MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI ERLANG SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI
POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI ERLANG
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika

Disusun Oleh :
Nama : Marcelina Novi Agustiarini
NIM : 103114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2014

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

iii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

iv

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN:

Kupersembahkan skripsi ini kepada:
 Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang telah memberkati saya sehingga
dapat menyelesaikan skripsi ini
 Ibu dan ayah yang selalu memberikan doa dan dukungan sehingga skripsi
ini dapat selesai
 Ibu Lusi yang selalu membimbing dan membantu saya dengan penuh
kesabaran
 Sahabat-sahabat dan semua orang yang selalu mendukung dan
menyayangi saya
 Semua mahasiswa Prodi Matematika yang sudah menjadi teman sekaligus
keluarga bagi saya

v

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

vi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRAK

Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima
pelayanan.Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat
merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut. Oleh karena
itu, perlu dilakukan penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat
kedatangan. Kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya.
Karakteristik-karakteristik dapat terwakilkan dengan adanya distribusi. Distribusi
yang dapat mewakili kedatangan adalah distribusi Poisson. Tidak hanya
kedatangan saja yang dapat dipelajari karakteristik-karakteristiknya tetapi juga

waktu pelayanan.Beberapa distribusi yang dapat mewakili waktu pelayanan
adalah distribusi eksponensial dan distribusi Erlang. Jika pada model antrian
berdistribusi eksponensial banyaknya fase hanya satu sedangkan pada model
antrian berdistribusi Erlang banyaknya fase dalam model antrian jumlahnya dapat
berhingga dan tak berhingga. Pada tulisan ini waktu pelayanannya berdistribusi
Erlang. Penentuan jumlah pelayan yang optimal merupakan hal yang sangat
penting dalam analisis sistem antrian. Untuk menentukan jumlah pelayan yang
optimal perlu adanya ukuran-ukuran kinerja sistem. Ukuran-ukuran kinerja sistem
meliputi rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem, rata-rata banyaknya
pelanggan dalam antrian, rata-rata waktu menunggu dalam sistem, dan rata-rata
waktu menungggu dalam antrian.Dalam menentukan jumlah pelayan perlu
mempertimbangkan model biaya. Apabila jumlah pelayan ditambah maka waktu
pelanggan untuk menunggu akan semakin berkurang. Tetapi, apabila jumlah
pelayan ditambah maka biaya untuk yang harus dikeluarkan untuk menggaji
pelayan juga bertambah. Pada penerapan antrian di RSUD Gunung Jati
banyaknaya fase ada tiga, yaitu: etiket, pengemasan, dan pengecekan. Jumlah
pelayan hanya satu dan waktu tunggu masih lama sehingga belum optimal.
Dengan menggunakan model biaya jumlah pelayan pada masing-masing tahap
adalah dua orang. Penambahan pelayan ini juga dapat mengurangi waktu tunggu.

vii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRACT

Queue is a mutual process of waiting to receive services. A very long
queues would be very detrimental for customers and servers. Therefore, it is
necessary to determine the appropriate number of servants to the arrival rate. The
characteristics customers is arrival can be studied. It can be represented by the
distribution,that is the Poisson distribution. Not only arrival that can be studied its
characteristics but also service time. The distributions may represent the service
time are exponential distribution and Erlang distribution. In the queuing model of
exponential distribution the number of phases is only one, where in the queuing
model with Erlang distribution the number of phases in the model can be finite or

infinite. In this paper, the service time distribution is Erlang. Determination of the
optimal number of servants is very importance in the analysis of queuing systems.
To determine the optimal number of servants, it is neededthe measure of system
performance,which include average number of customers in the system, average
number of customers in the queue, average of waiting time in the system, and
average of waiting time in the queue. In determining the number of servants need
to consider the cost model. If the number of waiters is added, the customer's
waiting time will decrease. However, it will cause the costs to be spent to hire
servants also increased. In the application of queuing in hospitals Gunung Jati
there are three phases, namely: etiquette, packing, and checking. The number of
servers is only one and waiting time is still long so it not optimal. By using the
cost model, the number of servers of each step is two people. The addition of
these servers can also reduce the waiting time.

viii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK

TIDAKTERPUJI
TERPUJI

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat yang telah
dilimpahkan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
Skripsi ini penulis ajukan kepada yang terhormat panitia penguji Skripsi
untuk melengkapi syarat untuk menempuh gelar sarjana pada Prodi Matematika
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Dalam penyusunannya penulis membutuhkan bantuan dari berbagai pihak.
Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan segala kerendahan hati penulis ingin
menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak dan Ibu Agus Yulianto atas segala doa dan motivasi yang diberikan.
2. Ibu Lusia Krismiati Budiasih, M.Si, selaku dosen pembimbing yang
dengan penuh kesabaran telah membimbing dan membantu saya selama
penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.
Si, M. Si selaku dosen penguji yang membantu perbaikan skripsi ini.
4. Bapak dan Ibu Dosen yang telah memberikan ilmu kepada penulis selama

penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma ini.
5. Segenap karyawan sekretariat FST, lab. GM, dan Perpustakaan Paingan
atas pelayanan yang telah diberikan kepada penulis.
6. Sahabat-sahabat dalam perjalanan kuliah: Arga, Ayu, Yosi, Agnes, Roy,
Marsel, Leni, Pandu, Tika, Ratri, Sari, Astri, dan Dini.
7. Semua mahasiswa Prodi Matematika atas semua pelajaran yang begitu
berharga.
8. Serta bantuan dari semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis menyadari kekurangan skripsi ini, untuk itu saran serta kritik
sangat diharapkan demi peningkatan kualitas skripsi ini. Dan akhirnya penulis

ix

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi semua
pihak.

Yogyakarta, 25 Juli 2014
Penulis,

Marcelina Novi Agustiarini

x

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..........................................................ii
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................................ iii
PERNYATAAN KEASLIAN ....................................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................................v
PERNYATAAN PUBLIKASI ....................................................................................... vi
ABSTRAK ....................................................................................................................... vii
ABSTRACT .................................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR .................................................................................................. ix-x
DAFTAR ISI................................................................................................................ xi-xii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah........................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................................. 3
C. Batasan Masalah .................................................................................................... 4
D. Tujuan Penulisan .................................................................................................... 5
E. Metode Penulisan ................................................................................................... 5
F. Manfaat Penulisan.................................................................................................. 5
G. Sistematika Penulisan ............................................................................................ 5
BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL
KOLMOGOROV-SMIRNOV
A. Peubah Acak .......................................................................................................... 8

xi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

B. Nilai Harapan ...................................................................................................... 15
C. Variansi ................................................................................................................ 18
D. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................................... 19
E. Distribusi Poisson ............................................................................................... 21
F. Distribusi Gamma ............................................................................................... 23
G. Distribusi Eksponensial ..................................................................................... 32
H. Distribusi Erlang ................................................................................................. 34
I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov ..................................................... 41
BAB IIIMODEL-MODEL ANTRIAN
A. Unsur-unsur Dasar Antrian ................................................................................. 45
B. Peran Distribusi Poisson .................................................................................... 53
C. Peran Distribusi Erlang ....................................................................................... 60
D. Model Antrian dengan Pelayan Tunggal .......................................................... 62
E. Model Antrian dengan Pelayan Ganda ............................................................. 88
F. Model Biaya ......................................................................................................... 99
BAB IVMODELANTRIAN BEBERAPA FASE PADA RSUD GUNUNG JATI
CIREBON ..................................................................................................................... 108
BAB VPENUTUP
A. Kesimpulan ......................................................................................................... 121
B. Saran ................................................................................................................... 123
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 124
Lampiran........................................................................................................................ 127

xii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

xiii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG
Pada kehidupan sehari-hari sering ditemukan istilah antrian.
Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk menerima
pelayanan. Contoh antrian adalah antrian dalam pengambilan kartu ujian
untuk para mahasiswa, antrian pembayaran uang kuliah, antrian
pengambilan karcis parkir, dll. Dalam antrian, yang mengantri tidak hanya
orang tetapi juga bisa berupa barang. Misalnya: antrian bahan mentah
yang akan diproses dan dijadikan bahan produksi, antrian komoditi ekspor
di pelabuhan, antrian mobil yang akan diperbaiki dalam sebuah bengkel,
dll. Berikut adalah contoh nyata sebuah antrian orang (gambar kiri) dan
antrian barang (gambar kanan).

Terdapat faktor-faktor penting dalam sebuah antrian, yaitu
pelanggan (customer) dan pelayan (server). Proses antrian biasanya adalah

1

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

pelanggan tiba di satu sarana pelayanan kemudian bergabung dalam
sebuah antrian. Pelayan memilih pelanggan dari antrian untuk memulai
pelayanan. Setelah selesainya pelayanan, pelayanan akan memilih
pelanggan yang baru dan diulangi kembali proses tersebut dari awal.
Antrian dapat terjadi karena kebutuhan akan pelayanan melebihi
kapasitas yang disediakan. Kedatangan pelanggan tidak diketahui
sebelumnya. Jika diketahui maka pengoperasian sarana tersebut dapat
dijadwalkan sehingga keharusan untuk menunggu tidak ada atau dengan
kata lain tidak ada antrian. Rata-rata lamanya waktu menunggu dalam
sebuah antrian sangat tergantung pada rata-rata tingkat kecepatan
pelayanan.
Antrian yang terlalu lama dan sangat panjang tentu akan sangat
merugikan bagi pelanggan maupun pelayan dalam antrian tersebut.
Apabila jumlah pelayan ditambah tentu akan menambah biaya yang lebih
besar dari sebelumnya. Tetapi, apabila jumlah pelayan tidak ditambah
maka antrian dapat terjadi dalam waktu yang lama yang akhirnya dapat
menyebabkan pelayananan menjadi tertunda dan tidak optimal. Dampak
yang lebih buruk dari antrian yang terlalu panjang dan lama adalah
hilangnya pelanggan.
Mengingat bahwa antrian yang terlalu panjang dan lama dapat
merugikan bagi pelanggan maupun bagi pelayan, maka perlu dilakukan
penentuan jumlah pelayan yang sesuai dengan tingkat kedatangan.
Kedatangan pelanggan dalam sebuah antrian adalah secara acak. Selain

2

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

itu, kedatangan pelanggan dapat dipelajari karakteristiknya. Karakteristikkarakteristik dalam sebuah antrian dapat terwakilkan dengan adanya
distribusi. Pada tulisan ini, distribusi kedatangan dapat diwakilkan dengan
distribusi Poisson.
Selain itu, waktu pelayanan dalam sebuah antrian juga dapat
dipelajari karakteristiknya. Waktu pelayanan juga dapat terwakilkan
dengan suatu distribusi seperti waktu antar kedatangan. Distribusi Erlang
akan dipergunakan

dalam tulisan ini

untuk

menyatakan

waktu

pelayanannya. Dengan demikian, distribusi Poisson dan distribusi Erlang
dapat dipergunakan untuk menganilisa sebuah antrian.
Dalam tulisan ini akan dipelajari karakteristik kinerja sebuah
sistem antrian. Ukuran kinerja sistem dalam sebuah sistem meliputi ratarata jumlah pelanggan dalam sistem, rata-rata jumlah pelanggan
menunggu dalam antrian, rata-rata waktu yang dihabiskan seorang
pelanggan dalam sistem, dan rata-rata yang dihabiskan pelanggan seorang
pelanggan menunggu dalam antrian.
Ukuran

kinerja

dalam

sistem

dapat

dipergunakan

untuk

menghitung biaya optimal pada sebuah antrian. Biaya optimal berkaitan
dengan laju pelayanan optimum. Secara umum model biaya berusaha
menyeimbangkan biaya menunggu dan biaya kenaikan tingkat pelayanan.

B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa saja yang mendasari sebuah antrian?

3

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

2. Bagaimana distribusi Poisson dapat dipergunakan dalam sebuah
antrian?
3. Bagaimana distribusi Erlang dapat dipergunakan dalam sebuah
antrian?
4. Bagaimana ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan waktu
antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan
berdistribusi Erlang?
5. Bagaimana mengoptimumkan biaya pada model antrian dengan waktu
antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan
berdistribusi Erlang?

C. BATASAN MASALAH
1. Model antrian yang dibahas adalah model antrian dengan waktu antar
kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Erlang.
2. Model antrian yang dibahas adalah:
a. ( ⁄

b. ( ⁄

⁄ ) (

⁄ ) (

⁄

⁄

)

)

3. Waktu pelayanan pada masing-masing tahap adalah sama dan
berdistribusi eksponensial.
4. Model pengambilan keputusan yang akan digunakan dalam skripsi ini
adalah model keputusan dengan menggunakan model biaya.

4

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

D. TUJUAN PENULISAN
Penulisan ini bertujuan untuk membahas dasar-dasar sebuah
antrian, peran distribusi Poisson dan Erlang dalam sebuah antrian serta
mencari ukuran-ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan waktu
antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Erlang.

E. METODE PENULISAN
Metode penulisan yang dipergunakan adalah metode studi pustaka,
sehingga di dalam skripsi ini tidak ditemukan hal-hal yang baru. Jenisjenis sumber pustaka yang digunakan penulis tercantum dalam daftar
pustaka.

F. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah memberikan
wawasan pengetahuan tentang model antrian dengan waktu antar
kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Erlang.

G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah

5

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan

BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL
KOLMOGOROV-SMIRNOV
A. Peubah Acak
B. Nilai Harapan
C. Variansi
D. Fungsi Pembangkit Momen
E. Distribusi Poisson
F. Distribusi Gamma
G. Distribusi Eksponensial
H. Distribusi Erlang
I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov

BAB III MODEL-MODEL ANTRIAN
A. Unsur-unsur Dasar Antrian
B. Peran Distribusi Poisson
C. Peran Distribusi Erlang
D. Model Antrian dengan Pelayan Tunggal

6

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

E. Model Antrian dengan Pelayan Ganda
F. Model Biaya

BAB IV MODELANTRIAN BEBERAPA FASE PADA RSUD
GUNUNG JATI CIREBON
Contoh kasus penerapan model antrian dengan waktu antar
kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Erlang.

BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran

7

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB II
DISTRIBUSI PEUBAH ACAK DAN UJI SAMPEL TUNGGAL
KOLMOGOROV-SMIRNOV
A. PEUBAH ACAK (VARIABEL RANDOM)
Definisi 2.1 Percobaan
Percobaan adalah suatu proses di mana pengamatan sengaja dibuat untuk
memperoleh hasil.

Definisi 2.2 Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu
percobaan. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan huruf S.

Contoh 2.1:
Ruang sampel S bagi percobaan pelemparan sekeping uang logam
sebanyak 2 kali dapat ditulis sebagai: S = {AA, AG, GA, GG}, dengan G
dan A masing-masing menyatakan “sisi gambar” dan “sisi angka”.

Definisi 2.3 Probabilitas
Probabilitas

adalah suatu fungsi yang mengaitkan semua kemungkinan

hasil suatu percobaan dengan suatu bilangan real. Jika
hasil suatu percobaan, maka probabilitas dari
( ).
8

kemungkinan

dapat ditulis dengan notasi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Definisi 2.4 Peubah Acak
Peubah acak adalah fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang
ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
Peubah acak dituliskan menggunakan huruf kapital dan nilainya
dinotasikan dengan suatu huruf kecil. Misalkan
peubah acak, nilai dari

menyatakan suatu

dinyatakan dengan .

Contoh 2.2:
Perhatikan Contoh 2.1, misalkan peubah acak

menyatakan banyaknya

sisi angka yang muncul, maka peubah acak

dapat dituliskan sebagai

berikut:
banyaknya sisi angka yang muncul pada pelemparan sekeping uang
logam sebanyak 2 kali.
Maka nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik
sampel. Bilangan-bilangan 0, 1, atau 2 merupakan besaran acak yang
nilainya ditentukan oleh hasil percobaan.

Definisi 2.5 Peubah Acak Diskrit
Sebuah peubah acak

dikatakan dsikrit jika himpunan nilainya adalah

berhingga atau tak berhingga terbilang.
Notasi (

) menyatakan kemungkinan hasil suatu percobaan

bernilai sama dengan x. Probabilitasnya dinyatakan dengan (

9

).

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Contoh 2.3:
Misalkan dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 2 kali dan
merupakan banyaknya sisi angka yang muncul, maka semua kemungkinan
nilai dan peluangnya dapat dicantumkan pada tabel berikut ini:

Tabel 2.1 Peubah acak diskrit beserta semua kemungkinan nilai dan
peluang
0
(

1

2

)

Definisi 2.6 Fungsi Probabilitas Diskrit
( ) adalah suatu fungsi probabilitas suatu peubah acak diskrit

Fungsi

untuk setiap hasil
1.

( )

2. ∑

3.

yang mungkin jika:

(

( )

)

( )

Definisi 2.7 Peubah Acak Kontinu
Jika nilai peubah acak
interval-interval, maka

adalah sebuah interval atau kumpulan dari
disebut peubah acak kontinu.

Peubah acak kontinu tidak dapat dituliskan dalam bentuk tabel
seperti peubah acak diskrit. Untuk menyatakan kemungkinan hasil suatu

10

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

percobaan, biasanya dituliskan menggunakan notasi seperti:
atau

atau

atau

Probabilitasnya dinyatakan dengan
(

)

(

).

atau

atau

(

)

(

.
)

Contoh 2.4:
Sebuah peubah acak kontinu

yang mengambil nilai antara

mempunyai fungsi probabilitas ( )

Akan dicari (
( )

⁄ dan ( )

dan

.

).

⁄ , maka

(

)

. ⁄

⁄ /( )

Definisi 2.8 Fungsi Probabilitas Kontinu
Fungsi probalitas peubah acak kontinu, dikenal dengan nama fungsi
densitas probabilitas (Probability Density Function / PDF ), untuk setiap
hasil x yang mungkin jika:
1.

( )

2. ∫

3.

(

( )

)

∫

( )

Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit

11

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Fungsi (

) adalah fungsi probabilitas bersama peubah acak diskrit X

dan Y jika:
1.

(

2. ∑ ∑
3.

(

)

(

untuk setiap (
)

)

(

)
)

Untuk setiap A di bidang xy, ,(

)

-

∑∑

(

)

Contoh 2.5:
Dua buah kelereng diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 kelereng
biru, 2 kelereng merah, dan 3 kelereng hijau. Misalkan

merupakan

banyaknya kelereng yang berwarna hijau yang terambil dan

merupakan

banyaknya kelereng merah yang terambil. Nilai (

) yang mungkin

adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), dan (2,0). Sebagai contoh

(

)

memperlihatkan bahwa probabilitas kelereng merah dan hijau yang

terambil. Banyaknya semua kemungkinan hasil dari pengambilan 2
kelereng adalah ( )

. Banyaknya kemungkinan hasil pengambilan 1

kelereng merah dari 2 kelereng merah dan 1 kelereng hijau dari 3 kelereng
hijau ( )( )

. Maka

(

)

. Perhitungan probabilitas

bersama yang lain dapat dituliskan dalam tabel berikut:

Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama beserta semua kemungkinan nilai
dan peluang

12

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

(

total

)

0

1

2

baris

0

1

0

2

0

0

total kolom

1

Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu
Fungsi (

dan

jika:

(1.) (
(2.) ∫

)adalah fungsi probabilitas bersama peubah acak kontinu

(3.) ,(

∫

)
)

(

, untuk setiap (
-

)

∫∫

(

Untuk setiap A di bidang xy.

)
)

Definisi 2.11 Fungsi Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit
ditulis dengan ( ).

Fungsi distribusi kumulatif dari
( )dari peubah acak diskrit
( )

(

)

dengan fungsi probabilitas ( ) adalah:
∑

13

( ), untuk

.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Definisi 2.12 Fungsi Distribusi Kumulatif Peubah acak Kontinu
ditulis dengan ( ).

Fungsi distribusi kumulatif dari
( )dari peubah acak kontinu

adalah: ( )

(

)

dengan fungsi probabilitas kontinu ( )
( )

∫

, untuk

.

Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Kontinu
Misalkan

( ) adalah fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu

maka ( )dapatditentukan oleh:

jika turunannya ada.

( )

( )

,

( )

Definisi 2.14 Dua Peubah Acak yang Bebas
Peubah acak

dan

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
(

)

untuk semua kemungkinan nilai-nilai
fungsi probabilitas dari peubah acak
probabilitas dari peubah acak

dan (

bersama dari peubah acak dan .

Contoh 2.6:

14

( ) ( )
dan

, dengan

dan

( ) merupakan

( ) merupakan fungsi

) merupakan fungsi probabilitas

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Perhatikan Contoh 2.5, maka dapat diperlihatkan bahwa peubah
acak

dan

tidak saling bebas. Dari Tabel 2.2 terlihat bahwa

( ) , dan ( ) masing-masing adalah sebagai berikut:
f (0,1) 

(

3
14
2

3
3
1
5
 

28 14 28 14

g (0)   f (0, y ) 
y 0
2

h(1)   f ( x,1) 
x 0

3
3
3
 0
14 14
7

f (0,1)  g (0)h(1)

Maka dapat disimpulkan peubah acak

dan

tidak saling bebas.

B. NILAI HARAPAN (MEAN / RATA-RATA)
Definisi 2.15 Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit
Jika

adalah suatu peubah acak, yakni

*

probabilitas ( ), maka nilai harapan adalah:
( )

∑

+, dengan fungsi

( )

Definisi 2.16 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu
Jika

adalah suatu peubah acak dengan fungsi probabilitas ( ), nilai

harapan adalah:

15

)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

( )

( )

∫

Teorema 2.1 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Peubah
Acak
Jika

dan

merupakan suatu peubah acak, maka nilai harapan dari

jumlah peubah acak tersebut adalah:
(

)

( )

( )

Bukti:
Menurut Definisi 2.15, maka diperoleh persamaan, yaitu:

m

n

E ( X  Y )   ( xi  y j ) f (xi , y j )
i 1 j 1
m

m

n

n

  xi f (xi , y j )   y j f (xi , y j )
i 1 j 1

i 1 j 1

 E ( X )  E (Y )

Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Peubah Acak
Jika

dan

merupakan suatu peubah acak, maka nilai harapan dari

selisih peubah acak tersebut adalah:
(

)

Bukti:

16

( )

( )

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Menurut Definisi 2.15, maka diperoleh persamaan, yaitu:

m

n

E ( X  Y )   ( xi  y j ) f (xi , y j )
i 1 j 1
m

m

n

n

  xi f (xi , y j )   y j f (xi , y j )
i 1 j 1

i 1 j 1

 E ( X )  E (Y )

Teorema 2.3 Nilai Harapan dari Peubah Acak yang Saling Bebas
Misalkan
fungsi dari

) adalah

adalah peubah acak yang saling bebas. (

dan

dan (

, (

) adalah fungsi dari
) (

)-

, (

, maka

)- , (

)-

Bukti:
Misalkan (

Hasil kali (

) adalah fungsi probabilitas bersama dari

) (

) adalah fungsi dari

bebas maka menurut Definisi 2.16 menjadi:

17

dan

. Jika

dan
dan

.
saling

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

E g ( X 1 )h( X 2 ) 

 

  g ( x ) h( x
1

2

) f ( x1 , x 2 )dx 2 d x1

  
 



  g ( x ) h( x
1

2

) f1 ( x1 ) f 2 ( x 2 )dx 2 d x1

  



  g ( x1 ) f1 ( x1 )   h( x 2 ) f 2 ( x 2 )dx 2  dx1









 g ( x ) f ( x ) Eh( X )dx
1

1

1

2

1





 E h( X 2 )  g ( x1 ) f1 ( x1 )dx1


 E g ( X 1 )E h( X 2 )

C. VARIANSI
Definisi 2.17 Variansi Peubah Acak Diskrit
Jika

adalah suatu peubah acak,

*

+ , dengan fungsi

probabilitas ( ) dan nilai harapan , maka variansi
∑(

)

adalah:

( )

Definisi 2.18 Variansi Peubah Acak Kontinu
Jika

adalah suatu peubah acak dengan fungsi probabilitas ( ) dan nilai

harapan , maka variansi

adalah:

∫ (

18

)

( )

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Teorema 2.4 Variansi Peubah Acak
Jika

adalah suatu peubah acak, maka variansi
(

adalah:

)

Bukti:
Untuk peubah acak diskrit:

 2   ( x   ) 2 f ( x)
x

  ( x 2  2x   2 ) f ( x)
x

  x 2 f ( x)  2  xf ( x)  2  f ( x)
x

x

(2.1)

x

Menurut Definisi 2.15, persamaan (2.1) menjadi:

 2   x 2 f ( x)   2
x

 E( X 2 )   2

Untuk peubah acak kontinu:


 2   ( x   ) 2 f ( x)dx



  ( x 2  2x   2 ) f ( x)dx
















2
2
 x f ( x)dx   2xf ( x)dx    f ( x)dx

Menurut Definisi 2.16, persamaan (2.2) menjadi:

19

(2.2)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

2 



x

2

f ( x)dx   2



 E( X 2 )   2

D. FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
Definisi 2.19 Momen keadalah (

Momen ke- dari peubah acak

) dan dinotasikan

.

Definisi 2.20 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen
(

).

( ) untuk peubah acak

adalah

( )

Definisi 2.21 Fungsi Pembangkit Momen Bersama

adalah
( )

.

∑

+

*

Fungsi pembangkit momen bersama dari

jika ada

/

Teorema 2.5 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Peubah Acak
Misalkan
fungsi
( )

( )

adalah peubah acak yang saling bebas dengan
pembangkit
( )

( )

momen

( ). Jika

( ).

20

masing-masing
maka

adalah
( )

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Bukti:
Karena

adalah peubah acak yang saling bebas maka menurut

Teorema 2.3 dan Definisi 2.20 menjadi:




 E e
 E e  E e  ...  E e 

mY (t )  E e t  X1  X 2 ... X n 
tX 1  tX 2 ... tX n
tX 1

tX n

tX 2

 m X1 (t )  m X 2 (t )  ...  m X n (t )

E. DISTRIBUSI POISSON
Distribusi Poisson adalah salah satu distribusi peubah acak diskrit
yang digunakan untuk menghitung jumlah kejadian khusus selama jangka
waktu tertentu. Misalnya: jumlah dering telepon dalam kurun waktu 1 jam.
Definisi 2.22 Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas bagi peubah acak Poisson

, yang menyatakan

banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau
daerah tertentu didefinisikan sebagai berikut:

dengan

(

)

( )

untuk

1 2

merupakan rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi

selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan.

Teorema 2.6 Nilai Harapan Distribusi Poisson
Nilai harapan dari peubah acak diskrit

21

(

) adalah:

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

( )

Bukti:
Misalkan

. Dari Definisi 2.15 dan Definisi 2.22, maka diperoleh

persamaan, yaitu:


E( X )   x
x 0

e   x
x!

e    x 1
x 1 ( x  1)!


 

Misalkan

dan ∑

(

)

, maka diperoleh:

e  y

y!
y 0


E( X )   

Teorema 2.7 Variansi Distribusi Poisson
(

Variansi dari peubah acak diskrit

( )

) adalah:

Bukti:
Dari Definisi 2.15 dan Definisi 2.22, maka diperoleh persamaan, yaitu:


E ( X ( X  1))   x( x  1)
x 0


  x( x  1)
x2

e   x
x!
e   x
x!

e   x2
x 1 ( x  2)!


 2

22

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Misalkan

, maka diperoleh:

e   y
 2
y!
y 0


E ( X ( X  1))   2 

(2.3)

Berdasarkan Teorema 2.1, Teorema 2.2, dan Teorema 2.4, maka
persamaan (2.3) menjadi:

 2  E( X 2 )   2
 E( X 2 )  E( X )  E( X )   2
 E ( X ( X  1))  E ( X )   2
 2    2


F. DISTRIBUSI GAMMA
Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi Gamma yang
sudah dikenal luas, dan dipelajari dalam banyak bidang matematika.
Distribusi Gamma merupakan salah satu distribusi kontinu yang juga
merupakan suatu keluarga distribusi. Beberapa distribusi merupakan
distribusi khusus dari distribusi Gamma, seperti distribusi Eksponensial
dan distribusi Erlang.

Definisi 2.23 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut:
( )

∫
23

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Definisi 2.24 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Gamma
Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Gamma, yaitu:
( )
dengan parameter

{ ( )

dan

( )

.

Teorema 2.8 Sifat-sifat Distribusi Gamma
Di bawah ini terdapat beberapa sifat penting dari distribusi Gamma, yaitu:
(1). ( )
(2). ( )

(3). ( )

(

) (

(

) untuk setiap bilangan bulat positif

) untuk setiap bilangan bulat positif

dengan

Bukti:
(1). Menggunakan Definisi 2.23 dengan teknik pengintegralan kalkulus
∫
∫

(

)

∫

di
(

)

mana
,

| maka diperoleh persamaan:

24

,
,

dan

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

(k )  x k 1 (e  x


0



)    e  x (k  1) x k  2 dx
0

 x k 1 (


k 1

x
ex

1
ex

0


0



)    e  x (k  1) x k  2 dx
0



   e  x (k  1) x k  2 dx
0



k 1

0 k 1

    0    e  x (k  1) x k  2 dx
e
e
0




 k 1 0 k 1
 0    e  x (k  1) x k  2 dx

e
e
0


 0  0    e  x (k  1) x k  2 dx
0



 (k  1)  e  x x k  2 dx
0



 (k  1)  x k  2 e  x dx

(2.4)

0

Untuk

dan merupakan bilangan bulat positif maka persamaan

(2.4) menurut Definisi 2.23 menjadi:


(k )  (k  1)  x k  2 e  x dx
0



 (k  1)  x ( k 1) 1e  x dx
0

 (k  1)(k  1)

(2). Menurut Definisi 2.23 maka diperoleh persamaan:

25

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI



(1)   x k 1e  x dx
0



  x 11e  x dx
0



  e  x dx
0

 e  x


0

 0  (1)
1

(3). Menurut persamaan (2.4) dan Definisi 2.23 diperoleh persamaan:


(k  1)  ((k  1)  1)  x ( k 1)  2 e  x dx
0



 (k  2)  x ( k  2 ) 1e  x dx
0

 (k  2)(k  2)

(2.5)

Berdasarkan Teorema 2.8(1), Teorema 2.8(2), dan persamaan (2.5)
maka diperoleh persamaan baru, yaitu:

(k )  (k  1)(k  1)
 (k  1)(k  2)(k  2)
 (k  1)(k  2)(k  3)(k  3)
 (k  1)(k  2)(k  3)(k  4)(k  4)
 (k  1)(k  2)(k  3)(k  4)(k  5)(k  5)
 (k  1)(k  2)(k  3)(k  4)(k  5) ... (1)
 (k  1)(k  2)(k  3)(k  4)(k  5) ... 1
 (k  1)!

26

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Dari Teorema 2.8(3) diperoleh bahwa ( )
2.24 dapat dituliskan ulang menjadi:

(

) , maka Definisi

Definisi 2.25 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Gamma
Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Gamma, yaitu:
( )
dengan parameter

{(

)

dan

.

Teorema 2.9 Nilai Harapan Distribusi Gamma
Nilai harapan dari peubah acak kontinu
( )

(

) adalah

Bukti:
Menurut Definisi 2.16, maka diperoleh persamaan, yaitu:
( )

Misalkan

∫

(

)

maka

(2.6)

maka persamaan (2.6) menjadi:


u
E( X )   ( )
0

k

u
du
( ) k 1 e u
 (k  1)! 


Menurut Definisi 2.23 maka persamaan (2.7) menjadi:
27

(2.7)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI



E( X )  
0

k


1 k 11

(u )1 k 1 e u du
(k  1)!


1

(u ) ( k 1) 1 e u du
 (k  1)! 0


1
(k  1)
 (k  1)!

(2.8)

Menurut Teorema 2.8(3), maka persamaan (2.8) menjadi:

1
k!
 (k  1)!
1

(k  1)!k
 (k  1)!
k


E( X ) 



Teorema 2.10 Momen ke-n distribusi Gamma
Momen ke-n dari peubah acak kontinu
(

Bukti:

)

(

)

(

(

)

) adalah

Menurut Definisi 2.16 dan Definisi 2.19 diperoleh persamaan, yaitu:


E( X n )   x n
0

Misalkan

maka

k
(k  1)!

x k 1e x dx
(2.9)

, sehingga persamaan (2.9) menjadi:

28

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI



E( X n )  
0

k

u
du
( ) k 1 n e u

(k  1)! 







1
(u ) k 1 n e u du
 (k  1)! 0
n



1
 n
(u ) ( k  n ) 1 e u du

 (k  1)! 0

(2.10)

Menurut Definisi 2.23, maka persamaan (2.10) menjadi:

E( X n ) 

1
 ( k  n)
 (k  1)!
n

Teorema 2.11 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu
adalah
( )

.

(

/

Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.16 dan Definisi 2.20, maka diperoleh persamaan:
m X (t )  E (e tX )


 k

x k 1 e x dx
  e tx 
 (k )

0



0

k
(k )

x 

k 1

e

 t 
 x  1 
 

dx

(2.11)

29

)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

(

Misalkan

(

)

) atau

(

) dengan

, maka

, sehingga persamaan (2.11) menjadi:






1
1


m X (t )  

t 
t 

0
 1     1   
     

k 1

k
(k )

y k 1e  y dy

k





k k 1  y
1


y e dy

 
t   (k )
0
  1   
   
k






1  1  k k 1  y
y e dy
 k

t   (k )
0 
 1   
  
k





1  1

y k 1e  y dy



t  (k )
0
 1   
  





1 


 t 
 1   
  

k


1

 (k ) y

k 1  y

e dy

0

Berdasarkan Definisi 2.10(2) persamaan (2.12) menjadi:

30

(2.12)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

k



 1





 1
m X (t )  
t

1



k



 1 


t 

1 


1

k
t

1  
 

Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma
(

Variansi dari peubah acak kontinu

) adalah

Bukti:
Menggunakan Teorema 2.10 diperoleh persamaan:
(

)

(

)

(

)

(2.13)

Jika n = 2 maka persamaan (2.13) menjadi:

E( X 2 ) 

1
(k  2)
 (k  1)!
2

31

(2.14)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Menurut Teorema 2.8(1) dan Teorema 2.8(3), maka persamaan (2.14)
menjadi:
E( X 2 ) 








1
((k  2)  1)((k  2)  1)
 (k  1)!
1
(k  1)(k  1)
2
 (k  1)!
1
(k  1)((k  1)  1)!
2
 (k  1)!
1
(k  1)k!
2
 (k  1)!
1
(k  1)(k  1)!k
2
 (k  1)!
(k  1)k
2

2
(k 2  k )

2
k2



2



k



(2.15)

2

Dari Teorema 2.4 persamaan (2.15) menjadi:

 2  E ( X 2 )  2



k2



2



k



2

k
 ( )2



k

2

G. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Banyak sekali masalah pengambilan keputusan yang menggunakan
distribusi eksponensial dalam penyelesaiannya. Misalnya: selang waktu

32

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

antar rusaknya suatu mesin, selang waktu antar kedatangan pelanggan ke
suatu bank, dan sebagainya.

Definisi 2.26 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai
berikut:

dengan parameter

( )

{

adalah sebuah bilangan real, konstanta positif.

Teorema 2.13 Nilai Harapan Distribusi Eksponensial
Nilai harapan dari peubah acak kontinu
( )

(

) adalah

Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.26 diperoleh bahwa
diperoleh bahwa:
kontinu

(

( )

. Dari Teorema 2.9 juga

, sehingga nilai harapan dari peubah acak

) adalah:

E( X ) 


k


1



Teorema 2.14 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial
33

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

(

Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu
( )

) adalah

/

.

Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.26 diperoleh bahwa
( )

juga diperoleh bahwa:

.

momen dari peubah acak kontinu
m(t ) 

/

1
t
(1  ) k

. Dari Teorema 2.11

, sehingga fungsi pembangkit
(

) adalah:





1
t
(1  )



H. DISTRIBUSI ERLANG
Distribusi Erlang adalah salah satu distribusi kontinu yang
merupakan distribusi khusus dari distribusi Gamma di mana parameter
dari distribusi ini bernilai bilangan bulat positif. Distribusi Erlang dapat
digambarkan sebagai jumlah dari

peubah acak yang saling bebas dan

semuanya berdistribusi Eksponensial dengan nilai harapan yang sama.

34

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Grafik Distribusi Erlang
0.9

Variable
k=1
k=2
k=3
k=4

0.8
0.7
0.6

f(x)

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0

1

2
x

3

4

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Erlang

Definisi 2.27 Fungsi Probabilitas Kontinu Distribusi Erlang
Peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi Erlang dengan
parameter skala

, dan parameter , yaitu

fungsi densitas probabilitasnya dapat diberikan oleh:

dengan

( )

(
(

)

)

dan adalah bilangan bulat positif.

Teorema 2.15 Nilai Harapan Distribusi Erlang
Nilai harapan dari peubah acak kontinu
( )

35

(

) adalah

(

), jika

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa

. Dari Teorema 2.9

juga diperoleh bahwa:
( )

(

Sehingga nilai harapan dari peubah acak kontinu

E( X ) 

k
1

ks s

) adalah:

Teorema 2.16 Momen ke-n distribusi Erlang
(

Momen ke-n dari peubah acak kontinu
(

)

(

) (

(

)

) adalah
)

Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa

. Dari Teorema 2.10

juga diperoleh bahwa:
(

)

(

)

(

Sehingga momen ke-n dari peubah acak kontinu
E( X n ) 

1
 ( k  n)
(ks ) (k  1)!
n

36

)
(

) adalah:

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Teorema 2.17 Momen ke-2 distribusi Erlang
(

Momen ke-2 dari peubah acak kontinu
(

)

) adalah

Bukti:
Dari Teorema 2.16 jika n = 2, maka persamaannya menjadi:

E( X 2 ) 









1

(k  2)
(k  1)!
1
((k  2)  1)((k  2)  1)
2
ks  (k  1)!
1
(k  1)(k  1)
2
ks  (k  1)!
1
(k  1)((k  1)  1)!
2
ks  (k  1)!
1
(k  1)k!
2
ks  (k  1)!
1
(k  1)(k  1)!k
2
ks  (k  1)!
1
(k  1)k
ks 2
1
(k 2  k )
2 2 2
k s 
1
1
 2 2
2 2
s 
ks 

ks 

2

Teorema 2.18 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Erlang
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak kontinu
( )
37

.

/

(

) adalah

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa
juga diperoleh bahwa:

( )

/

.

, sehingga fungsi pembangkit
(

momen dari peubah acak kontinu

m X (t ) 

1

t 

1 
 ks 

. Dari Teorema 2.11

) adalah:

k

Teorema 2.19 Variansi Distribusi Erlang
(

Variansi dari peubah acak kontinu
(

) adalah

)

Bukti:
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa

. Dari Teorema 2.12

juga diperoleh bahwa:

Sehingga variansi dari peubah acak kontinu

2 

k

ks 2

38

(

) adalah:

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Teorema 2.20
Jika terdapat peubah acak

dan mempunyai distribusi

eksponensial dengan nilai harapan

, maka

mengikuti

distribusi Erlang dengan parameter .

Bukti:
Diberikan

dan maka akan dibuktikan

Misalkan

berdistribusi Erlang.

peubah acak yang berdistribusi eksponensial

dengan nilai harapan yang sama, yakni:

E ( X 1 )  E ( X 2 )  ...  E ( X k )
atau
1

1
Karena



1

2

 ... 

1

k



(2.16)

1



berdistribusi eksponensial dengan nilai harapan yang

sama, maka menurut Teorema 2.14 fungsi pembangkit momennya adalah
( )

.

Misalkan didefinisikan

/
, maka berdasarkan Definisi

2.21 dan Teorema 2.5 diperoleh persamaan:

39

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

m X (t )  m X 1 (t )  m X 2 (t )  ...  m X k (t )


1

1



 ...

1

t 
t
t


 1   1  
1  
   
 
1
1
1
 ...


t 
t
t


1  
 1   1  
 
   
1

k
t

1  
 

(2.17)

Dari persamaan (2.17) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi
pembangkit momen distribusi Gamma pada Teorema 2.11.
Dari Definisi 2.25 dan 2.27 diperoleh bahwa

, maka persamaan

(2.17) menjadi:

m X (t ) 

1

t 
1 

 ks 

k

(2.18)

Dari persamaan (2.18) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi
pembangkit momen distribusi Erlang pada Teorema 2.18.
Jadi, peubah-peubah acak

yang saling bebas dan masing-

masing berdistribusi Eksponensial,
distribusi Erlang dengan parameter .

40

akan menghasilkan

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

I. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov

Uji sampel Kolmogorov-Smirnov adalah suatu uji goodness of fit
(keserasian). Artinya, yang diperhatikan adalah tingkat kesesuian antara
distribusi dari serangkaian sampel (skor yang diobservasi) dengan suatu
distribusi teoritis tertentu. Uji ini diperkenalkan pada tahun 1933 oleh
matematikawan Rusia A. N. Kolmogorov. Uji ini menetapkan apakah
secara logis nilai-nilai sampel dapat dianggap berasal dari suatu populasi
dengan distribusi teoritis tertentu.
Dalam uji ini, pengujian dilakukan pada dua buah fungsi distribusi
kumulatif, yaitu fungsi distribusi kumulatif yang dihipotesiskan dan fungsi
distribusi kumulatif yang diamati. Misalkan dengan mengambil sebuah
sampel acak dari suatu fungsi distribusi ( ) yang belum diketahui. Akan
dipastikan apakah dapat disimpulkan bahwa ( )
dengan

( ) untuk semua ,

( ) adalah fungsi distribusi kumulatif yang dihipotesiskan.

Dimisalkan juga

( )adalah fungsi sebaran kumulatif dari suatu

sampel acak yang diamati dengan N pengamatan. Dengan
sembarang nilai yang mungkin, S N  X  
yang sama atau kurang dari
setiap harga ,
selisih antara

k
, k adalah jumlah pengamatan
N

. Dalam uji ini diharapkan bahwa untuk

( )mendekati

( ) dengan

adalah

( ). Artinya, di bawah

diharapkan

( )adalah kecil, dan ada dalam batas-batas

kesalahan acak. Uji Kolmogorov-Smirnov memusatkan perhatian pada
penyimpangan(deviasi) terbesar. Nilai
41

( )

( ) terbesar dinamakan

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

deviasi maksimum, dinyatakan dengan D = maksimum F0  X   S N  X  .
Perlu diperhatikan bahwa signifikasi suatu nilai D tertentu D  adalah
bergantung pada jumlah pengamatan (N). Untuk
dan

diterima sedangkan jika

maka

maka
diterima dan

ditolak
ditolak.

Langkah-langkah penghitungan uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov
adalah:
1. Tentukan hipotesis terlebih dahulu.
Dapat disesuaikan dengan kasus yang diamati, yaitu sebagai berikut:
( )

2. Tetapkan tingkat signifikasi
3. Hitung

( ) dan

4. Hitung | ( )

5. Carilah

( )

( )

( )

yang digunakan.

( ) dari nilai-nilai data yang diamati.

( )| dari setiap nilai yang diamati.

6. Carilah
7. Jika
maka

maka
diterima dan

ditolak dan

diterima sedangkan

ditolak.

Untuk memudahkan penghitungan, uji sampel Kolmogorov-Smirnov dapat
dilakukan dengan SPSS. Contohnya dapat dilihat dalam Contoh 2.8
berikut ini:
Contoh 2.7:

42

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Di bawah terdapat data suatu sampel acak. Apakah datanya berdistribusi
Poisson?
Tabel 2.3 Data Suatu Sampel Acak
1

4

1

1

3

5

2

2

2

2

2

3

Data

Uji hipotesis:
1. H0

: data berdistribusi Poissson

H1

:data tidak berdistribusi Poisson

2. Tingkat signifikasi ( )

3. Daerah penolakan

:

Asymp. Sig. (2-tailed)<

maka H0 ditolak

Asymp.Sig. (2-tailed)>

maka H1 ditolak

Tabel 2.4 Hasil SPSS
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Data
N

13

Poisson Parametera,,b

Mean

Most Extreme

Absolute

.099

Differences

Positive

.098

43

2.3077

2

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Negative
Kolmogorov-Smirnov Z

-.099
.359

Asymp. Sig. (2-tailed)

1.000

a. Test distribution is Poisson.
b. Calculated from data.

4. Dari hasil uji One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test di atas tampak
bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) adalah 1.
Asymp. Sig. (2-tailed) = 1
= 0,05

Jadi, Asymp. Sig. (2-tailed)> . Dengan demikian berarti H0 diterima dan
H1 ditolak. Jadi, dapat disimpulkan data berdistribusi Poisson.

44

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB III
MODEL-MODEL ANTRIAN

A. UNSUR-UNSUR DASAR MODEL ANTRIAN
Antrian merupakan proses saling menunggu giliran untuk
menerima pelayanan. Dalam proses antrian biasanya pelanggan tiba di satu
sarana pelayanan kemudian bergabung dalam sebuah antrian. Pelayan
memilih pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan. Setelah
selesainya pelayanan, pelayan akan memilih pelanggan yang baru dan
diulangi kembali proses tersebut dari awal.
Dalam antrian terdapat beberapa unsur-unsur dasar, diantaranya
sebagai berikut:
1. Distribusi Kedatangan
Pada sistem antrian, distribusi kedatangan merupakan faktor
penting yang berpengaruh besar terhadap kelancaran pelayanan. Dalam
distribusi kedatangan memuat waktu antar kedatangan yang berarti
waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan.
Waktu antar kedatangan diringkas dalam bentuk distribusi
probabilitas,

yang

umumnya

disebut

distribusi

kedatangan.

Kedatangan pelanggan untuk masuk dalam sistem antrian terbagi
menjadi dua,