + 1, t
nya
.
2
- 5t + 6,
dan sebagai-
R e l a s i - r e l a s i utama pada a l j a b a r a d a l a h :
2
a ) persamaan, s e p e r t i : 3x + 1 = 1 0 , x
4 = 0 , dan se-
-
bagainya,
b ) pertidaksamaan, s e p e r t i :
sebagainya
3x + 1
10,
y
-1
5,
dan
, dan
c ) r e l a s i f u n g s i yang d i n y a t a k a n d a l a m bentuk persamaan
seperti : y = f(x),
y = f(x-1),
d m sebagainya,
S e p e r t i h a l n y a dengan a r i t m e t i k a , o p e r a s i - o p e r a s i
d a s a r pada a l j a b a r a d a l a h :
a ) pen jumlahan,
b ) pengurangan,
c ) perk31ican, d m
d ) peabagian
D i samping obyek-obyek b e r u p a bentuk-bentuk a l j a b a r , obyek-obyek utama pada g e o m e t r i a d a l a h t i t i k dan ga-
ris (Moise dan Downs, 1964; Bernkopf, 1975). Sebuah t i t i k t i d a k m e m i l i k i ukuran s e p e r t i panjang a t a u l e b a r . Sebuah t i t i k hanya menyatakan sebuah p o s i s i .
Begitu pula
dengan sebuah g a r i s , t i d a k m e m i l i k i ukuran s e l a i n ukuran
panjang.
S e c a r a a b s t r a k d i n y a t a k a n bahwa t i t i k dan g a r i s
hanya ada s e b a g a i i d e .
R e l a s i - r e l a s i pada g e o m e t r i yang banyak dikemuka-
. kan
dalam matematika s e k o l a h a d a l a h :
a ) r e l a s i - r e l a s i pada a r i t m e t i k a dan a l j a b a r ,
b) berimpitan,
c ) bersilangm,
d) s e j a j a r ,
e ) bersilangan,
f ) berpotongan,
g ) sebangun,
h ) sama dan sebangun,
O p e r a s i - o p e r a s i d a s a r g e o m e t r i yang banyak d i kemukakan dalam matematika s e k o l a h a d a l a h :
a ) o p e r a s i - o p e r a s i d a s a r yang b e r l a k u pada a r i t m e t i k a
dan a1j a b a r ,
b) d i l a t a s i ,
c) translasi,
d ) r o t a s i , dan
e ) transformasi.,
Obyek-obyek,
relasi-relasi,
dan o p e r a s i - o p e r a s i
yang t e r d a p a t pada a r i t m e t i k a , a l j a b a r , dan g e o m e t r i ,
juga t e r d a p a t dalam k a l k u l u s , F u n g s i - f u n g s i s e p e r t i
y = f ( x ) , y = (u,v),
dan s e b a g a i n y a , merupakan obyek-
obyek utama d a r i k a l k u l u s .
D i samping o p e r a s i - o p e r a s i d a s a r yang t e r d a p a t
pada a r i t m e t i k a , a l j a b a r , dan g e o m e t r i , o p e r a s i - o p e r a -
s i yang men j a d i c i r i utama k a l k u l u s a d a l a h :
a ) p e n d i f e r e n s i a l a n , dan
b) pengintegralan ,
Kedua o p e r a s i ini memegang p e r a n a n yang s a n g a t p e n t i n g
b a i k dalam matematika murni maupun dalam matematika terapan.
Dalam mekanika m i s a l n y a , j a r a k yang ditempuh
o l e h sebuah obyek yang b e r g e r a k d i t e n t u k a n o l e h kecep a t a n dan waktu, y a i t u j i k a v a r i b e l - v a r i a b e l
lainnya
dianggap k o n s t a n , J i k a kecepatam mengalami perubahan
s e t i a p s a a t , makn p e r h i t u n g a n d i l a k u k a n dengan menggunakan k a l k u l u s ,
4. PENGETWAN A W A L
Pengetahuan awal merupakan pengetahuan yang s u dah ada dalam memori jangka p a n j a n g s e s e o r a n g . Pengetahuan awal ini juga s e r i n g d i s e b u t skema, s t r u k t u r kogn i t i f , a t a u l a n d a s d a t a (Bower dan EEilgard, 1986; Reyn o l d dan Flagg, 1 9 8 3 ; L e f r a n c o i s , 1 9 9 5 ) .
Leahey dan Harris (1985, 1 9 9 7 ) mengemukakan bah.w a gagasan awal d a r i pengetahuan awal a t a u skema i n i
t e l a h dikemukakan s e j a k n a s a a h l i f i l s a f a t Immanuel
Kant dan a h l i f i s i o l o g i S i r F r e d e r i c k B a r t l e t t yang menyatakan bahwa k o n s e p hanya m e m i l i k i a r t i b a g i s e s e orang j i k a konsep i t u d a p a t dihubungkan dengan pengetahuan awal yang t e l a h d i m i l i k i n y a ,
Pengetahuan awal a t a u skema merupakan s a t u a n da-
sar u n t u k m e r e p r e s e n t a s i k a n pengetahuan. Obyek i n d i v i d u a l , p e r i s t i w a , a t a u i d e a b s t r a k d i r e p r e s e n t a s i k a n dal a m memori dalam b e n t u k skema (Eysenc, 1984; Hergenhahn
dan Oslon, 1 9 9 7 ) . Dengan demikian pengetahuan lawal a t a u
skema merupakan bangunan p e n g e r t i a n m e n t a l s e s e o r a n g
t e n t a n g apa-apa y a n g pernah d i a l a m i a t a u d i p e l a j a r i n y a ,
Misalnya konsep t e n t a n g k e c e p a t a n ( v ) , waktu ( t ) , dan
j a r a k yang ditempuh ( s ) pada s u a t u g e r a k p e r j a l a n a n
--
yang b e r A t u r a n , d a p n t t e r s i m p a n s e c a r a t e r p i s a h l e p a s
s a t u sama l a i n , a t a u dalam hubungan bahwa j a r a k yang ditempuh sama dengan k e c e p a t a n d i k a l i waktu ( s = v . t ) ,
w
v
s
-
dalnm waktu t
B e g i t u p u l a pada k o n s e p t e n t a n g a l a s ( a ) , t i n g g i ( t ) ,
dan l u a s s e g i t i g a ( L ) d a p a t t e r s i m p a n s e b a g a i p e n g e t a huan awal s e c a r a t e r p i s a h - p i s a h
l e p a s s a t u sama k i n ,
a t a u t e r s i m p a n dalam bentuk hubungan bahwal l u a s sebua h s e g i t i g a sama dengan s e t e n g a h p a n j a n g a l a s d i k a l i
t i n g g i (L = 3 a t ) .
D a r i kedua c o n t o h d i a t a s d a p a t d i n y a t a k a n bahwa
pada c o n t o h pertama, konsep k e c e p a t a n ( v ) dan waktu ( t )
d a p a t dipandang s e b a g a i d i r i n y a s e n d i r i a t a u s e b a g a i
komponen d a r i k o n s e p j a r a k yang ditempuh ( s = v t ) .
Begi-
t u p u l a pada c o n t o h kedua, a l a s ( a ) dan t i n g g i (t) dap a t dipandang s e c a r a t e r p i s a h - p i s a h ,
a t a u dipandang s e -
b a g a i komponen l u a s s e g i t i g a ( L = 3 a t ) .
Skemp (1981) mengemukakan adanya k o n s e p o r d o l e b i h t i n g g i dan konsep ordo l e b i h rendah. Konsep j a r a k
yang ditempuh ( s = v t ) m e m i l i k i ordo yang l e b i h t i n g g i
d a r i p a d a konsep k e c e p a t a n ( v ) dan waktu ( t ) , B e g i t u pul a konsep l u a s s e g i t i g a (L = + a t ) m e m i l i k i ordo yang l e b i h t i n g g i d a r i p a d a konsep a l a s ( a ) dsn t i n g g i ( t ) ,
Oleh k a r e n a i t u s e p e r t i dikemukakan s e l a n j u t n y a
o l e h Skemp ( l 9 8 1 ) , j i k a s e s e o r a n g akan m e m p e l a j a r i
sebuzih konsep matematika, maka d i a t e r l e b i h d a h u l u har u s m e m i l i k i pengetahuan awal yang l e b i h rendah yang merupakan komponen konsep matematika yang a k m d i p e l a j a r i
itu,
D i s m p i n g i t u d i a juga h a r u s m e m i l i k i pengetahu-
a n awal t e n t a n g n o t a s i dan o p e r a s i - o p e r a s i yang d i p e r l u kan s e r t a segenap a t u r a n - a t u r a n a t a u p r o s e d u r - p r o s e d u r
p e n g e r j a a n h i t u n g . S e l a i n i t u d i p e r l u k a n p u l a pengetahua n mengenai teorema-teorema a t a u rumus-rumus yang menyat a k a n r e l a s i yang t e r d a p a t dalam s i s t e m m a t e n a t i k a t e r tentu,
5
PENGETAHUAN A1.UAL MATEN A T I K h SEKOLAH
D a l a m b e l a j a r matematika d i s e k o l a h , pengetahuan
awal matematika s e k o l a h yang d i m i l i k i siswa t e r d i r i atas
penge t a h u a n b e r b a g a i s a t u a n b a h a s a n s u b b i d a n g s t u d i mat e m a t i k a yang t e l a h d i p e l a j a r i n y a , J i k a d i l i h a t d a r i banyaknya s a t u a n bahasan s e t i a p s u b b i d a n g s t u d i matematik a t e r s e b u t yang t e l a h d i p e l a j a r i s i s w a d a r i SD, k e l i h a t a n s e o l a h - o l a h pengetahuan awal matematika t e r s e b u t
s a n g a t banyak dan s a n g a t b e r a n e k a ragam,
Namun j i k a d i l i h a t d a r i k o n s e p s i matematika sebag a i s u a t u s i s t e m , maka pengetahuan awal matematika t e r s e b u t u n t u k s e t i a p s u b b i d a n g s t u d i d a p a t dikelompokkan
k e dalam :
a ) pengetahuan awal t e n t a n g himpunan obyek matematika,
b ) pengetahuan awal t e n t a n g r e l a s i a n t a r a obyek-obyek
11
himpunan matematika t e r s e b u t , dan
c ) pengetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i - o p e r a s i yang d a p a t
dilakukan a n t a r a obyek-obyek himpunan matematika
tersebut.
I
Obyek-obyek a t a u unsur-unsur himpunan matematika
s e p e r t i bilangan-bilangan
t e r t e n t u , huruf-huruf,
maupun
b e r b a g a i bentuk a l j a b a r l a i n n y a d a p a t d i j u m p a i pada s e t i a p s i s t e m matematika. B e g i t u p u l a r e l a s i - r e l a s i s e p e r -
t i persamaan dan pertidaksamaan, s e r t a o p e r a s i - o p e r a s i
s e p e r t i penjumlahan dan p e r k a l i a n , d s p a t d i j u m p a i pada
s e t i a p s i s t e m matematika.
Berdasarkan u r a i a n d i a t a s d a p a t d i n y a t a k a n bahvia himpunan, r e l a s i , dan o p e r a s i yang mendasar ini merupakan pengetahuan awal yang p e n t i n g dalzm b e l a j a r rnat e n a t i k a s e k o l a h . Pengetahuan awal t e r s e b u t b e r f u n g s i
I
s e b a g a i pengetahuan p r a s y a r a t yang s a n g a t b e r p e r a n dal a m menentukan k e s i a p n b e l a j a r siswa.
I
.
Sebagai i l u s t r a s i m i s a l n y a siswa-siswa SLTP d i m i n t a menjawab a t a u n e n y e l e s a i k a n berapakah 18
I
-
(3-4) ?
Ada beberapa kernungkinan jawaban yang akan d i b e r i k a n
siswa-siswa SLTP t e r s e b u t , y a i t u :
(a) 18
-
(3
- 4)
= t i d a k t a h u k a r e n a t i d a k m e m i l i k i pe-
ngetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i dan u r u t a n p e n g e r j a an h i t u n g . Atau s e p e r t i kebanyakan siswa yang tidak m e m i l i k i d a s a r pengetahuan akan menjawab misalnya s e p e r t i : 18
-
(3
- 4)
= 18
+
7 = 25
( b ) 18
-
(3
-
4 ) = 11, dalam h a 1 i n i siswa mengabaikan
t a n d a kurung, a t a u k a r e n a t i d a k m e m i l i k i pengetahuan
awal t e n t a n g k o n s e k u e n s i menghilangkan t a n d a kurung
t e r h a d a p perubahan t a n d a b i l a n g a n p o s i t i f a t a u negat i f . J a d i siswa mengerjakan o p e r a s i 18
p e r t i mengerjakan 18
( c ) 18
- ( 3 - 4)
-
(3
-
4) se
- 3 - 4 = 11.
= 17, dalam h a 1 i n i siswa mengetahui
u r u t a n penger j a a n h i t u n g y a i t u n e n g e r j a k a n yang d i
dalam t a n d a kurung t e r l e b i h d a h u l u y a i t u
3
-4
,
= -1
t e t a p i s i s w a t e r s e b u t t i d a k mengetahui k o n s e k u e n s i
menghilangkan t a n d a kurung t e r h a d a p perubahan t a n d a
n e g a t i f a t a u p o s i t i f . Siswa t e r s e b u t mengerjakan ope-
rasi 18
-
(3
-
4) = 18
- 1 = 17
( d ) Siswa-siswa yang menguasai o p e r a s i - o p e r a s i d a s a r dan
u r u t a n penger j a a n h i t u n g akan menger jakan s e p e r t i berikut :
18
-
(3
-
4 ) = 18
.
-
(-1)
= 1 8 + 1
= 19
S e b a g a i i l u s t r a s i l a i n m i s a l n y a s e o r a n g siswa SMU
d i m i n t a menyelesaikan berapakah
5 3
?
Untuk d a p a t men ja-
wab p e r t a n y a a n i n i , pertama-tama s i s w a SMU t e r s e b u t h a r u s
m e m i l i k i pengetahuan awal mengenai konsep b i l a n g a n b e r pangkat n e g a t i f yang d i d e f i n i s i k a n dengan :
S e t e l a h p e n g e r t i a n k o n s e p b i l a n g a n b e r p a n g k a t n e g a t i f dii n g a t n y a k e m b a l i , maka b u t i r - b u t i r
5' = 5.5.5,
dan
pengetahuan
seperti
5 x 5 x 5 = 1 2 5 yang pernah d i p e l z r i n y a
d i S D maupun SLTP h a r u s d a p a t d i p a n g g i l n y a k e m b a l i d a r i
memori jangka panjangnya. J i k a pemanggilan k e m b a l i t e r h dap pengetahuan awal i n i g a g a l , maka s i s w a t e r s e b u t tidak d a p a t memberikan r e s p o n s yang b e n a r t e r h a d a p s t i m u l u s yang d i t e r i m a n y a y a i t u berapakah
5-3. J i k a d i l i h a t
d a r i konsep o r d o yang l e b i h t i n g g i dan o r d o yang l e b i h
r e n d a h , maka ordonya d a p a t d i l i h a t pada diagram b e r i k u t :
TINGGI
REND AH
5 x 5 ~ 5= 9
........ o r d o 1
Contoh l a i n m i s a l n y a pada p e n y e l e s a i a n persamaan
k u a d r a t : x2
- 5x
+ 4 = 0 akan d i t e n t u k a n h a r g a - h a r g a x
mana yang memenuhi persamaan k u a d r a t t e r s e b u t . ~ i dua
a
h a r g a x, y a i t u xl dan x2 yang d i h i t u n g dengan menggunakm
s e t e l a h melakukan s u b s t i t u s i n i l a i a = 1, b =
C
= 3, maka d i p e r o l e h :
v
-5,
dan
Agar d a p a t menentukan b e r a p a b e s a r n y a h a r g a xl
dan x2 dengan b e n a r d i p e r l u k a n d a s a r - d a s a r pengetahuan
awal yang a n t a r a l a i n n e l i p u t i :
a ) o p e r a s i pen jumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n , dan pembagian,
b ) s i s t e m b i l a n g a n b u l a t ( y a n g mengandung b i l a n g a n b u l a t
p o s i t i f dan n e g a t i f ,
c ) b i l a n g a n r a s i o n a l (yang mengandung b i l a n g a n p e c a h a n ) ,
d ) b i l a n g a n i r r a s i o n a l ( b e n t u k a k a r ) , dan
e ) urutan pengerjaan hitung.
J i k a d i t e r u s k a n dengan c ontoh-c ontoh pemecahan so-
a1 matematika yang l e b i h t i n g g i , maka akan d a p a t d i k e t a h u i bahwa pengetahuan awal yang d i p e r l u k a n s e b a g a i pengetahuan p r a s y a r a t akan semakin banyak, Hal i n i memperjelas
h a k i k a t matematika yang b e r s i f a t h i r a r k i s , s e r t a mengapa
matematika i t u semakin t e r a s a s u k a r j i k a d a s a r - d a s a r pengetahuan awal t i d a k banyak yang d i k u a s a i .
6 , PENGETAHUAN
AW-AL DAN PEMECAHAN MASALAH
Dua c o n t o h yang dikemukakan sebelumnya pada kons e p ordo yang l e b i h t i n g g i dan o r d o y a n g l e b i h r e n d a h unmengenai j a r a k yang ditempuh s e r t a l u a s s g i t i g a , s e r t a
s o a l - s o a l : berapakah
5-3
?
, berapakah
s e r t a p e n y e l e s a i a n persamaan k u a d r a t
2
x
18
-
- ( 3 - 4)
?.:,
5x + 4 = 0 ;
keaemuanya- 1Cu merupak-an c ontoh-contoh k e g i a t a n b e r p i k i r
dalam matematika yang d i s e b u t pemecahan masalah,
Wickelgren
(1974) mengemukakan bahv~a sebuah masalah d i -
susun o l e h t i g a j e n i s i n f o r m a s i yang nencakup :
a. i n f o r m a s i mengenai a p a yang d i k e t a h u i t e n t a n g masalah
,
b, i n f o r m a s i mengenai t i n d a k a n - t i n d a k a n
(operasi-opera-
s i ) yang h a r u s d i l a k u k a n , dan
c , i n f o r m a s i t e n t a n g t u j u a n a p a y a n g h a r u s d i c a p a i pada pemecahan masalah t e r s e b u t ,
S e b a g a i c o n t o h m i s a l n y a : Berapakah
a. I n f o r m a s i me
ngenai apa
yang d i k e t a h u i
t e n t a n g masa-
GI/
I
Berapakah
I
U
I\
Bentuk pen jumlahan
b i l a n g a n pecahan
1
lah,
b. I n f o r m a s i t e n - 9 S a m a k a n genyebut
kedua pecahan dan
tang tindakan
l a k u k a n pen jum.pa yang ,,,us
dilakukan
lahan
4/
c, Informasi tentang tujuan
pemecahan m a salah :
h a s i l penjumlahan
t
Pada masalah i n i , i n f o r m a s i t e n t a n g t i n d a k a n apa
yang h a r u s d i l a k u k a n mempersyaratkan pemanggilan kembali i n f o r m a s i mengenai pengetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i
penjumlahan dan p r o s e d u r menyamakan penyebut pecahan,
Contoh b e r i k u t n y a : S e l e s a i k a n l a h
2x + 4 = 16
a. I n f o r m a s i mengenai apa
yang d i k e t a h u i
t e n t a n g rnasa-
p-(
lab
S e l e s a i k a n l a h 3b, I n f o r m a s i t e n tang tindakan
2x + 4 = 1 6
a p a yang h a r u s
dilakukan
+ Persamaan
li-
near :
2x +
4 = 16
+ Pindahkan
angka 4 ke r u a s
kanan :
Bagi masingmasing r u a s
dengan 2 :
4'
6.
Pada contoh d i a t a s
Informasi tentang tujuan
pemecahan masalah :
d i p e r l u k a n pengetahuan a w a l t e n -
t a n g a r t i k a t a s e l e s a i k a n l a h , Yang dimaksud dengan pen y e l e s a i a n sebuah persamaan dengan v a r i a b e l x a d a l a h
menentukan n i l a i v a r i a b e l x t e r s e b u t . J u g a d i p e r l u k a n
pengetahuan awal t e n s a n g s i f a t - s i f a t o p e r a s i pada s e buah persamaan y a i t u bahwa : pemindahan b e n t u k a l j a b a r
d a r i r u a s k i r i k e r u a s kanan a t a u s e b a l i k n y a akan me-
ngubah t a n d a b e n t u k a l j a b a r t e r s e b u t , b e g i t u p u l a
t e r d a p a t k e t e n t u a n bahwa sebuah persamaan t i d a k berubah
harganya a p a b i l a kedua r u a s persamaan t e r s e b u t d i b a g i
dengan bentuk a1j a b a r yang sama.
D a r i kedua c o n t o h t e r s e b u t d i a t a s d a p a t d i k e t a h u i bahwa u n t u k memecahkan sebuah masalah matematika d i p e r l u k a n pengetahuan awal u n t u k :
a . menafsirkan a p a yang d i k e t a h u i dan apa yang m e n j a d i
t u j u a n pemecahan masalah, dalam h a 1 i n i s a n g a t d i p e r l u k a n kemampuan u n t u k menerjemahkm. pernyataan-pernyat a a n v e r b a l yang t e r d a p a t dalam sebuah masalah ke da-
l a m b e n t u k model-model matematika,
b. melakukan m a n i p u l a s i t e r h a d a p a p a yang d i k e t a h u i d a r i
masalah, y a i t u berupa a t u r a n - a t u r a n o p e r a s i a t a u pen g e r j a a n h i t u n g , s i f a t - s i f a t a t a u runus-runus dan s e bagainya.
Dengan p e r k a t a a n l a i n d a p a t d i k a t a k a n bahwa inf o r m a s i mengenai a p a yang d i k e t a h u i t e n t a n g masalah s e c a r a l a n g s u n g akan d a p a t d i k e t a h u i a p a b i l a dalam masalah
t e r s e b u t s e c a r a j e l a s t e l a h d i n y a t a k a n bentuk a l j a b a r
a t a u r e l a s i yang h a r u s d i s e l e s a i k a n . S e l a i n i t u , j i k a
masalah t e r s e b u t masih dalam b e n t u k p e r n y a t a a n v e r b a l ,
maka ungkapan v e r b a l t e r s e b u t h a r u s d i t e r j e m a h k a n t e r l e -
b i h dahulu k e dalam b e n t u k a l j a b a r a t a u r e l a s i a n t a r a
bentuk-bentuk a l j a b a r yang b i a s a n y a d i n y a t a k a n dalam model-model matematika berbentuk persamaan a t a u p e r t i d a k samaan
.
S e b a g a i contoh m i s a l n y a p e r h a t i k a n l a h p e r s o a l a n b e r i k u t :
Seorang ayah membelan jakan uangnya sebanyak
kemudian sisa uangnya dibagikannya
kepada k e t i g a a n a h y a , Jika masing-masing
anaknya memperoleh F$ 400,- b e r a p a uang a y a h
semula ?
4 5.000,-
Model matematika yang d i p e r l u k a n u n t u k memecahkan
masalah t e r s e b u t d i t e n t u k a n s e b a g a i b e r i k u t :
x
a , Misalkan uang ayah semula
b , S i s a uang ayah s e t e l a h d i b e l a n j a k a n F) 5.000,-
.
x
- 5000
.
x
- 5000
c. S i s a uang ayah t e r s e b u t d i bagikan kepada k e t i g a a n a k ,
s e t i a p anak memperoleh
d, Masing-masing a n a k memperoleh
400,- i n i b e r a r t i
3
= 400
e , Model matematika yang d i peroleh
*
: x
- 5000
= 1200
I n f o r m a s i t e n t a n g t i n d a k a n - t i n d a k a n yang h a r u s
d i l a k u k a n t e r h a d a p a p a yang d i k e t a h u i t e n t a n g masalah
merupakan i n f o r m a s i t e n t a n g p r o s e d u r s e r t a o p e r a s i yang
h a r u s d i l a k u k a n t e r h a d a p b e n t u k a l j s b a r a t a u rslasi an-
tara bentuk-bentuk a l j a b a r t e r s e b u t . S e l a n j u t n y a , F n f o r n a s i t e n t a n g t u j u a n pemecahm masalah d a p a t b e r u p a :
a , h a s i l operasi pen jumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n ,
d m pembagian,
b.
penentuan n i l a i s a t u a t a u l e b i h v s r i a b e l ,
c. nenentukan perbandingan,
d. melakukan pembuktian,
e m dan s e b a g a i n y a ,
~ e r d a s a r k x iu r a i a n d i atas b e r i k u t contoh-contoh yang dikemukakan, maka s e c a r a umum d a p a t dikernukak m bahwa pengetahuan t e n t a n g :
a. himpunzn obyek-objek maternatika,
b, n o t a s i , d e f i n i s i , s e r t a rumus dan teorema,
c
.
kemampuan mener jemahkan s u a t u p e r n y a t a a n v e r b a l ke
dalam bentuk model matematika,
d. kemampuan melakukan o p e r a s i (pen jumlahan,
pengurang-
a n , p e r k a l i a n , pembagian, t r a n s l a s i , r o t a s i , pendif e r e n s i a l a n , p e n g i n t e g r a l a n , dan l a i n - l a i n )
sesuai
a t u r a n p e n g e r j a a n h i t u n g t e r h a d a p obyek-obyek yang
t e r d a p a t pada s i s t e m matematika t e r t e n t u ,
e. p r o s e d u r p e n y e l e s a i a n r e l a s i matematika s e p e r t i pen y e l e s a i a n persamaan dan pertidaksamaan,
merupakan s e b a g i a n b e s a r pengetahuan awal yang d i p e r l u k a n siswa u n t u k melakukan a n a l i s i s dan s i n t e s i s t e r hadap i n f o r m a s i pengajaran matematika yang diterimanya,
7. P R O S E S AKOMODASI SEBAGAI PROSES PENGEMBANGAN
PENGETAHUAN AWAL
P r o s e s menghubungkan i n f o r m a s i baru dengan pengetahuan awal yang sudah a d a , menurut P i a g e t , d a p a t
t e r j a d i dalarn dua ben t u k y a i t u a s i m i l a s i dan akornoda-
s i (Skemp, l 9 8 1 ) , A s i m i l a s i a d a l a h penyesuaian
.
i n f o r m a s i baru dengan pengetahuan awal yang sudah ada
tanpa menimbulkan perubahan pada pengetahuan awal i t u ,
sedangkan akomodasi merupakan penyesuaian i n f o r m a s i ba-
r u dengan pengetahuan awal yang ada dengan menimbulkan
perubahan pada s t r u k t u r d a s a r pengetahuan awal.
Dalam b e l a j a r matematika d a p a t dikemukakan sebuah contoh s e b a g a i b e r i k u t
.
J i k a s e o r a n g siswa t e l a h
memiliki pengetahuan awal a t a u skema sistem bilangan
a s l i , maka uengan p r o s e s asimilasi d i a d a p a t memecahkan
masalah s e p e r t i
3
+
4 a t a u 3 x 5. Dalam melakukan peme-
cabs masalah i n i t i d a k t e r j a d i perubahan s t r u k t u r das a r skema k a r e n a pemecahan masalah n a s i h berada dalam
s i s t e m b i l a n g a n a s l i . Namun jika kemudian kepada siswa
i t u d i b e r i k a n masalah
+
3
'
sedangkan siswa t e r s e b u t
belum memiliki skema s e l a i n skema b i l a n g a n a s l i , maka
skema bilangan a s l i yang d i m i l i k i n y a t i d a k mampu mem-
2
bantu menyelesaikan masalah
1 dan
kan karena 7
5
+
4.
H a l i n i . disebab-
bukan anggota b i l a n g a n a s l i t e t a p i
nerupakan anggota b i l a n g a n r a s i o n a l ( b i l a n g a n pecahan).
Oleh karena i t u skema b i l a n g a n a s l i yang a d a dalam memori jangka pan jang p e r l u dikembangkan.
Siswa-siswa yang t i d a k b e r h a s i l mengembangkan
skema b i l a n g a n a s l i menjadi skema b i l a n g a n r a s i o n a l
1+
s e r i n g mencoba menjawab masalah 2
5
dengan c a r a :
..
Jawaban yang d i b a r i k a n siswa hi s a l a h , dan k e s a l a h a n
*
yang d i b u a t n y a a d a l a h k e s a l a h a n yang rnendasar,
Jawaban
yang b e n a r a d a l a h :
Kesalahan yang mendasar hi pada umumnya t e r j a d i
j i k a p r o s e s p e n g a j a r a n rnatematika t i d a k b e r h a s i l menge*
bangkan pengetahuan awal yang d i m i l i k i siswa.
Sebagai
s u a t u bidang s t u d i yang b e r s i f a t h i r a r k i , matematika
p e r l u d i a j a r k a n dengan menekankan p r o s e s akomodasi. J i ka ini t i d a k b e r h a s i l , maka matematika &an
semakin su-
lit d i p e l a j a r i s i s w a , dan guru akan menghadapi banyak
kesukaran dalam mengajarkan matematika.
Pengetahuan awal memegang peranan p e n t i n g dalam
p r o s e s penerimaan, pengolahan, dan penyimpanan i n f orma-
si, Pengetahuan awal i t u sudah a d a dalam memori jangka
panjang dan s e r i n g d i s e b u t s e b a g a i skema, s t r u k t u r kogn i t i f , atau landas data,
Pengetahuan awal matematika s e c a r a umum d a p a t
dipandang s e b a g a i pengetahuan b e r b a g a i subbidang s t u d i
matematika yang t e l a h d i p e l a j a r i s i s w a , S e c a r a khusus
s e s u a i dengan konsepsi..matematika s e b a g a i suatu s i s t e m
yang d i b e n t u k o l e h b e r b a g a i komponen, maka u n t u k s e t i a p
subbbidang s t u d i matematika s e k o l a h ( a r i t m e t i k a , aljab a r , g e o m e t r i , dan k a l k u l u s ) pengetahuan awal yang san g a t d i p e r l u k a n u n t u k m e m p e l a j a r i materi p e l a j a r a n baru
maupun dalam pemec,?han rnasalah matematika a d a l a h :
a , pengetahuan awal t e n t a n g himpunan matematika yang m e -
ngandung unsur-unsur utama s e p e r t i : b i l a n g a n , huruf
a t a u n o t a s i yang menyatakan b i l a n g a n , bentuk-bentuk
a l j a b a r , t i t i k dan g a r i s , d m
sebagainya.
b. pengetahuan awal t e n t a n g r e l a s i a n t a r a unsur-unsur
rnatematika, s e p e r t i : persanaan, pertidaksamaan, r e l a s i f u n g s i , kesebangunan, ke samasebangunan, dan s e bagainya.
c,
pengetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i - o p e r a s i yang d a p a t
dilakukan t e r h a d a p unsur-unsur sebuah himpunan matematika, s e p e r t i : penjumlahan, pengurangan, perkali.9a n , pembagian, d i l a t a s i , r o t a s i , t r a n s l a s i , p e n d i f e r e n s i a l a n , p e n g i n t e g r a l a n , dan
,sebagainya.
Untuk m e l a t i h mengingat dan mengaplikasikan pengetahuan awal t e r s e b u t d a p a t d i l a k u k a n m e l a l u i p r o s e s
a s i m i l a s i , namun pengembangan pengetahuan awal p e r l u dilakukan m e l a l u i p r o s e s a k o m o d a s i , - y a i t u a g a r pengetahuan
awal t e r s e b u t s e l a l u dapat d i s e s u a i k a n dengan permasal a h a n matematika yang penuh keanekaragaman.
DAFTAR
BAC A A N
Ausubel, David P, (1985) "Learning a s C o n s t r u c t i n g Meaning", Dalam New D i r e c t i n s i n Educational P s ~ c h o l o g y ,
ed, Noel E n t w i s t l e . London : The Falmer P r e s s ,
Bernkopf Michael (19'75) Mathematics. An Appreciation,
Boston : Houghton K a f f l i n Co,
Bower, Gordon H e ; H i l g a r d , E r n e s t Re (1986) T h e o r i e s of
beaming, New Delhi : P r e n t i c e H a l l of I n d i a ,
D r i s c o l l , Mercy P, (1994) Psycholom of learn in^ f o r I n s t r u c t i o n , Boston : Allyn and Bacon,
Eysenck, M c h a e l W e (1984) A Handbook of C o ~ n i t i v ePsgc h o l o a . London : Lawrence Erlbaum A s s o c i a t e s ,
Hergenhahn, B.R. ; Olson, Matthew EE, (1997) T h e o r i e s of
Learninq. Upper Saddle River, New J e r s e y : P r e n t i c e-Hal1 I n c ,
Klein, Stephen B. (1997) Learning, P r i n c i v l e s and A ~ p l i c a t i o n s , New York : McGraw-Kill Book Company.
Leahey, Thomas H e ; Harris, Richard J. (1985) Human LearnEnglewood C l i f f s , New J e r s e y : P r e n t i c e - H a l l
Inc ,
Leahey, Thomas K,; Harris, Richard J, (1997) Learninq
and Cognition. Upper Saddle River, New J e r s e y :
Prentice-Hall I n c ,
L e f r a n c o i s , Guy R. (1995) Theories of Human Learninq,
Kro's Reports.
Moise, Edwin E,; Downs, Floyd L a (19bO) Geometr~.. Don
M i l l , O n t a r i o : Addison Wesley (Canada) Limited,
NCTII (1992) C o n s t u c t i v i s t Views on t h e Teaching and Lea r n i n q , Reston, V i r g i n i a : NCTM.
P e t e r s o n , John M e (1974) Basic Concept of Elementary
Mathematics. Boston : P r i n d l e , Weber and Schmidt,
Inc
Reynolds, Allan G. ;' Flagg Pa= W. (1983) C o g n i t i v e PSYc h o l o m , Boston : ~ i t t l e ,Brown and Company.
Wickelgren, Wayne (1974) How t o Solve Problem Solving.
San F r a n s i s c o : W.H.
Freeman and Conpany.
,
a,
.
Oleh:
Dr. H. A l e h Maryunis
JURUSAN PENDIDIKAN M ATEM ATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA D A N
ILMU PENGETAHUAN ALAM
PADANG
1998
PENGETAWAN AWAL M A m T I K A SEKOLAE
oleh :
Dr. ALEKS MARYUNIS
Jurusan Pendidikan M'atematika FPMIPA IKIP Padang
1998
PENGETAHUAN A'A.4L blATEM_4TIKA SEKOLAH
o l e h : Dr. Aleks Maryunis
Berbagai t e o r i b e l a j a r yang men j e l a s k a n bagamana p r o s e s b e l a j a r t e r j a d i pada d i r i siswa, s e p e r t i Teo-
r i Pemrosesan I n f ormasi, T e o r i K o n s t r u k t i v i s , a t a u Teor i Bela j a r Bermakna, menekankan pentingnya peranan pengetahuan awal dalam p r o s e s b e l a j a r .
T e o r i Pemrosesan I n f o r m a s i (Kein, 1997; Leahey
dan H a r r i s ' , 1997) n e n j e l a s k a n bahwa p r o s e s b e r p i k i r
a k t u a l yang t e r j a d i dalam memori jangka pendek, d i s a w
t i n g t e r g a n t u n g kepada i n f o r m a s i a t a u masalah 'yang d i h a d a p i , juga s a n g a t t e r g a n t u n g kepada t e r s e d i a n y a pengetahuan a t a u skemata. Pada memori jangka pendek t e r j a d i p r o s e s k o n t r o l berupa p e n s l a n g a n dan penyandian,
Pengulangan menungkinkan i n f o r m a s i i t u t e t a p h i d u p dalam memori jangka pendek, dan dengan penyandian t e r j a d i p r o s e s penyatuan i n f o r m a s i yang baru d i t e r i m a dengan pengetahuan awal yang t e r s e d i a .
T e o r i K o n s t r u k t i v i s (NCTM, 1992; D r i s c o l l , 1994)
mengemuk,akan bahwa siswa s e n d i r i l a h yang sebenarnya b e r tanggungjawab mengkonstruksi p e n g e r t i a n mengenai konsep
yang sedang d i p e l a j a r i n y a .
Pembentukan konsep t e r s e b u t
akan s a n g a t d i t e n t u k a n o l e h pengetahuan awal yang dimil i k i siswa.
1
Eegitu p u l a d a r i T e o r i Eklajar Bermakna yang d i k e
mukakan o l e h Ausubel (1985) d a p a t d i k e t a h u i bahwa b e l a j a r
akan bermakna a p a b i l a i n f o r m a s i bahan pengajaran baru dap a t t e r k a i t dengan s t r u k t u r k o g n i t i f a t a u penge tahuan
awal s i s w a .
Walaupun peranan pengetahuan awal t e r s e b u t t e l a h
d i s a d a r i keutamaannya o l e h p a r a guru matematika, namun
masih s e r i n g timbul pertanyaan t e n t a n g pengetahuan awal
mana yang dianggap menjadi pengetahu-an awal s u a t u t o p i k
m a t e m a t i k a t e r t e n t u . S e p e r t i m i s a l n y a timbul pertanyaan,
pengetahuan m a n a yang menjadi pengetahuan a w a l u n t u k me*
p e l a j a r i fungsi kuadrat
, matriks,
l o g i k a matematika, d m
sebagainya.
Berdasarkan hal-ha1 t e r s e b u t d i a t a s , n d - a l a h i n i
ak=m berusaha mengungkapkan dan nembahas a p a yang menja-
d i pengetahuan awal b a g i matematika s e k o l a h yang t e r d i r i
a t a s subbidang s t u d i a r i t m e t i k a , a 1j a b a r ,
geometri, dan
k a l k u l u s . Untuk- maksud i t u , akan d i u r a i k a n p e n g e r t i a n
s i s t e m matematika, matematika s e k o l a h , pengetahuan awal
untuk masing-masing subbidang s t u d i matematika s e k o l a h ,
pengetahuan awal dan pemecahan masalah, s e r t a p r o s e s
akomodasi s e b a g a i pengembangan penge tahuan awal
.
P e t e r s o n (1974) mengemukakan bahwa s u a t u s i s t e m
mat,ematika d i b e n t u k o l e h t i g a komponen utama, y 3 i t u :
a. himpunan,
b, r e l a s i , dan
C.
operasi.
Himpunan merupakan sekelompok obyek ( b a i k konk-
r i t maupun a b s t r a k ) yang m e m i l i k i c i r i - c i r i t e r t e n t u ,
Obyek-obyek t e r s e b u t s e p e r t i m i s a l n y a i d e a t a u h a s i l
pengamatan d a p a t m e n j a d i a n g g o t a a t a u u n s u r sebuah himpunan t e r t e n t u .
R e l a s i a d a l a h b e n t u k hubungan yang t e r d a p a t a n -
tara anggota-anggota a t a u unsur-unsur himpunan t e r s e b u t , Persamaan, p e r tidaksamaan, s i m e t r i , dan ekuivalen-
s i , merupakan b e b e r a p a c o n t o h r e l a s i .
Antara
3 dan 4
t e r d a p a t r e l a s i 3 kurang d a r i 4, a t a u 4 l e b i h d a r i 3 ,
O p e r a s i merupakan m a n i p u l a s i a p a yang d a p a t d i lakukan t e r h a d a p anggota-anggota a t a u unsur-unsur sebua h himpunan, Penjumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n , dan
pembagian merupakan beberapa c o n t o h o p e r a s i .
dan
-
Antara 7
5 misalnya, dapat dilakukan o p e r a s i :
a . penjumlahan : 7 +
b, pengurangan : 7
c. p e r k a l i a n
5
-5
: 7 x
5
d . pemhagian
M ATEM ATIKA' :SEKOLkH
Matematika s e k o l a h a d a l a h b i d a n g s t u d i matematik a yang d i a j a r k a n d i s ekolah-sekolah,
Topik-topik y a x
d i a jarkan diambil d a r i kurikulum yang t e l a h d i t e t a p k a n .
Matematika yang d i a j a r k a n d i sekolah-sekolah t e r d i r i a t a s empat subbidang s t u d i matematika, y a i t u : a r i t n e t i k a , a l j a b a r , g e o a e t r i , dan k a l k u l u s .
a, Aritmetika
Aritmetika d i k e n a l juga dengan nama b e r h i t u n g .
Subbidang s t u d i matematika i n i t e l a h d i a jarkan s e j a k sekolah d a s a r (SD).
Unsur-unsur utama a r i t m e t i k a a d a l a h b i l a n g a n bilangan a s l i yang d i s e b u t juga b i l a n g a n b u l a t p o s i t i f .
Bilangan-bilangan a s l i i n i digunakan untuk menghitung banyaknya benda a t a u obyek s e p e r t i orang, mobil, pohon ka.-.
yu, dan sebagainya. Dengan menambahkan bilangan n o l , mak a himpunan bilangan a s l i i n i d i p e r l u a s menjadi himpunan
bilangan cacah. Begitu s e t e r u s n y a dengan menambahkan bert u r u t - t u r u t bilangan b u l a t n e g a t i f , b i l a n g a n pecah, b i langan i r r a s i o n a l , dan bilangan k h a y a l ; maka b e r t u r u t t u r u t d i p e r o l e h himpunan bilangan b u l a t , himpunan bilanga n r a s i o n a l , himpunan bilangan r e a l , dan himpunan bilanga n kompleks.
R e l a s i utama pada a r i t m e t i k a a d a l a h r e l a s i :
a ) sama dengan,
b ) l e b i h d a r i , dan
c ) kurang d a r i .
O p e r a s i - o p e r a s i d a s a r pada a r i t m e t i k a a d a l a h :
a ) pen jumlahan
,
b) pengurangan,
c ) p e r k a l i a n , dan
d ) pembagian
Dalam banyak h a 1 t e r d a p a t persamaan a n t a r a a l j a b a r
dan a r i t m e t i k a , Perbedaan a n t a r a keduanya a d a l a h j i k a pada a r i t m e t i k a hanya b i l a n g a n - b i l a n g a n t e r t e n t u yang dioper a s i k a n , maka pada a l j a b a r di samping b i l a n g a n - b i l a n g a n
t e r t e n t u d i o p e r a s i k a n juga unsur-unsur berupa lambanglambang yang menyatakan bilangan.
S e c a r a umum obyek-obyek a l j a b a r d i s e b u t bentuk-bent u k a l j a b a r . Sebuah b e n t u k a l j a b a r d a p a t merupakan :
3 , 1 0 , 3 , dan sebagai-
a ) bilzngan t e r t e n t u , s e p e r t i : 2,
b ) sebuah lambang h u r u f , s e p e r t i : a , b, x , y ,
c ) kombinasi a n t a r a b i l a n g a n t e r t e n t u dan lambang h u r u f ,
s e p e r t i : 2 + a , ' a + b, x + 1, t
nya
.
2
- 5t + 6,
dan sebagai-
R e l a s i - r e l a s i utama pada a l j a b a r a d a l a h :
2
a ) persamaan, s e p e r t i : 3x + 1 = 1 0 , x
4 = 0 , dan se-
-
bagainya,
b ) pertidaksamaan, s e p e r t i :
sebagainya
3x + 1
10,
y
-1
5,
dan
, dan
c ) r e l a s i f u n g s i yang d i n y a t a k a n d a l a m bentuk persamaan
seperti : y = f(x),
y = f(x-1),
d m sebagainya,
S e p e r t i h a l n y a dengan a r i t m e t i k a , o p e r a s i - o p e r a s i
d a s a r pada a l j a b a r a d a l a h :
a ) pen jumlahan,
b ) pengurangan,
c ) perk31ican, d m
d ) peabagian
D i samping obyek-obyek b e r u p a bentuk-bentuk a l j a b a r , obyek-obyek utama pada g e o m e t r i a d a l a h t i t i k dan ga-
ris (Moise dan Downs, 1964; Bernkopf, 1975). Sebuah t i t i k t i d a k m e m i l i k i ukuran s e p e r t i panjang a t a u l e b a r . Sebuah t i t i k hanya menyatakan sebuah p o s i s i .
Begitu pula
dengan sebuah g a r i s , t i d a k m e m i l i k i ukuran s e l a i n ukuran
panjang.
S e c a r a a b s t r a k d i n y a t a k a n bahwa t i t i k dan g a r i s
hanya ada s e b a g a i i d e .
R e l a s i - r e l a s i pada g e o m e t r i yang banyak dikemuka-
. kan
dalam matematika s e k o l a h a d a l a h :
a ) r e l a s i - r e l a s i pada a r i t m e t i k a dan a l j a b a r ,
b) berimpitan,
c ) bersilangm,
d) s e j a j a r ,
e ) bersilangan,
f ) berpotongan,
g ) sebangun,
h ) sama dan sebangun,
O p e r a s i - o p e r a s i d a s a r g e o m e t r i yang banyak d i kemukakan dalam matematika s e k o l a h a d a l a h :
a ) o p e r a s i - o p e r a s i d a s a r yang b e r l a k u pada a r i t m e t i k a
dan a1j a b a r ,
b) d i l a t a s i ,
c) translasi,
d ) r o t a s i , dan
e ) transformasi.,
Obyek-obyek,
relasi-relasi,
dan o p e r a s i - o p e r a s i
yang t e r d a p a t pada a r i t m e t i k a , a l j a b a r , dan g e o m e t r i ,
juga t e r d a p a t dalam k a l k u l u s , F u n g s i - f u n g s i s e p e r t i
y = f ( x ) , y = (u,v),
dan s e b a g a i n y a , merupakan obyek-
obyek utama d a r i k a l k u l u s .
D i samping o p e r a s i - o p e r a s i d a s a r yang t e r d a p a t
pada a r i t m e t i k a , a l j a b a r , dan g e o m e t r i , o p e r a s i - o p e r a -
s i yang men j a d i c i r i utama k a l k u l u s a d a l a h :
a ) p e n d i f e r e n s i a l a n , dan
b) pengintegralan ,
Kedua o p e r a s i ini memegang p e r a n a n yang s a n g a t p e n t i n g
b a i k dalam matematika murni maupun dalam matematika terapan.
Dalam mekanika m i s a l n y a , j a r a k yang ditempuh
o l e h sebuah obyek yang b e r g e r a k d i t e n t u k a n o l e h kecep a t a n dan waktu, y a i t u j i k a v a r i b e l - v a r i a b e l
lainnya
dianggap k o n s t a n , J i k a kecepatam mengalami perubahan
s e t i a p s a a t , makn p e r h i t u n g a n d i l a k u k a n dengan menggunakan k a l k u l u s ,
4. PENGETWAN A W A L
Pengetahuan awal merupakan pengetahuan yang s u dah ada dalam memori jangka p a n j a n g s e s e o r a n g . Pengetahuan awal ini juga s e r i n g d i s e b u t skema, s t r u k t u r kogn i t i f , a t a u l a n d a s d a t a (Bower dan EEilgard, 1986; Reyn o l d dan Flagg, 1 9 8 3 ; L e f r a n c o i s , 1 9 9 5 ) .
Leahey dan Harris (1985, 1 9 9 7 ) mengemukakan bah.w a gagasan awal d a r i pengetahuan awal a t a u skema i n i
t e l a h dikemukakan s e j a k n a s a a h l i f i l s a f a t Immanuel
Kant dan a h l i f i s i o l o g i S i r F r e d e r i c k B a r t l e t t yang menyatakan bahwa k o n s e p hanya m e m i l i k i a r t i b a g i s e s e orang j i k a konsep i t u d a p a t dihubungkan dengan pengetahuan awal yang t e l a h d i m i l i k i n y a ,
Pengetahuan awal a t a u skema merupakan s a t u a n da-
sar u n t u k m e r e p r e s e n t a s i k a n pengetahuan. Obyek i n d i v i d u a l , p e r i s t i w a , a t a u i d e a b s t r a k d i r e p r e s e n t a s i k a n dal a m memori dalam b e n t u k skema (Eysenc, 1984; Hergenhahn
dan Oslon, 1 9 9 7 ) . Dengan demikian pengetahuan lawal a t a u
skema merupakan bangunan p e n g e r t i a n m e n t a l s e s e o r a n g
t e n t a n g apa-apa y a n g pernah d i a l a m i a t a u d i p e l a j a r i n y a ,
Misalnya konsep t e n t a n g k e c e p a t a n ( v ) , waktu ( t ) , dan
j a r a k yang ditempuh ( s ) pada s u a t u g e r a k p e r j a l a n a n
--
yang b e r A t u r a n , d a p n t t e r s i m p a n s e c a r a t e r p i s a h l e p a s
s a t u sama l a i n , a t a u dalam hubungan bahwa j a r a k yang ditempuh sama dengan k e c e p a t a n d i k a l i waktu ( s = v . t ) ,
w
v
s
-
dalnm waktu t
B e g i t u p u l a pada k o n s e p t e n t a n g a l a s ( a ) , t i n g g i ( t ) ,
dan l u a s s e g i t i g a ( L ) d a p a t t e r s i m p a n s e b a g a i p e n g e t a huan awal s e c a r a t e r p i s a h - p i s a h
l e p a s s a t u sama k i n ,
a t a u t e r s i m p a n dalam bentuk hubungan bahwal l u a s sebua h s e g i t i g a sama dengan s e t e n g a h p a n j a n g a l a s d i k a l i
t i n g g i (L = 3 a t ) .
D a r i kedua c o n t o h d i a t a s d a p a t d i n y a t a k a n bahwa
pada c o n t o h pertama, konsep k e c e p a t a n ( v ) dan waktu ( t )
d a p a t dipandang s e b a g a i d i r i n y a s e n d i r i a t a u s e b a g a i
komponen d a r i k o n s e p j a r a k yang ditempuh ( s = v t ) .
Begi-
t u p u l a pada c o n t o h kedua, a l a s ( a ) dan t i n g g i (t) dap a t dipandang s e c a r a t e r p i s a h - p i s a h ,
a t a u dipandang s e -
b a g a i komponen l u a s s e g i t i g a ( L = 3 a t ) .
Skemp (1981) mengemukakan adanya k o n s e p o r d o l e b i h t i n g g i dan konsep ordo l e b i h rendah. Konsep j a r a k
yang ditempuh ( s = v t ) m e m i l i k i ordo yang l e b i h t i n g g i
d a r i p a d a konsep k e c e p a t a n ( v ) dan waktu ( t ) , B e g i t u pul a konsep l u a s s e g i t i g a (L = + a t ) m e m i l i k i ordo yang l e b i h t i n g g i d a r i p a d a konsep a l a s ( a ) dsn t i n g g i ( t ) ,
Oleh k a r e n a i t u s e p e r t i dikemukakan s e l a n j u t n y a
o l e h Skemp ( l 9 8 1 ) , j i k a s e s e o r a n g akan m e m p e l a j a r i
sebuzih konsep matematika, maka d i a t e r l e b i h d a h u l u har u s m e m i l i k i pengetahuan awal yang l e b i h rendah yang merupakan komponen konsep matematika yang a k m d i p e l a j a r i
itu,
D i s m p i n g i t u d i a juga h a r u s m e m i l i k i pengetahu-
a n awal t e n t a n g n o t a s i dan o p e r a s i - o p e r a s i yang d i p e r l u kan s e r t a segenap a t u r a n - a t u r a n a t a u p r o s e d u r - p r o s e d u r
p e n g e r j a a n h i t u n g . S e l a i n i t u d i p e r l u k a n p u l a pengetahua n mengenai teorema-teorema a t a u rumus-rumus yang menyat a k a n r e l a s i yang t e r d a p a t dalam s i s t e m m a t e n a t i k a t e r tentu,
5
PENGETAHUAN A1.UAL MATEN A T I K h SEKOLAH
D a l a m b e l a j a r matematika d i s e k o l a h , pengetahuan
awal matematika s e k o l a h yang d i m i l i k i siswa t e r d i r i atas
penge t a h u a n b e r b a g a i s a t u a n b a h a s a n s u b b i d a n g s t u d i mat e m a t i k a yang t e l a h d i p e l a j a r i n y a , J i k a d i l i h a t d a r i banyaknya s a t u a n bahasan s e t i a p s u b b i d a n g s t u d i matematik a t e r s e b u t yang t e l a h d i p e l a j a r i s i s w a d a r i SD, k e l i h a t a n s e o l a h - o l a h pengetahuan awal matematika t e r s e b u t
s a n g a t banyak dan s a n g a t b e r a n e k a ragam,
Namun j i k a d i l i h a t d a r i k o n s e p s i matematika sebag a i s u a t u s i s t e m , maka pengetahuan awal matematika t e r s e b u t u n t u k s e t i a p s u b b i d a n g s t u d i d a p a t dikelompokkan
k e dalam :
a ) pengetahuan awal t e n t a n g himpunan obyek matematika,
b ) pengetahuan awal t e n t a n g r e l a s i a n t a r a obyek-obyek
11
himpunan matematika t e r s e b u t , dan
c ) pengetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i - o p e r a s i yang d a p a t
dilakukan a n t a r a obyek-obyek himpunan matematika
tersebut.
I
Obyek-obyek a t a u unsur-unsur himpunan matematika
s e p e r t i bilangan-bilangan
t e r t e n t u , huruf-huruf,
maupun
b e r b a g a i bentuk a l j a b a r l a i n n y a d a p a t d i j u m p a i pada s e t i a p s i s t e m matematika. B e g i t u p u l a r e l a s i - r e l a s i s e p e r -
t i persamaan dan pertidaksamaan, s e r t a o p e r a s i - o p e r a s i
s e p e r t i penjumlahan dan p e r k a l i a n , d s p a t d i j u m p a i pada
s e t i a p s i s t e m matematika.
Berdasarkan u r a i a n d i a t a s d a p a t d i n y a t a k a n bahvia himpunan, r e l a s i , dan o p e r a s i yang mendasar ini merupakan pengetahuan awal yang p e n t i n g dalzm b e l a j a r rnat e n a t i k a s e k o l a h . Pengetahuan awal t e r s e b u t b e r f u n g s i
I
s e b a g a i pengetahuan p r a s y a r a t yang s a n g a t b e r p e r a n dal a m menentukan k e s i a p n b e l a j a r siswa.
I
.
Sebagai i l u s t r a s i m i s a l n y a siswa-siswa SLTP d i m i n t a menjawab a t a u n e n y e l e s a i k a n berapakah 18
I
-
(3-4) ?
Ada beberapa kernungkinan jawaban yang akan d i b e r i k a n
siswa-siswa SLTP t e r s e b u t , y a i t u :
(a) 18
-
(3
- 4)
= t i d a k t a h u k a r e n a t i d a k m e m i l i k i pe-
ngetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i dan u r u t a n p e n g e r j a an h i t u n g . Atau s e p e r t i kebanyakan siswa yang tidak m e m i l i k i d a s a r pengetahuan akan menjawab misalnya s e p e r t i : 18
-
(3
- 4)
= 18
+
7 = 25
( b ) 18
-
(3
-
4 ) = 11, dalam h a 1 i n i siswa mengabaikan
t a n d a kurung, a t a u k a r e n a t i d a k m e m i l i k i pengetahuan
awal t e n t a n g k o n s e k u e n s i menghilangkan t a n d a kurung
t e r h a d a p perubahan t a n d a b i l a n g a n p o s i t i f a t a u negat i f . J a d i siswa mengerjakan o p e r a s i 18
p e r t i mengerjakan 18
( c ) 18
- ( 3 - 4)
-
(3
-
4) se
- 3 - 4 = 11.
= 17, dalam h a 1 i n i siswa mengetahui
u r u t a n penger j a a n h i t u n g y a i t u n e n g e r j a k a n yang d i
dalam t a n d a kurung t e r l e b i h d a h u l u y a i t u
3
-4
,
= -1
t e t a p i s i s w a t e r s e b u t t i d a k mengetahui k o n s e k u e n s i
menghilangkan t a n d a kurung t e r h a d a p perubahan t a n d a
n e g a t i f a t a u p o s i t i f . Siswa t e r s e b u t mengerjakan ope-
rasi 18
-
(3
-
4) = 18
- 1 = 17
( d ) Siswa-siswa yang menguasai o p e r a s i - o p e r a s i d a s a r dan
u r u t a n penger j a a n h i t u n g akan menger jakan s e p e r t i berikut :
18
-
(3
-
4 ) = 18
.
-
(-1)
= 1 8 + 1
= 19
S e b a g a i i l u s t r a s i l a i n m i s a l n y a s e o r a n g siswa SMU
d i m i n t a menyelesaikan berapakah
5 3
?
Untuk d a p a t men ja-
wab p e r t a n y a a n i n i , pertama-tama s i s w a SMU t e r s e b u t h a r u s
m e m i l i k i pengetahuan awal mengenai konsep b i l a n g a n b e r pangkat n e g a t i f yang d i d e f i n i s i k a n dengan :
S e t e l a h p e n g e r t i a n k o n s e p b i l a n g a n b e r p a n g k a t n e g a t i f dii n g a t n y a k e m b a l i , maka b u t i r - b u t i r
5' = 5.5.5,
dan
pengetahuan
seperti
5 x 5 x 5 = 1 2 5 yang pernah d i p e l z r i n y a
d i S D maupun SLTP h a r u s d a p a t d i p a n g g i l n y a k e m b a l i d a r i
memori jangka panjangnya. J i k a pemanggilan k e m b a l i t e r h dap pengetahuan awal i n i g a g a l , maka s i s w a t e r s e b u t tidak d a p a t memberikan r e s p o n s yang b e n a r t e r h a d a p s t i m u l u s yang d i t e r i m a n y a y a i t u berapakah
5-3. J i k a d i l i h a t
d a r i konsep o r d o yang l e b i h t i n g g i dan o r d o yang l e b i h
r e n d a h , maka ordonya d a p a t d i l i h a t pada diagram b e r i k u t :
TINGGI
REND AH
5 x 5 ~ 5= 9
........ o r d o 1
Contoh l a i n m i s a l n y a pada p e n y e l e s a i a n persamaan
k u a d r a t : x2
- 5x
+ 4 = 0 akan d i t e n t u k a n h a r g a - h a r g a x
mana yang memenuhi persamaan k u a d r a t t e r s e b u t . ~ i dua
a
h a r g a x, y a i t u xl dan x2 yang d i h i t u n g dengan menggunakm
s e t e l a h melakukan s u b s t i t u s i n i l a i a = 1, b =
C
= 3, maka d i p e r o l e h :
v
-5,
dan
Agar d a p a t menentukan b e r a p a b e s a r n y a h a r g a xl
dan x2 dengan b e n a r d i p e r l u k a n d a s a r - d a s a r pengetahuan
awal yang a n t a r a l a i n n e l i p u t i :
a ) o p e r a s i pen jumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n , dan pembagian,
b ) s i s t e m b i l a n g a n b u l a t ( y a n g mengandung b i l a n g a n b u l a t
p o s i t i f dan n e g a t i f ,
c ) b i l a n g a n r a s i o n a l (yang mengandung b i l a n g a n p e c a h a n ) ,
d ) b i l a n g a n i r r a s i o n a l ( b e n t u k a k a r ) , dan
e ) urutan pengerjaan hitung.
J i k a d i t e r u s k a n dengan c ontoh-c ontoh pemecahan so-
a1 matematika yang l e b i h t i n g g i , maka akan d a p a t d i k e t a h u i bahwa pengetahuan awal yang d i p e r l u k a n s e b a g a i pengetahuan p r a s y a r a t akan semakin banyak, Hal i n i memperjelas
h a k i k a t matematika yang b e r s i f a t h i r a r k i s , s e r t a mengapa
matematika i t u semakin t e r a s a s u k a r j i k a d a s a r - d a s a r pengetahuan awal t i d a k banyak yang d i k u a s a i .
6 , PENGETAHUAN
AW-AL DAN PEMECAHAN MASALAH
Dua c o n t o h yang dikemukakan sebelumnya pada kons e p ordo yang l e b i h t i n g g i dan o r d o y a n g l e b i h r e n d a h unmengenai j a r a k yang ditempuh s e r t a l u a s s g i t i g a , s e r t a
s o a l - s o a l : berapakah
5-3
?
, berapakah
s e r t a p e n y e l e s a i a n persamaan k u a d r a t
2
x
18
-
- ( 3 - 4)
?.:,
5x + 4 = 0 ;
keaemuanya- 1Cu merupak-an c ontoh-contoh k e g i a t a n b e r p i k i r
dalam matematika yang d i s e b u t pemecahan masalah,
Wickelgren
(1974) mengemukakan bahv~a sebuah masalah d i -
susun o l e h t i g a j e n i s i n f o r m a s i yang nencakup :
a. i n f o r m a s i mengenai a p a yang d i k e t a h u i t e n t a n g masalah
,
b, i n f o r m a s i mengenai t i n d a k a n - t i n d a k a n
(operasi-opera-
s i ) yang h a r u s d i l a k u k a n , dan
c , i n f o r m a s i t e n t a n g t u j u a n a p a y a n g h a r u s d i c a p a i pada pemecahan masalah t e r s e b u t ,
S e b a g a i c o n t o h m i s a l n y a : Berapakah
a. I n f o r m a s i me
ngenai apa
yang d i k e t a h u i
t e n t a n g masa-
GI/
I
Berapakah
I
U
I\
Bentuk pen jumlahan
b i l a n g a n pecahan
1
lah,
b. I n f o r m a s i t e n - 9 S a m a k a n genyebut
kedua pecahan dan
tang tindakan
l a k u k a n pen jum.pa yang ,,,us
dilakukan
lahan
4/
c, Informasi tentang tujuan
pemecahan m a salah :
h a s i l penjumlahan
t
Pada masalah i n i , i n f o r m a s i t e n t a n g t i n d a k a n apa
yang h a r u s d i l a k u k a n mempersyaratkan pemanggilan kembali i n f o r m a s i mengenai pengetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i
penjumlahan dan p r o s e d u r menyamakan penyebut pecahan,
Contoh b e r i k u t n y a : S e l e s a i k a n l a h
2x + 4 = 16
a. I n f o r m a s i mengenai apa
yang d i k e t a h u i
t e n t a n g rnasa-
p-(
lab
S e l e s a i k a n l a h 3b, I n f o r m a s i t e n tang tindakan
2x + 4 = 1 6
a p a yang h a r u s
dilakukan
+ Persamaan
li-
near :
2x +
4 = 16
+ Pindahkan
angka 4 ke r u a s
kanan :
Bagi masingmasing r u a s
dengan 2 :
4'
6.
Pada contoh d i a t a s
Informasi tentang tujuan
pemecahan masalah :
d i p e r l u k a n pengetahuan a w a l t e n -
t a n g a r t i k a t a s e l e s a i k a n l a h , Yang dimaksud dengan pen y e l e s a i a n sebuah persamaan dengan v a r i a b e l x a d a l a h
menentukan n i l a i v a r i a b e l x t e r s e b u t . J u g a d i p e r l u k a n
pengetahuan awal t e n s a n g s i f a t - s i f a t o p e r a s i pada s e buah persamaan y a i t u bahwa : pemindahan b e n t u k a l j a b a r
d a r i r u a s k i r i k e r u a s kanan a t a u s e b a l i k n y a akan me-
ngubah t a n d a b e n t u k a l j a b a r t e r s e b u t , b e g i t u p u l a
t e r d a p a t k e t e n t u a n bahwa sebuah persamaan t i d a k berubah
harganya a p a b i l a kedua r u a s persamaan t e r s e b u t d i b a g i
dengan bentuk a1j a b a r yang sama.
D a r i kedua c o n t o h t e r s e b u t d i a t a s d a p a t d i k e t a h u i bahwa u n t u k memecahkan sebuah masalah matematika d i p e r l u k a n pengetahuan awal u n t u k :
a . menafsirkan a p a yang d i k e t a h u i dan apa yang m e n j a d i
t u j u a n pemecahan masalah, dalam h a 1 i n i s a n g a t d i p e r l u k a n kemampuan u n t u k menerjemahkm. pernyataan-pernyat a a n v e r b a l yang t e r d a p a t dalam sebuah masalah ke da-
l a m b e n t u k model-model matematika,
b. melakukan m a n i p u l a s i t e r h a d a p a p a yang d i k e t a h u i d a r i
masalah, y a i t u berupa a t u r a n - a t u r a n o p e r a s i a t a u pen g e r j a a n h i t u n g , s i f a t - s i f a t a t a u runus-runus dan s e bagainya.
Dengan p e r k a t a a n l a i n d a p a t d i k a t a k a n bahwa inf o r m a s i mengenai a p a yang d i k e t a h u i t e n t a n g masalah s e c a r a l a n g s u n g akan d a p a t d i k e t a h u i a p a b i l a dalam masalah
t e r s e b u t s e c a r a j e l a s t e l a h d i n y a t a k a n bentuk a l j a b a r
a t a u r e l a s i yang h a r u s d i s e l e s a i k a n . S e l a i n i t u , j i k a
masalah t e r s e b u t masih dalam b e n t u k p e r n y a t a a n v e r b a l ,
maka ungkapan v e r b a l t e r s e b u t h a r u s d i t e r j e m a h k a n t e r l e -
b i h dahulu k e dalam b e n t u k a l j a b a r a t a u r e l a s i a n t a r a
bentuk-bentuk a l j a b a r yang b i a s a n y a d i n y a t a k a n dalam model-model matematika berbentuk persamaan a t a u p e r t i d a k samaan
.
S e b a g a i contoh m i s a l n y a p e r h a t i k a n l a h p e r s o a l a n b e r i k u t :
Seorang ayah membelan jakan uangnya sebanyak
kemudian sisa uangnya dibagikannya
kepada k e t i g a a n a h y a , Jika masing-masing
anaknya memperoleh F$ 400,- b e r a p a uang a y a h
semula ?
4 5.000,-
Model matematika yang d i p e r l u k a n u n t u k memecahkan
masalah t e r s e b u t d i t e n t u k a n s e b a g a i b e r i k u t :
x
a , Misalkan uang ayah semula
b , S i s a uang ayah s e t e l a h d i b e l a n j a k a n F) 5.000,-
.
x
- 5000
.
x
- 5000
c. S i s a uang ayah t e r s e b u t d i bagikan kepada k e t i g a a n a k ,
s e t i a p anak memperoleh
d, Masing-masing a n a k memperoleh
400,- i n i b e r a r t i
3
= 400
e , Model matematika yang d i peroleh
*
: x
- 5000
= 1200
I n f o r m a s i t e n t a n g t i n d a k a n - t i n d a k a n yang h a r u s
d i l a k u k a n t e r h a d a p a p a yang d i k e t a h u i t e n t a n g masalah
merupakan i n f o r m a s i t e n t a n g p r o s e d u r s e r t a o p e r a s i yang
h a r u s d i l a k u k a n t e r h a d a p b e n t u k a l j s b a r a t a u rslasi an-
tara bentuk-bentuk a l j a b a r t e r s e b u t . S e l a n j u t n y a , F n f o r n a s i t e n t a n g t u j u a n pemecahm masalah d a p a t b e r u p a :
a , h a s i l operasi pen jumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n ,
d m pembagian,
b.
penentuan n i l a i s a t u a t a u l e b i h v s r i a b e l ,
c. nenentukan perbandingan,
d. melakukan pembuktian,
e m dan s e b a g a i n y a ,
~ e r d a s a r k x iu r a i a n d i atas b e r i k u t contoh-contoh yang dikemukakan, maka s e c a r a umum d a p a t dikernukak m bahwa pengetahuan t e n t a n g :
a. himpunzn obyek-objek maternatika,
b, n o t a s i , d e f i n i s i , s e r t a rumus dan teorema,
c
.
kemampuan mener jemahkan s u a t u p e r n y a t a a n v e r b a l ke
dalam bentuk model matematika,
d. kemampuan melakukan o p e r a s i (pen jumlahan,
pengurang-
a n , p e r k a l i a n , pembagian, t r a n s l a s i , r o t a s i , pendif e r e n s i a l a n , p e n g i n t e g r a l a n , dan l a i n - l a i n )
sesuai
a t u r a n p e n g e r j a a n h i t u n g t e r h a d a p obyek-obyek yang
t e r d a p a t pada s i s t e m matematika t e r t e n t u ,
e. p r o s e d u r p e n y e l e s a i a n r e l a s i matematika s e p e r t i pen y e l e s a i a n persamaan dan pertidaksamaan,
merupakan s e b a g i a n b e s a r pengetahuan awal yang d i p e r l u k a n siswa u n t u k melakukan a n a l i s i s dan s i n t e s i s t e r hadap i n f o r m a s i pengajaran matematika yang diterimanya,
7. P R O S E S AKOMODASI SEBAGAI PROSES PENGEMBANGAN
PENGETAHUAN AWAL
P r o s e s menghubungkan i n f o r m a s i baru dengan pengetahuan awal yang sudah a d a , menurut P i a g e t , d a p a t
t e r j a d i dalarn dua ben t u k y a i t u a s i m i l a s i dan akornoda-
s i (Skemp, l 9 8 1 ) , A s i m i l a s i a d a l a h penyesuaian
.
i n f o r m a s i baru dengan pengetahuan awal yang sudah ada
tanpa menimbulkan perubahan pada pengetahuan awal i t u ,
sedangkan akomodasi merupakan penyesuaian i n f o r m a s i ba-
r u dengan pengetahuan awal yang ada dengan menimbulkan
perubahan pada s t r u k t u r d a s a r pengetahuan awal.
Dalam b e l a j a r matematika d a p a t dikemukakan sebuah contoh s e b a g a i b e r i k u t
.
J i k a s e o r a n g siswa t e l a h
memiliki pengetahuan awal a t a u skema sistem bilangan
a s l i , maka uengan p r o s e s asimilasi d i a d a p a t memecahkan
masalah s e p e r t i
3
+
4 a t a u 3 x 5. Dalam melakukan peme-
cabs masalah i n i t i d a k t e r j a d i perubahan s t r u k t u r das a r skema k a r e n a pemecahan masalah n a s i h berada dalam
s i s t e m b i l a n g a n a s l i . Namun jika kemudian kepada siswa
i t u d i b e r i k a n masalah
+
3
'
sedangkan siswa t e r s e b u t
belum memiliki skema s e l a i n skema b i l a n g a n a s l i , maka
skema bilangan a s l i yang d i m i l i k i n y a t i d a k mampu mem-
2
bantu menyelesaikan masalah
1 dan
kan karena 7
5
+
4.
H a l i n i . disebab-
bukan anggota b i l a n g a n a s l i t e t a p i
nerupakan anggota b i l a n g a n r a s i o n a l ( b i l a n g a n pecahan).
Oleh karena i t u skema b i l a n g a n a s l i yang a d a dalam memori jangka pan jang p e r l u dikembangkan.
Siswa-siswa yang t i d a k b e r h a s i l mengembangkan
skema b i l a n g a n a s l i menjadi skema b i l a n g a n r a s i o n a l
1+
s e r i n g mencoba menjawab masalah 2
5
dengan c a r a :
..
Jawaban yang d i b a r i k a n siswa hi s a l a h , dan k e s a l a h a n
*
yang d i b u a t n y a a d a l a h k e s a l a h a n yang rnendasar,
Jawaban
yang b e n a r a d a l a h :
Kesalahan yang mendasar hi pada umumnya t e r j a d i
j i k a p r o s e s p e n g a j a r a n rnatematika t i d a k b e r h a s i l menge*
bangkan pengetahuan awal yang d i m i l i k i siswa.
Sebagai
s u a t u bidang s t u d i yang b e r s i f a t h i r a r k i , matematika
p e r l u d i a j a r k a n dengan menekankan p r o s e s akomodasi. J i ka ini t i d a k b e r h a s i l , maka matematika &an
semakin su-
lit d i p e l a j a r i s i s w a , dan guru akan menghadapi banyak
kesukaran dalam mengajarkan matematika.
Pengetahuan awal memegang peranan p e n t i n g dalam
p r o s e s penerimaan, pengolahan, dan penyimpanan i n f orma-
si, Pengetahuan awal i t u sudah a d a dalam memori jangka
panjang dan s e r i n g d i s e b u t s e b a g a i skema, s t r u k t u r kogn i t i f , atau landas data,
Pengetahuan awal matematika s e c a r a umum d a p a t
dipandang s e b a g a i pengetahuan b e r b a g a i subbidang s t u d i
matematika yang t e l a h d i p e l a j a r i s i s w a , S e c a r a khusus
s e s u a i dengan konsepsi..matematika s e b a g a i suatu s i s t e m
yang d i b e n t u k o l e h b e r b a g a i komponen, maka u n t u k s e t i a p
subbbidang s t u d i matematika s e k o l a h ( a r i t m e t i k a , aljab a r , g e o m e t r i , dan k a l k u l u s ) pengetahuan awal yang san g a t d i p e r l u k a n u n t u k m e m p e l a j a r i materi p e l a j a r a n baru
maupun dalam pemec,?han rnasalah matematika a d a l a h :
a , pengetahuan awal t e n t a n g himpunan matematika yang m e -
ngandung unsur-unsur utama s e p e r t i : b i l a n g a n , huruf
a t a u n o t a s i yang menyatakan b i l a n g a n , bentuk-bentuk
a l j a b a r , t i t i k dan g a r i s , d m
sebagainya.
b. pengetahuan awal t e n t a n g r e l a s i a n t a r a unsur-unsur
rnatematika, s e p e r t i : persanaan, pertidaksamaan, r e l a s i f u n g s i , kesebangunan, ke samasebangunan, dan s e bagainya.
c,
pengetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i - o p e r a s i yang d a p a t
dilakukan t e r h a d a p unsur-unsur sebuah himpunan matematika, s e p e r t i : penjumlahan, pengurangan, perkali.9a n , pembagian, d i l a t a s i , r o t a s i , t r a n s l a s i , p e n d i f e r e n s i a l a n , p e n g i n t e g r a l a n , dan
,sebagainya.
Untuk m e l a t i h mengingat dan mengaplikasikan pengetahuan awal t e r s e b u t d a p a t d i l a k u k a n m e l a l u i p r o s e s
a s i m i l a s i , namun pengembangan pengetahuan awal p e r l u dilakukan m e l a l u i p r o s e s a k o m o d a s i , - y a i t u a g a r pengetahuan
awal t e r s e b u t s e l a l u dapat d i s e s u a i k a n dengan permasal a h a n matematika yang penuh keanekaragaman.
DAFTAR
BAC A A N
Ausubel, David P, (1985) "Learning a s C o n s t r u c t i n g Meaning", Dalam New D i r e c t i n s i n Educational P s ~ c h o l o g y ,
ed, Noel E n t w i s t l e . London : The Falmer P r e s s ,
Bernkopf Michael (19'75) Mathematics. An Appreciation,
Boston : Houghton K a f f l i n Co,
Bower, Gordon H e ; H i l g a r d , E r n e s t Re (1986) T h e o r i e s of
beaming, New Delhi : P r e n t i c e H a l l of I n d i a ,
D r i s c o l l , Mercy P, (1994) Psycholom of learn in^ f o r I n s t r u c t i o n , Boston : Allyn and Bacon,
Eysenck, M c h a e l W e (1984) A Handbook of C o ~ n i t i v ePsgc h o l o a . London : Lawrence Erlbaum A s s o c i a t e s ,
Hergenhahn, B.R. ; Olson, Matthew EE, (1997) T h e o r i e s of
Learninq. Upper Saddle River, New J e r s e y : P r e n t i c e-Hal1 I n c ,
Klein, Stephen B. (1997) Learning, P r i n c i v l e s and A ~ p l i c a t i o n s , New York : McGraw-Kill Book Company.
Leahey, Thomas H e ; Harris, Richard J. (1985) Human LearnEnglewood C l i f f s , New J e r s e y : P r e n t i c e - H a l l
Inc ,
Leahey, Thomas K,; Harris, Richard J, (1997) Learninq
and Cognition. Upper Saddle River, New J e r s e y :
Prentice-Hall I n c ,
L e f r a n c o i s , Guy R. (1995) Theories of Human Learninq,
Kro's Reports.
Moise, Edwin E,; Downs, Floyd L a (19bO) Geometr~.. Don
M i l l , O n t a r i o : Addison Wesley (Canada) Limited,
NCTII (1992) C o n s t u c t i v i s t Views on t h e Teaching and Lea r n i n q , Reston, V i r g i n i a : NCTM.
P e t e r s o n , John M e (1974) Basic Concept of Elementary
Mathematics. Boston : P r i n d l e , Weber and Schmidt,
Inc
Reynolds, Allan G. ;' Flagg Pa= W. (1983) C o g n i t i v e PSYc h o l o m , Boston : ~ i t t l e ,Brown and Company.
Wickelgren, Wayne (1974) How t o Solve Problem Solving.
San F r a n s i s c o : W.H.
Freeman and Conpany.
,
a,
.