KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH DAN KOMUNIKA
ISSN : 1858 – 0629
WAH AN A
M ATEM ATI KA D AN SAI N S
Jurnal Matematika, Sains, atau Pembelajarannya
Volume 6 No. 12, Oktober 2009
M ODEL D I N AM I K UN TUK EPI D EMI PERTUSSI S
DEN GAN V AKSI N TAK SEM PURN A
PEROM BAKAN ZAT W ARNA REAKTI F AZ O SECARA AN AEROB
M EN GGUN AKAN KON SORSI UM BAKTERI H ASI L I SOLASI D ARI
LUM PUR LI M BAH TEKSTI L
ADSORPSI I ON Cr 3 + OLEH KULI T KACAN G TAN AH ( Ar achis
h ypoga ea L.)
I N TERVEN SI ERGON OM I D ALAM PEM BELAJARAN SAI N S
M EN GURAN GI KELUHAN M USKULOSKELETAL SI SW A SD 1
SAN GSI T KECAM ATAN SAW AN KABUPATEN BULELEN G
I M PLEM EN TASI PEM BELAJARAN M EN GGUN AKAN M EDI A
KOM PUTER UNTUK M EN I N GKATKAN KUALI TAS BELAJAR KI M I A
SI SW A KELAS X SM AN 4 SI N GARAJA
KEM AM PUAN PEM ECAHAN M ASALAH DAN KOM UN I KASI
M ATEM ATI KA PESERTA OLI M PI AD E M ATEM ATI KA SEKOLAH
DASAR DI PROV I NSI BALI
WMS
Vol. 6
No. 12
Hlm.
97 - 188
Singaraja
Oktober
2009
ISSN
1858 - 0629
Diterbitkan oleh
FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
KEM AM PUAN PEM ECAH AN M ASALAH D AN KOM UN I KASI
M ATEM ATI KA PESERTA OLI M PI ADE M ATEM ATI KA SEKOLAH
DASAR DI PROV I N SI BALI
I Wayan Puja Astawa
Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Ganesha
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kemampuan pemecahan
masalah dan kemampuan komunikasi matematika peserta olimpiade
matematika Sekolah Dasar di provinsi Bali. Penelitian ini merupakan
penelitian reflektif-ekploratif terhadap 65 orang siswa Sekolah Dasar di
Provinsi Bali yang mengikuti kompetisi tingkat provinsi dari tahun 2004
sampai 2008. Pemenang olimpiade tingkat provinsi berhak mewakili Bali
dalam Olimpiade Sains Nasional (OSN) dalam bidang matematika. Hasil
penelitian menunjukkan bahwa kemampuan pemecahan masalah
matematika peserta tergolong baik dengan rerata 71,71 dan simpangan
baku sebesar 7,46. Kemampuan komunikasi matematika juga tergolong
baik dengan rerata 65,40 dan simpangan baku sebesar 4,99. Kemampuan
pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi seperti ini secara
empiris mampu menghasilkan medali perak dan perunggu dalam OSN
setiap tahun. Peningkatan kemampuan pemecahan masalah dan
komunikasi matematika masih diperlukan sampai berkategori sangat baik
untuk dapat mencapai hasil yang maksimal dalam ajang OSN.
Kata-kata kunci : pemecahan masalah, komunikasi matematika,
olimpiade matematika SD
Abstract
The objective of this research was to know the problem solving and
communication abilities of elementary students who were participated in
mathematics Olympiad in Bali province. It was a reflective-explorative
research on 65 elementary school students who followed a competition at
province level from the year 2004 until 2008. The winner of this
competition has a privilege to be a team member of Natioal Science
Olympiad on matematics from Bali. The result of the research showed
that the ability of problem solving was good with average of 71.71 and
standard deviation of 7.46. In addition, the ability of communiction wass
also good with average of 65.40 and standar deviation of 4.99.
©FMIPA Undiksha
173
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
Empirically, with these abilities, contestants of national science
olympiade in mathematics for elemantary school students from Bali
successed in obtaining silver and bronze medals every year. Increasing
the problem solving and comunication skill in mathematics is still needed
until excellent category in order to get a maximum result in national
science olympiade in mathematics.
Key words : problem solving, comunication, elemantary school mathematics
olympiad
1. Pendahuluan
Peningkatan mutu pendidikan merupakan salah satu poin penting yang
diamanatkan oleh Undang-undang (UU) Republik Indonesia No 20 tahun 2003 tentang
sistem pendidikan nasional. Hal ini sangat mudah dipahami karena mutu pendidikan
akan menjadi ujung tombak untuk meningkatkan daya saing bangsa (nation
competitiveness) dalam menghadapi persaingan global. Mutu pendidikan dalam berbagai
bidang ilmu menjadi hal yang mutlak untuk ditingkatkan karena berbagai indikator
menunjukkan mutu pendidikan di Indonesia masih sangat rendah seperti indeks
pengembangan sumberdaya manusia (Human Development index), TIMSS study,
maupun laporan berbagai hasil ujian akhir baik di sekolah maupun ujian nasional.
Sejalan dengan amanat UU no. 30 tahun 2003 tersebut, mutu pendidikan juga
digariskan dalam peraturan pemerintah (PP) no 19. tahun 2005 tentang standar nasional
pendidikan. Dalam PP ini ditegaskan tentang pentingnya mutu pendidikan dan sistem
penjaminannya yang memuat hal-hal yang berkaitan dengan standarisasi pendidikan
secara nasional. Secara nasional harus ada acuan tentang standar isi, standar proses,
standar pengelolaan, standar keuangan dan standar lainnya yang berkaitan dengan proses
pendidikan sebagai suatu sistem. Penetapan standar secara nasional dimaksudkan
sebagai acuan mutu pengembangan pendidikan di daerah-daerah sehingga dapat
dibandingkan antara satu daerah dengan daerah yang lainnya.
Berbagai upaya peningkatan mutu pendidikan telah dilakukan pemerintah RI.
Salah satunya adalah menyediakan sarana atau wadah kompetisi atau lomba berbagai
mata pelajaran dari berbagai jenjang pendidikan (Sekolah Dasar (SD), Sekolah
Menengah Pertama (SMP), dan Sekolah Menengah Atas (SMA)) secara nasional yang
174
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
dinamai Olimpiade Sains Nasional (OSN) yang sudah dimulai sejak tahun 2002. Khusus
untuk siswa SD, mata pelajaran yang dikompetisikan adalah matematika dan IPA serta
mulai dilaksanakan tahun 2003 sejak OSN ke-2 di kota Balikpapan propinsi Kalimantan
Timur.
Pada jenjang OSN matematika SD, keikutsertaan seluruh daerah di Indonesia
merupakan suatu kewajiban karena pemerintah pusat membuat kebijakan agar setiap
propinsi menempatkan wakil-wakil siswanya untuk mengikuti OSN. Hal ini bertujuan
untuk meningkatkan pemerataan mutu pendidikan ke seluruh wilayah Indonesia.
Sebagai salah satu propinsi di Indonesia, Bali telah mengirim siswa-siswa SD dalam
OSN matematika sejak di Balikpapan tahun 2003 sampai dengan OSN matematika SD
tahun 2008 di Makasar. Prestasi siswa SD dari provinsi Bali di OSN matematika cukup
baik dengan memperoleh 6 perak dan 6 perunggu (Puja Astawa, 2003, 2004, 2005,
2006a, 2007, 2008) Persentase siswa yang mampu memperoleh medal/juarai pada OSN
sebesar 85,7% (42,85% memperoleh medaliperak dan 42,85% memperoleh medali
perunggu). Keberhasilan meraih medali ini tergolong cukup tinggi dengan sebaran yang
cukup merata. Akan tetapi, peserta OSN matematika SD dari Bali belum mampu meraih
prestasi tertinggi (belum memperoleh medali emas). Hal ini perlu ditelusuri agar akar
permasalahan yang menjadi penghambat keberhasilan memperoleh medali emas dapat
diidentifikasi.
2. Kajian Literatur
Tipe Soal Olimpiade
Soal-soal olimpiade matematika SD disusun untuk menguji kemampuan siswa
untuk menyelesaikan masalah matematika yang tidak rutin (Muchlis, A, 2004). Hal ini
berarti bahwa siswa dituntut untuk menggunakan seluruh kemampuan matematika yang
telah diperoleh di sekolah secara kreatif untuk menyelesaikan soal-soal matematika.
Keberhasilan siswa dalam menyelesaikan soal-soal tidak rutin tergantung dari kreasi dan
inovasi mereka dalam menerjemahkan dan merencakan pemecahan masalah/soal-soal.
Soal-soal yang dilombakan dikategorikan menjadi 3 kategori yaitu soal isian singkat,
©FMIPA Undiksha
175
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
soal uraian, dan soal eksplorasi Tiga contoh berikut merupakan contoh soal OSN yang
diambil dari Muchlis A, dkk, 2006).
Contoh 1. Soal isian singkat
Bilangan X adalah sebuah pecahan. Jika pembilang X ditambah 3 maka diperoleh
pecahan baru 2/3 . Jika penyebut X dikurangi 1 maka diperoleh pecahan baru 1/2 .
Tentukan X.
Solusi yang diharapkan
Pecahan yang penyebutnya dikurangi 1 akan menjadi pecahan
1
1
diantaranya adalah ,
2
3
2 3 5 6 7 8
, ,
,
,
,
dan lain-lain. Dari pecahan-pecahan tersebut yang memenuhi
5 7 11 13 15 17
jika pembilangnya ditambah 3 menghasilkan pecahan
2
7
adalah
.
3
15
Contoh 2. Soal uraian
Sekelompok siswa akan menggunakan sejumlah komputer. Jika setiap komputer
digunakan oleh dua orang, ada tiga siswa yang tidak mendapat komputer. Sebaliknya,
jika setiap komputer digunakan oleh tiga orang, ada tiga komputer yang tidak terpakai.
Berapa banyak siswa yang akan mengunakan komputer tersebut?
Solusi yang diharapkan:
Persoalan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Pada gambar di sebelah kiri, 6 siswa dari 3 komputer pertama dan 3 siswa yang tidak
mendapat komputer didistribusikan seorang-seorang ke komputer lain yang semula
masing-masing digunakan oleh 2 orang siswa seperti pada gambar di sebelah kanan.
Dengan demikian, 9 siswa akan mengisi 9 komputer sehingga masing-masing komputer
176
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
dihadapi oleh 3 orang siswa. Jadi, siswa yang menggunakan komputer adalah 9 x 3
orang = 27 orang dan banyak komputer adalah 12 buah.
Contoh 3. Soal eksplorasi
Pada Gambar 2(a), ABCD adalah sebuah persegi. Pada papan berpaku 4×4 hanya dapat
dibentuk dua persegi yang kongruen dengan persegi ABCD seperti ditunjukkan pada
Gambar 2(b).
a. Pada papan berpaku 5×5, berapa banyak persegi yang kongruen dengan
persegi ABCD yang dapat dibentuk?
b. Pada papan berpaku 6×6, berapa banyak persegi yang kongruen dengan
persegi ABCD yang dapat dibentuk ?
c. Berapa banyak persegi yang kongruen dengan persegi ABCD yang dapat
dibentuk pada papan berpaku 10 × 10?
Solusi yang diharapkan:
a. pada papan berpaku 5 x 5, ada 8 persegi yang kongruen dengan ABCD
b. pada papan berpku, 6 x 6 ada 18 persegi
c. dari a dan b diperoleh informasi bahwa untuk papan 5 x 5 diperoleh persegi kongruen
sebanyak (2x2) + (2x2) = 8, untuk papan 6 x 6 diperoleh persegi kongruen sebanyak
©FMIPA Undiksha
177
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
(3x3) + (3x3) = 18,sehingga untuk papan 10 x 10, banyak persegi menjadi (7x7) +
(7x7) = 98
Stategi Pemecahan Masalah
Pemecahan-masalah merupakan bagian dari kurikulum matematika yang sangat penting
karena dalam proses pembelajaran maupun penyelesaian siswa dapat memperoleh
pengalaman menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk
diterapkan pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Pentingnya pemecahan
masalah dalam matematika belum dijadikan sebagai kegiatan utama dalam pembelajaran
guru. Padahal, di negara-negara maju seperti Amerika Serikat dan Jepang kegiatan
tersebut dapat dikatakan merupakan inti dari kegiatan pembelajaran matematika sekolah
(Erman Suherman dkk., 2003)
Menurut
Polya
(1957),
pemecahan
masalah
memuat
empat
langkah
penyelesaian, yaitu memahami masalah, merencanakan penyelesaian, menyelesaikan
masalah sesuai rencana, dan melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah
yang telah dikerjakan. Keempat langkah pemecahan masalah ini merupakan satu
kesatuan yang dapat dikembangkan menjadi suatu keterampilan. Salah satu cara untuk
mengembangkan kemampuan anak dalam pemecahkan masalah adalah melalui
memberikan pengalaman pemecahan masalah yang memerlukan strategi berbeda-beda
dari satu masalah ke masalah lainnya. Strategi-strategi pemecahan masalah yang sering
digunakan adalah Strategi Act It Out, Membuat Gambar atau Diagram, Menemukan
Pola, Membuat Tabel, Memperhatikan semua Kemungkinan Secara Sistematik, Tebak
dan Periksa (Guess and Check), Strategi Kerja Mundur, Menggunakan Kalimat
Terbuka, Menyelesaikan Masalah yang Mirip atau Masalah yang Lebih Mudah, dan
Mengubah Sudut Pandang. Untuk memperkenalkan suatu strategi tertentu kepada siswa,
diperlukan perencanaan yang matang. Sulit bagi guru untuk dapat memperkenalkan
setiap strategi pemecahan masalah dalam waktu yang terbatas dan bagi siswa yang
sudah belajar strategi tertentu, masih memerlukan waktu untuk memperoleh rasa
percaya diri dalam menerapkan strategi yang sudah dipelajarinya
Selain kemampuan pemecahan masalah, kemampuan komunikasi matematika juga
penting dalam OSN matematika. Kemampuan komunikasi matematika menggambarkan
178
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
kemampuan mengorganisasi hasil pemikiran menjadi paparan yang jelas dengan
menggunakan bahasa dan simbul matematika yang baik dan benar. Kemampuan
komunikasi matematika juga akan menunjang kemampuan pemecahan masalah karena
akan menggambarkan aspek-aspek kemampuan pemecahan masalah seperti memahami
masalah, memiliki rencana penyelesaian, keterampilan melaksanakan rencana yang
dibuat, dan melakukan pengecekan hasil. Kemampuan pemecahan masalah akan terasa
utuh dan padu lewat komunikasi matematika yang baik. Keterkaitan yang erat soal-soal
OSN dengan pemecahan masalah dan komunikasi matematika membuat perlunya
mengetahui kemampuan siswa peserta olimpiade matematika SD di Bali berkaitan
dengan kedua kemampuan tersebut. Pengetahuan ini akan berguna untuk mencari
permasalahan berkaitan dengan belum maksimalnya prestasi dalam ajang yang sama di
tingkat nasional.
3. Metode
Penelitian ini merupakan penelitian survei yang berkategori reflektif eksploratif
dengan subjek penelitiannya adalah semua siswa Sekolah Dasar di provinsi Bali yang
memenuhi syarat sebagai peserta olimpiade matematika dari tahun 2004 sampai tahun
2008. Pemilihan peserta olimpiade dari seluruh kabupaten dan kotamadya yang ada di
Bali menggunakan metode pengambilan sampel dengan teknik purposive dan kuota
sampling. Teknik purposive digunakan untuk memilih siswa-siswa yang mempunyai
kemampuan tinggi dalam bidang matematika dan teknik kuota sampling digunakan
untuk memberi perimbangan pada seluruh daerah kabupaten dan kota di Bali. Subjek
penelitian seluruhnya berjumlah 65 orang.
Data yang diperlukan berupa kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan
komunikasi matematika. Untuk mengumpulkan data tersebut di atas digunakan tes yang
mengacu pada soal-soal standar OSN. Kemampuan pemecahan masalah meliputi empat
komponen pemecahan masalah yang dikemukakan oleh Polya seperti kemampuan
memahami masalah, kemampuan membuat rencana penyelesaian, kemampuan
melaksanakan rencana yang dibuat, dan kemampuan mengecek kembali hasil yang
didapatkan. Kemampuan komunikasi matematika berkaitan dengan kemampuan
©FMIPA Undiksha
179
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
menggunakan
informasi,
konsep,
dan
representasi
matematika,
kemampuan
menyampaikan argumen secara tertulis, dan kemampuan membuat kesimpulan.
Data dianalisis secara deskriftif kualitatif dengan menentukan rata-rata skor
kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi matematika serta mengomparasi
dengan acuan patokan untuk menentukan kategorinya. Rata-rata dihitung dengan rumus
n
xi
i 1
X
n
dan selanjutnya dikomparasi dengan kriteria penggolongan berdasarkan
acuan patokan berikut:
X
85% SM
sangat baik
70% SM
X < 85% SM
baik
55% SM
X < 70% SM
cukup
40% SM
X < 55% SM
kurang
X < 40% SM
sangat kurang
(Modifikasi dari Nurkencana dan Sunartana, 1992)
dengan X menyatakan rerata kemampuan pemecahan masalah dan SM merupakan skor
maksimal dari tes kemampuan pemecahan masalah bila semuanya dijawab dengan
benar.
4. Hasil dan Diskusi
Hasil Penelitian
Hasil penelitian berupa kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan
komunikasi matematika disajikan pada tabel berikut
Tahun
2004
2005
2006
2007
2008
2004-2008
PM
68,55 (9,12)
75,30 (6,02)
73,20 (7,05)
75,20 (6,14)
70,20 (5,06)
71,71 (7,46)
Kriteri
Cukup
Baik
Baik
Baik
Baik
Baik
KM
63,00 (3,68)
67,60 (2,37)
66,50 (4,74)
64,00 (6,58)
67,33 (5,63)
65,40 (4,99)
Kriteri
Cukup
Cukup
Cukup
Cukup
Cukup
Cukup
Catatan. PM = Pemecahan Masalah, KM = Komuniksi MatematikaNilai dalam
kurung menyatakan simpangan baku.
180
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
Berdasarkan tabel di atas dapat diketahui bahwa secara umum kemampuan
pemecahan masalah peserta OSN berkategori baik dengan rata-rata kemampuannya
sebesar 71,71 (dari skor total 100) dan simpangan baku sebesar 7,46. Kemampuan
komunikasi
matematika
peserta
OSN
berkategori
cukup
dengan
rata-rata
kemampuannya sebesar 65,40 (dari skor total 90) dan simpangan baku sebesar 4,99
Kemampuan pemecahan masalah tersebut bervariasi dari tahun ke tahun dengan
sebaran rata-rata kemampuannya dari 68,55 sampai dengan 75,30 yang berarti berkisar
antara kemampuan yang cukup dan kemampuan yang baik. Komparasi secara visual
kemampuan pemecahan masalah matematika dari tahun 2004 sampai tahun 2008 dapat
dilihat pada diagram kotak garis pada gambar 1. Kemampuan komunikasi matematika
juga bervariasi dari tahun ke tahun dengan sebaran rata-rata kemampuannya dari 63,00
sampai dengan 67,60 yang berarti berkisar antara kemampuan yang cukup. Komparasi
secara visual kemampuan komunikasi matematika dari tahun 2004 sampai tahun 2008
dapat dilihat pada diagram kotak garis pada gambar 2.
Boxplots of PM by Tahun
Boxplots of KM by Tahun
85
75
80
70
75
65
70
60
65
55
60
50
Tahun
Tahun
Gambar 1. Diagram kotak garis Kemampuan
pemecahan masalah tahun 2004 – 2008
Gambar 2. Diagram kotak garis Kemampuan
komunikasi matematika tahun 2004 – 2008
Pembahasan
Hasil analisis data menunjukkan bahwa kemampuan pemecahan masalah peserta
olimpiade matematika sekolah dasar di provinsi Bali secara umum tergolong baik
dengan rerata sebesar 71,71 dan simpangan baku sebesar 7,46. Akan tetapi kalau
dicermati dari variasi kemampuan individual maka terdapat gambaran bahwa
©FMIPA Undiksha
181
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
kemampuan tersebut tidak merata. Variasi kemampuan ini dapat dibaca dari standar
deviasi skor kemampuan pemecahan masalah di sekitar reratanya yang cukup besar.
Empat kemampuan pemecahan masalah yang dikemukakan oleh Polya merupakan
satu kesatuan kemampuan yang tidak terpisahkan sebagai wujud yang utuh dalam
menyelesaikan suatu masalah. Secara umum peserta OSN matematika di provinsi Bali
mampu memahami masalah dengan baik yang dapat dilihat pada kemampuannya
menginvestigasi kecukupan informasi yang diberikan dalam masalah dan apa yang
hendak dipecahkan dalam masalah. Pemahaman terhadap masalah yang baik belum
sepenuhnya didukung oleh pengetahuan tentang strategi-strategi pemecahan masalah
yang dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah. Sebagian kecil peserta bahkan
tidak mempunyai strategi menyelesaikan masalah yang diberikan. Hal ini menyebabkan
lemahnya kemampuan perencanaan terhadap pemecahan masalah dari sebagian peserta.
Kemampuan melaksanakan rencana yang telah dibuat bagi peserta yang mempunyai
strategi penyelesaian terhadap masalah sangat baik. Mereka secara umum mampu
melakukan manipulasi aljabar, menghubungkan fakta-fakta dasar, memanfaatkan
informasi yang tersedia dalam menuntaskan penyelesaian strategi yang dipilih dengan
prosedur yang benar. Walaupun demikian, sebagian kecil masih ada yang gagal
menyelesaikan strategi yang telah mereka pilih. Hasil yang diperoleh dari menyelesaikan
strategi pemecahan masalah/perencanaan pemecahan masalah umumnya merupakan
solusi dari persoalan yang diberikan. Sebagian besar peserta menyelesaikan masalah
yang diberikan berhenti pada penyelesaian strategi pemecahan masalah yang digunakan.
Mereka jarang mengecek kembali hasil yang telah diperoleh. Hal ini tergambar dari
beberapa persoalan yang diberikan yang solusinya merupakan modifikasi lanjutan dari
hasil pelaksanaan terhadap strategi yang digunakan. Akibatnya pada beberapa
permasalahan yang semestinya mampu dijawab benar tetapi tidak memperoleh hasil
sempurna akibat tidak menjawab apa yang ditanyakan.
Sejalan dengan kemampuan pemecahan masalah, kemampuan komunikasi
matematika peserta olimpiade matematika di provinsi Bali juga tergolong baik dengan
rerata 65,40 dan standar deviasi 4,99. Variasi kemampuan komunikasi matematika
secara individual juga masih tergolong tinggi. Hal ini mencerminkan bahwa kemampuan
182
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
komunikasi matematika peserta tidak merata bahkan ada yang tergolong dalam
kualifikasi yang sedang-sedang saja.
Dalam mengomunikasikan gagasan penyelesaian masalah, peserta mampu
menggunakan informasi yang diberikan pada masalah, menggunakan konsep yang benar
dalam menyelesaikan masalah, dan menggunakan representasi matematika yang tepat.
Akan tetapi; kemampuan menyampaikan argumen secara tertulis dan kemampuan
membuat kesimpulan masih perlu ditingkatkan
Variasi kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi terhadap
suatu permasalahan yang penyelesaiaannya diperoleh peserta juga beragam. Pada
beberapa masalah kedua kemampuan ini ditampilkan dengan sangat baik tetapi pada
beberapa masalah yang lain hanya sebagian dari kedua kemampuan ini dapat
ditampilkan dengan baik. Kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi
sangat baik terlihat pada kasus berikut.
Penyelesaian di atas merupakan penyelesaian terhadap permasalahan berikut “Suatu
barang harganya dinaikkan 10% dari harga awal kemudian diturunkan 10%. Terhadap
harga awal, Apakah harga akhir naik, turun atau tetap? Hitung prosentase perubahan
harga tersebut!”. Pemecahan masalah yang diberikan di sini sangat komprehensif
dengan pemahaman masalah yang sangat baik, perencanaan dengan strategi
menggunakan hubungan-hubungan aljabar dengan menggunakan konsep-konsep
matematika yang benar. Pengerjaan secara aljabar sangat baik sehingga mampu
memperoleh hasil yang diharapkan dan mampu menjawab masalah yang diberikan
dengan benar. Pengecekan kembali juga sangat tegas dilakukan di sini. Pemamparan
pemecahan masalah yang dilakukan juga sangat jelas dengan memanfaatkan bahasa
matematika dan reprsentasi aljabar yang tepat.
©FMIPA Undiksha
183
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
Kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi matematika yang
belum sempurna dapat dilihat dari solusi yang diberikan peserta terhadap permasalahan
berikut. “Seorang penjual tepung ingin menimbang 7 gram tepung. Akan tetapi dia tidak
mempunyai batu timbangan yang beratnya 7 gram. Ia hanya memiliki batu timbangan
yang beratnya 3 gram, 5 gram, 6 gram, dan 9 gram. Bagaimana cara penjual tepung itu
memperoleh tepung seberat 7 gram?” Berikut salah satu solusi
Kemampuan pemecahan masalah dalam hal ini cukup baik dengan menggunakan logika
yang benar. Strategi pemecahan masalah dengan menggunakan gambar juga sangat baik.
Akan tetapi kejelasan dalam menyelesaikan strategi yang dipilih masih kurang. Hal ini
berakibat pada kemampuan pemecahan masalah secara komprehensif. Kemampuan
komunikasi matematika juga belum begitu baik. Penggunaan bahasa matematika dan
representasi cukup baik akan tetapi dalam menyajikan kesimpulan masih kurang
sehingga belum mampu memberikan gambaran utuh terhadap prosedur kerja dari
strategi yang digunakan dan juga belum mampu menggambarkan penyelesaian yang
tepat terhadap permasalahan.
184
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
Kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi matematika yang kurang
seperti pada permasalahan berikut.”Dua bersaudara masing-msing berumur 5 dan 8
tahun. Dalam berapa tahun lagi perbandingan umur mereka menjadi 3 : 4?”.
Pada penyelesaian ini, keempat langkah pemecahan masalah dari Polya tidak
tergambarkan secara jelas. Demikian pula dalam mengomunikasikan gagasan
matematikanya.
Penggunaan
bahasa
matematika
maupun
representasi
dalam
penyampaian ide matematika sangat kurang. Kesimpulan yang ditarik dari penyelesaian
yang ditampilkan tidak mempunyai dasar yang kuat karena argumen-argumen yang
dikemukakan tidak menunjukkan kohesivitas gagasan matematika.
Kualitas kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi matematika peserta
olimpiade matematika SD seperti di atas secara empiris mampu mengantarkan peserta
dari Bali untuk memperoleh juara di tingkat nasional. Hal ini dibuktikan dari tahun ke
tahun sejak tahun 2003 selalu memperoleh medali baik perak maupun perunggu. Hal ini
sangat rasional dan menguatkan praduga sebelumnya bahwa tingkat kemampuan peserta
sebelum berlomba dalam ajang olimpiade sains nasional sangat menentukan
keberhasilan mereka dalam merebut medali. Hal ini disebabkan karena soal-soal
matematika dalam olimpiade sains nasional sebagian besar merupakan soal-soal yang
berkategori pemecahan masalah yang memerlukan kreativits tinggi. Keberhasilan yang
telah diperoleh dengan kondisi kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi seperti
diatas bukanlah satu-satunya faktor penentu keberhasilan. Kondisi kemampuan
pemecahan masalah dan komunikasi matematika kompetitor dari daerah lain juga turut
berperan.
Perebutan medali dalam ajang OSN tentu saja sangat ketat karena para peserta
lomba telah mempersiapkan diri dengan baik. Apalagi para peserta merupakan wakil-
©FMIPA Undiksha
185
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
wakil provinsi yang telah diseleksi dengan ketat dan memperoleh pembinaan dalam
jangka waktu tertentu. Hasil seleksi dan pembinaan seperti ini tentu saja melahirkan
kualitas peserta dengan kemampuan pemecahan masalah yang baik dan bahkan sangat
baik. Kompetisi diantara peserta dengan kualifikasi seperti ini tentu cenderung
dimenangkan oleh peserta yang mempunyai kualifikasi kemampuan pemecahan masalah
yang sangat baik. Argumentasi ini dapat memberikan justifikasi berkaitan dengan belum
berhasilnya peserta dari Bali menjadi yang terbaik (memperoleh medali emas) karena
kemampuan pemecahan masalah mereka belum berkategori sangat baik.
Kemampuan pemecahan masalah yang baik dengan dukungan kemampuan
komunikasi yang baik pula tentu mempengaruhi kemampuan bersaing untuk
memeperebutkan medali dalam ajang olimpiade sains nasional. Dalam ajang kompetsisi
seperti itu kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi matematika yang baik atau
bahkan sangat baik akan memungkinkan membawa hasil yang memuaskan sehingga
mampu memperoleh prestasi puncak. Hasil-hasil OSN matematika peserta dari Bali
yang diperoleh selama ini menunjukkan perlunya meningkatkan kemampuan pemecahan
masalah dan kemampuan komunikasi matematika calon peserta agar mencapai
kualifikasi sangat baik sehingga dapat memperbesar peluang menjadi juara.
5. Simpulan dan Saran
Berdasarkan hasil analisis data yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa
kemampuan pemecahan masalah matematika peserta olimpiade matematika SD di
provinsi Bali tergolong baik dengan rerata 71,71 dan simpangan baku 7,46 dan
kemampuan komunikasi matematika mereka tergolong sedang dengan rerata 65,40 dan
simpangan baku 4,99. Kemampuan pemecahan masalah yang baik namun belum
didukung oleh kemampuan komunikasi yang baik menjadi salah satu faktor penyebab
kegagalan peserta dari Bali memperoleh medali emas dalam olimpiade sains nasional
bidang matematika.
Kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi matematika
peserta olimpiade matematika SD dari provinsi Bali mutlak harus terus ditingkatkan agar
mampu memperoleh prestasi tertinggi dalam ajang OSN matematika. Peningkatan
186
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
kemampuan pemecahan masalah hendaknya diawali dari proses pembelajaran di kelas
dengan menanamkan konsep-konsep matematika secara benar dilanjutkan dengan
melatih keterampilan pemecahan masalah. Peningkatan kemampuan komunikasi juga
harus ditingkatkan dengan jalan memberilkan latihan-latihan soal yang mengharapkan
siswa mengorganisasi pemikirannya dan menuliskannya dengan menggunakan bahasa
dan simbol matematika dengan baik dan benar. Melatih kemampuan komunikasi
matematika juga dapat dilakukan dengan memberi kesempatan siswa mempresentasikan
gagasannya atau membantah pendapat temannya dalam pembelajaran di kelas melalui
diskusi kelas.
6. Daftar Pustaka
Anonim. 2003. Olimpiade Matematika dan IPA Nasional Tingkat SD/MI.
Jakarta:Direktorat TK dan SD Dirjen Dikdasmen Depdiknas.
Anonim. 2004. Olimpiade Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Sekolah
Dasar/Madrasah Ibtidaiyah Tingkat Nasional. Jakarta:Direktorat TK dan SD
Dirjen Dikdasmen Depdiknas.
Anonim. 2005. Olimpiade Sains Nasional Tingkat SD/MI. Jakarta:Direktorat TK dan SD
Dirjen Dikdasmen Depdiknas.
Erman Suherman, dkk., 2002. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer.
Bandung : UPI
Muchlis, A. 2003. Olimpiade Matematika Sekolah Dasar. Makalah disampaikan pada
rakor Direktorat TK SD di Banjarmasin Kalimantan Selatan
_______. 2004. Olimpiade Sains Nasional: Matematika Sekolah Dasar. Makalah
disampaikan pada rakor Direktorat TK SD di Pontianak Kalimantan Barat
_______. 2005. Olimpiade Sains Nasional (OSN) Bidang Matematika tingat Sekolah
Dasar. Makalah disampaikan pada rakor Direktorat TK SD di Medan Sumatra
Utara.
_______, dkk. 2006. Buku Referensi Maju dengan Olimpiade Matematika. Jakarta :
Karya Duta Wahana
Naskah Undang-undang No. 20 tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional
©FMIPA Undiksha
187
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
Naskah Peraturan Pemerintah No. 19 tahun 2005 tentang Standar Nasional Pendidikan
Nurkencana dan Sunartana. 1992. Evaluasi Hasil Belajar. Surabaya : Usaha Nasional
online material available at: http://www.mysoly.org/elmentary/index.htm
Puja Astawa, I W. 2004. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika
Propinsi Bali dalam Rangka OSN 2004. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas
Disdik Bali
---------. 2005. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika Propinsi Bali
dalam Rangka OSN 2005. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas Disdik Bali
--------. 2006. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika Propinsi Bali
dalam Rangka OSN 2006. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas Disdik Bali
--------. 2006b. Pengembangan Model Pembinaan Olimpiade Matematika Sekolah
Dasar di Provinsi Bali. Laporan penelitian. tidak diterbitkan. Lembaga
Penelitian Univesitas Pendidikan Ganesha
--------. 2007. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika Propinsi Bali
dalam Rangka OSN 2007. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas Disdik Bali
--------. 2008. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika Propinsi Bali
dalam Rangka OSN 2008. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas Disdik Bali
--------. 2006b. Pengembangan Model Pembinaan Olimpiade Matematika Sekolah
Dasar di Provinsi Bali. Laporan penelitian. tidak diterbitkan. Lembaga
Penelitian Univesitas Pendidikan Ganesha
188
©FMIPA Undiksha
WAH AN A
M ATEM ATI KA D AN SAI N S
Jurnal Matematika, Sains, atau Pembelajarannya
Volume 6 No. 12, Oktober 2009
M ODEL D I N AM I K UN TUK EPI D EMI PERTUSSI S
DEN GAN V AKSI N TAK SEM PURN A
PEROM BAKAN ZAT W ARNA REAKTI F AZ O SECARA AN AEROB
M EN GGUN AKAN KON SORSI UM BAKTERI H ASI L I SOLASI D ARI
LUM PUR LI M BAH TEKSTI L
ADSORPSI I ON Cr 3 + OLEH KULI T KACAN G TAN AH ( Ar achis
h ypoga ea L.)
I N TERVEN SI ERGON OM I D ALAM PEM BELAJARAN SAI N S
M EN GURAN GI KELUHAN M USKULOSKELETAL SI SW A SD 1
SAN GSI T KECAM ATAN SAW AN KABUPATEN BULELEN G
I M PLEM EN TASI PEM BELAJARAN M EN GGUN AKAN M EDI A
KOM PUTER UNTUK M EN I N GKATKAN KUALI TAS BELAJAR KI M I A
SI SW A KELAS X SM AN 4 SI N GARAJA
KEM AM PUAN PEM ECAHAN M ASALAH DAN KOM UN I KASI
M ATEM ATI KA PESERTA OLI M PI AD E M ATEM ATI KA SEKOLAH
DASAR DI PROV I NSI BALI
WMS
Vol. 6
No. 12
Hlm.
97 - 188
Singaraja
Oktober
2009
ISSN
1858 - 0629
Diterbitkan oleh
FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
KEM AM PUAN PEM ECAH AN M ASALAH D AN KOM UN I KASI
M ATEM ATI KA PESERTA OLI M PI ADE M ATEM ATI KA SEKOLAH
DASAR DI PROV I N SI BALI
I Wayan Puja Astawa
Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Ganesha
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kemampuan pemecahan
masalah dan kemampuan komunikasi matematika peserta olimpiade
matematika Sekolah Dasar di provinsi Bali. Penelitian ini merupakan
penelitian reflektif-ekploratif terhadap 65 orang siswa Sekolah Dasar di
Provinsi Bali yang mengikuti kompetisi tingkat provinsi dari tahun 2004
sampai 2008. Pemenang olimpiade tingkat provinsi berhak mewakili Bali
dalam Olimpiade Sains Nasional (OSN) dalam bidang matematika. Hasil
penelitian menunjukkan bahwa kemampuan pemecahan masalah
matematika peserta tergolong baik dengan rerata 71,71 dan simpangan
baku sebesar 7,46. Kemampuan komunikasi matematika juga tergolong
baik dengan rerata 65,40 dan simpangan baku sebesar 4,99. Kemampuan
pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi seperti ini secara
empiris mampu menghasilkan medali perak dan perunggu dalam OSN
setiap tahun. Peningkatan kemampuan pemecahan masalah dan
komunikasi matematika masih diperlukan sampai berkategori sangat baik
untuk dapat mencapai hasil yang maksimal dalam ajang OSN.
Kata-kata kunci : pemecahan masalah, komunikasi matematika,
olimpiade matematika SD
Abstract
The objective of this research was to know the problem solving and
communication abilities of elementary students who were participated in
mathematics Olympiad in Bali province. It was a reflective-explorative
research on 65 elementary school students who followed a competition at
province level from the year 2004 until 2008. The winner of this
competition has a privilege to be a team member of Natioal Science
Olympiad on matematics from Bali. The result of the research showed
that the ability of problem solving was good with average of 71.71 and
standard deviation of 7.46. In addition, the ability of communiction wass
also good with average of 65.40 and standar deviation of 4.99.
©FMIPA Undiksha
173
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
Empirically, with these abilities, contestants of national science
olympiade in mathematics for elemantary school students from Bali
successed in obtaining silver and bronze medals every year. Increasing
the problem solving and comunication skill in mathematics is still needed
until excellent category in order to get a maximum result in national
science olympiade in mathematics.
Key words : problem solving, comunication, elemantary school mathematics
olympiad
1. Pendahuluan
Peningkatan mutu pendidikan merupakan salah satu poin penting yang
diamanatkan oleh Undang-undang (UU) Republik Indonesia No 20 tahun 2003 tentang
sistem pendidikan nasional. Hal ini sangat mudah dipahami karena mutu pendidikan
akan menjadi ujung tombak untuk meningkatkan daya saing bangsa (nation
competitiveness) dalam menghadapi persaingan global. Mutu pendidikan dalam berbagai
bidang ilmu menjadi hal yang mutlak untuk ditingkatkan karena berbagai indikator
menunjukkan mutu pendidikan di Indonesia masih sangat rendah seperti indeks
pengembangan sumberdaya manusia (Human Development index), TIMSS study,
maupun laporan berbagai hasil ujian akhir baik di sekolah maupun ujian nasional.
Sejalan dengan amanat UU no. 30 tahun 2003 tersebut, mutu pendidikan juga
digariskan dalam peraturan pemerintah (PP) no 19. tahun 2005 tentang standar nasional
pendidikan. Dalam PP ini ditegaskan tentang pentingnya mutu pendidikan dan sistem
penjaminannya yang memuat hal-hal yang berkaitan dengan standarisasi pendidikan
secara nasional. Secara nasional harus ada acuan tentang standar isi, standar proses,
standar pengelolaan, standar keuangan dan standar lainnya yang berkaitan dengan proses
pendidikan sebagai suatu sistem. Penetapan standar secara nasional dimaksudkan
sebagai acuan mutu pengembangan pendidikan di daerah-daerah sehingga dapat
dibandingkan antara satu daerah dengan daerah yang lainnya.
Berbagai upaya peningkatan mutu pendidikan telah dilakukan pemerintah RI.
Salah satunya adalah menyediakan sarana atau wadah kompetisi atau lomba berbagai
mata pelajaran dari berbagai jenjang pendidikan (Sekolah Dasar (SD), Sekolah
Menengah Pertama (SMP), dan Sekolah Menengah Atas (SMA)) secara nasional yang
174
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
dinamai Olimpiade Sains Nasional (OSN) yang sudah dimulai sejak tahun 2002. Khusus
untuk siswa SD, mata pelajaran yang dikompetisikan adalah matematika dan IPA serta
mulai dilaksanakan tahun 2003 sejak OSN ke-2 di kota Balikpapan propinsi Kalimantan
Timur.
Pada jenjang OSN matematika SD, keikutsertaan seluruh daerah di Indonesia
merupakan suatu kewajiban karena pemerintah pusat membuat kebijakan agar setiap
propinsi menempatkan wakil-wakil siswanya untuk mengikuti OSN. Hal ini bertujuan
untuk meningkatkan pemerataan mutu pendidikan ke seluruh wilayah Indonesia.
Sebagai salah satu propinsi di Indonesia, Bali telah mengirim siswa-siswa SD dalam
OSN matematika sejak di Balikpapan tahun 2003 sampai dengan OSN matematika SD
tahun 2008 di Makasar. Prestasi siswa SD dari provinsi Bali di OSN matematika cukup
baik dengan memperoleh 6 perak dan 6 perunggu (Puja Astawa, 2003, 2004, 2005,
2006a, 2007, 2008) Persentase siswa yang mampu memperoleh medal/juarai pada OSN
sebesar 85,7% (42,85% memperoleh medaliperak dan 42,85% memperoleh medali
perunggu). Keberhasilan meraih medali ini tergolong cukup tinggi dengan sebaran yang
cukup merata. Akan tetapi, peserta OSN matematika SD dari Bali belum mampu meraih
prestasi tertinggi (belum memperoleh medali emas). Hal ini perlu ditelusuri agar akar
permasalahan yang menjadi penghambat keberhasilan memperoleh medali emas dapat
diidentifikasi.
2. Kajian Literatur
Tipe Soal Olimpiade
Soal-soal olimpiade matematika SD disusun untuk menguji kemampuan siswa
untuk menyelesaikan masalah matematika yang tidak rutin (Muchlis, A, 2004). Hal ini
berarti bahwa siswa dituntut untuk menggunakan seluruh kemampuan matematika yang
telah diperoleh di sekolah secara kreatif untuk menyelesaikan soal-soal matematika.
Keberhasilan siswa dalam menyelesaikan soal-soal tidak rutin tergantung dari kreasi dan
inovasi mereka dalam menerjemahkan dan merencakan pemecahan masalah/soal-soal.
Soal-soal yang dilombakan dikategorikan menjadi 3 kategori yaitu soal isian singkat,
©FMIPA Undiksha
175
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
soal uraian, dan soal eksplorasi Tiga contoh berikut merupakan contoh soal OSN yang
diambil dari Muchlis A, dkk, 2006).
Contoh 1. Soal isian singkat
Bilangan X adalah sebuah pecahan. Jika pembilang X ditambah 3 maka diperoleh
pecahan baru 2/3 . Jika penyebut X dikurangi 1 maka diperoleh pecahan baru 1/2 .
Tentukan X.
Solusi yang diharapkan
Pecahan yang penyebutnya dikurangi 1 akan menjadi pecahan
1
1
diantaranya adalah ,
2
3
2 3 5 6 7 8
, ,
,
,
,
dan lain-lain. Dari pecahan-pecahan tersebut yang memenuhi
5 7 11 13 15 17
jika pembilangnya ditambah 3 menghasilkan pecahan
2
7
adalah
.
3
15
Contoh 2. Soal uraian
Sekelompok siswa akan menggunakan sejumlah komputer. Jika setiap komputer
digunakan oleh dua orang, ada tiga siswa yang tidak mendapat komputer. Sebaliknya,
jika setiap komputer digunakan oleh tiga orang, ada tiga komputer yang tidak terpakai.
Berapa banyak siswa yang akan mengunakan komputer tersebut?
Solusi yang diharapkan:
Persoalan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Pada gambar di sebelah kiri, 6 siswa dari 3 komputer pertama dan 3 siswa yang tidak
mendapat komputer didistribusikan seorang-seorang ke komputer lain yang semula
masing-masing digunakan oleh 2 orang siswa seperti pada gambar di sebelah kanan.
Dengan demikian, 9 siswa akan mengisi 9 komputer sehingga masing-masing komputer
176
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
dihadapi oleh 3 orang siswa. Jadi, siswa yang menggunakan komputer adalah 9 x 3
orang = 27 orang dan banyak komputer adalah 12 buah.
Contoh 3. Soal eksplorasi
Pada Gambar 2(a), ABCD adalah sebuah persegi. Pada papan berpaku 4×4 hanya dapat
dibentuk dua persegi yang kongruen dengan persegi ABCD seperti ditunjukkan pada
Gambar 2(b).
a. Pada papan berpaku 5×5, berapa banyak persegi yang kongruen dengan
persegi ABCD yang dapat dibentuk?
b. Pada papan berpaku 6×6, berapa banyak persegi yang kongruen dengan
persegi ABCD yang dapat dibentuk ?
c. Berapa banyak persegi yang kongruen dengan persegi ABCD yang dapat
dibentuk pada papan berpaku 10 × 10?
Solusi yang diharapkan:
a. pada papan berpaku 5 x 5, ada 8 persegi yang kongruen dengan ABCD
b. pada papan berpku, 6 x 6 ada 18 persegi
c. dari a dan b diperoleh informasi bahwa untuk papan 5 x 5 diperoleh persegi kongruen
sebanyak (2x2) + (2x2) = 8, untuk papan 6 x 6 diperoleh persegi kongruen sebanyak
©FMIPA Undiksha
177
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
(3x3) + (3x3) = 18,sehingga untuk papan 10 x 10, banyak persegi menjadi (7x7) +
(7x7) = 98
Stategi Pemecahan Masalah
Pemecahan-masalah merupakan bagian dari kurikulum matematika yang sangat penting
karena dalam proses pembelajaran maupun penyelesaian siswa dapat memperoleh
pengalaman menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk
diterapkan pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Pentingnya pemecahan
masalah dalam matematika belum dijadikan sebagai kegiatan utama dalam pembelajaran
guru. Padahal, di negara-negara maju seperti Amerika Serikat dan Jepang kegiatan
tersebut dapat dikatakan merupakan inti dari kegiatan pembelajaran matematika sekolah
(Erman Suherman dkk., 2003)
Menurut
Polya
(1957),
pemecahan
masalah
memuat
empat
langkah
penyelesaian, yaitu memahami masalah, merencanakan penyelesaian, menyelesaikan
masalah sesuai rencana, dan melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah
yang telah dikerjakan. Keempat langkah pemecahan masalah ini merupakan satu
kesatuan yang dapat dikembangkan menjadi suatu keterampilan. Salah satu cara untuk
mengembangkan kemampuan anak dalam pemecahkan masalah adalah melalui
memberikan pengalaman pemecahan masalah yang memerlukan strategi berbeda-beda
dari satu masalah ke masalah lainnya. Strategi-strategi pemecahan masalah yang sering
digunakan adalah Strategi Act It Out, Membuat Gambar atau Diagram, Menemukan
Pola, Membuat Tabel, Memperhatikan semua Kemungkinan Secara Sistematik, Tebak
dan Periksa (Guess and Check), Strategi Kerja Mundur, Menggunakan Kalimat
Terbuka, Menyelesaikan Masalah yang Mirip atau Masalah yang Lebih Mudah, dan
Mengubah Sudut Pandang. Untuk memperkenalkan suatu strategi tertentu kepada siswa,
diperlukan perencanaan yang matang. Sulit bagi guru untuk dapat memperkenalkan
setiap strategi pemecahan masalah dalam waktu yang terbatas dan bagi siswa yang
sudah belajar strategi tertentu, masih memerlukan waktu untuk memperoleh rasa
percaya diri dalam menerapkan strategi yang sudah dipelajarinya
Selain kemampuan pemecahan masalah, kemampuan komunikasi matematika juga
penting dalam OSN matematika. Kemampuan komunikasi matematika menggambarkan
178
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
kemampuan mengorganisasi hasil pemikiran menjadi paparan yang jelas dengan
menggunakan bahasa dan simbul matematika yang baik dan benar. Kemampuan
komunikasi matematika juga akan menunjang kemampuan pemecahan masalah karena
akan menggambarkan aspek-aspek kemampuan pemecahan masalah seperti memahami
masalah, memiliki rencana penyelesaian, keterampilan melaksanakan rencana yang
dibuat, dan melakukan pengecekan hasil. Kemampuan pemecahan masalah akan terasa
utuh dan padu lewat komunikasi matematika yang baik. Keterkaitan yang erat soal-soal
OSN dengan pemecahan masalah dan komunikasi matematika membuat perlunya
mengetahui kemampuan siswa peserta olimpiade matematika SD di Bali berkaitan
dengan kedua kemampuan tersebut. Pengetahuan ini akan berguna untuk mencari
permasalahan berkaitan dengan belum maksimalnya prestasi dalam ajang yang sama di
tingkat nasional.
3. Metode
Penelitian ini merupakan penelitian survei yang berkategori reflektif eksploratif
dengan subjek penelitiannya adalah semua siswa Sekolah Dasar di provinsi Bali yang
memenuhi syarat sebagai peserta olimpiade matematika dari tahun 2004 sampai tahun
2008. Pemilihan peserta olimpiade dari seluruh kabupaten dan kotamadya yang ada di
Bali menggunakan metode pengambilan sampel dengan teknik purposive dan kuota
sampling. Teknik purposive digunakan untuk memilih siswa-siswa yang mempunyai
kemampuan tinggi dalam bidang matematika dan teknik kuota sampling digunakan
untuk memberi perimbangan pada seluruh daerah kabupaten dan kota di Bali. Subjek
penelitian seluruhnya berjumlah 65 orang.
Data yang diperlukan berupa kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan
komunikasi matematika. Untuk mengumpulkan data tersebut di atas digunakan tes yang
mengacu pada soal-soal standar OSN. Kemampuan pemecahan masalah meliputi empat
komponen pemecahan masalah yang dikemukakan oleh Polya seperti kemampuan
memahami masalah, kemampuan membuat rencana penyelesaian, kemampuan
melaksanakan rencana yang dibuat, dan kemampuan mengecek kembali hasil yang
didapatkan. Kemampuan komunikasi matematika berkaitan dengan kemampuan
©FMIPA Undiksha
179
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
menggunakan
informasi,
konsep,
dan
representasi
matematika,
kemampuan
menyampaikan argumen secara tertulis, dan kemampuan membuat kesimpulan.
Data dianalisis secara deskriftif kualitatif dengan menentukan rata-rata skor
kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi matematika serta mengomparasi
dengan acuan patokan untuk menentukan kategorinya. Rata-rata dihitung dengan rumus
n
xi
i 1
X
n
dan selanjutnya dikomparasi dengan kriteria penggolongan berdasarkan
acuan patokan berikut:
X
85% SM
sangat baik
70% SM
X < 85% SM
baik
55% SM
X < 70% SM
cukup
40% SM
X < 55% SM
kurang
X < 40% SM
sangat kurang
(Modifikasi dari Nurkencana dan Sunartana, 1992)
dengan X menyatakan rerata kemampuan pemecahan masalah dan SM merupakan skor
maksimal dari tes kemampuan pemecahan masalah bila semuanya dijawab dengan
benar.
4. Hasil dan Diskusi
Hasil Penelitian
Hasil penelitian berupa kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan
komunikasi matematika disajikan pada tabel berikut
Tahun
2004
2005
2006
2007
2008
2004-2008
PM
68,55 (9,12)
75,30 (6,02)
73,20 (7,05)
75,20 (6,14)
70,20 (5,06)
71,71 (7,46)
Kriteri
Cukup
Baik
Baik
Baik
Baik
Baik
KM
63,00 (3,68)
67,60 (2,37)
66,50 (4,74)
64,00 (6,58)
67,33 (5,63)
65,40 (4,99)
Kriteri
Cukup
Cukup
Cukup
Cukup
Cukup
Cukup
Catatan. PM = Pemecahan Masalah, KM = Komuniksi MatematikaNilai dalam
kurung menyatakan simpangan baku.
180
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
Berdasarkan tabel di atas dapat diketahui bahwa secara umum kemampuan
pemecahan masalah peserta OSN berkategori baik dengan rata-rata kemampuannya
sebesar 71,71 (dari skor total 100) dan simpangan baku sebesar 7,46. Kemampuan
komunikasi
matematika
peserta
OSN
berkategori
cukup
dengan
rata-rata
kemampuannya sebesar 65,40 (dari skor total 90) dan simpangan baku sebesar 4,99
Kemampuan pemecahan masalah tersebut bervariasi dari tahun ke tahun dengan
sebaran rata-rata kemampuannya dari 68,55 sampai dengan 75,30 yang berarti berkisar
antara kemampuan yang cukup dan kemampuan yang baik. Komparasi secara visual
kemampuan pemecahan masalah matematika dari tahun 2004 sampai tahun 2008 dapat
dilihat pada diagram kotak garis pada gambar 1. Kemampuan komunikasi matematika
juga bervariasi dari tahun ke tahun dengan sebaran rata-rata kemampuannya dari 63,00
sampai dengan 67,60 yang berarti berkisar antara kemampuan yang cukup. Komparasi
secara visual kemampuan komunikasi matematika dari tahun 2004 sampai tahun 2008
dapat dilihat pada diagram kotak garis pada gambar 2.
Boxplots of PM by Tahun
Boxplots of KM by Tahun
85
75
80
70
75
65
70
60
65
55
60
50
Tahun
Tahun
Gambar 1. Diagram kotak garis Kemampuan
pemecahan masalah tahun 2004 – 2008
Gambar 2. Diagram kotak garis Kemampuan
komunikasi matematika tahun 2004 – 2008
Pembahasan
Hasil analisis data menunjukkan bahwa kemampuan pemecahan masalah peserta
olimpiade matematika sekolah dasar di provinsi Bali secara umum tergolong baik
dengan rerata sebesar 71,71 dan simpangan baku sebesar 7,46. Akan tetapi kalau
dicermati dari variasi kemampuan individual maka terdapat gambaran bahwa
©FMIPA Undiksha
181
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
kemampuan tersebut tidak merata. Variasi kemampuan ini dapat dibaca dari standar
deviasi skor kemampuan pemecahan masalah di sekitar reratanya yang cukup besar.
Empat kemampuan pemecahan masalah yang dikemukakan oleh Polya merupakan
satu kesatuan kemampuan yang tidak terpisahkan sebagai wujud yang utuh dalam
menyelesaikan suatu masalah. Secara umum peserta OSN matematika di provinsi Bali
mampu memahami masalah dengan baik yang dapat dilihat pada kemampuannya
menginvestigasi kecukupan informasi yang diberikan dalam masalah dan apa yang
hendak dipecahkan dalam masalah. Pemahaman terhadap masalah yang baik belum
sepenuhnya didukung oleh pengetahuan tentang strategi-strategi pemecahan masalah
yang dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah. Sebagian kecil peserta bahkan
tidak mempunyai strategi menyelesaikan masalah yang diberikan. Hal ini menyebabkan
lemahnya kemampuan perencanaan terhadap pemecahan masalah dari sebagian peserta.
Kemampuan melaksanakan rencana yang telah dibuat bagi peserta yang mempunyai
strategi penyelesaian terhadap masalah sangat baik. Mereka secara umum mampu
melakukan manipulasi aljabar, menghubungkan fakta-fakta dasar, memanfaatkan
informasi yang tersedia dalam menuntaskan penyelesaian strategi yang dipilih dengan
prosedur yang benar. Walaupun demikian, sebagian kecil masih ada yang gagal
menyelesaikan strategi yang telah mereka pilih. Hasil yang diperoleh dari menyelesaikan
strategi pemecahan masalah/perencanaan pemecahan masalah umumnya merupakan
solusi dari persoalan yang diberikan. Sebagian besar peserta menyelesaikan masalah
yang diberikan berhenti pada penyelesaian strategi pemecahan masalah yang digunakan.
Mereka jarang mengecek kembali hasil yang telah diperoleh. Hal ini tergambar dari
beberapa persoalan yang diberikan yang solusinya merupakan modifikasi lanjutan dari
hasil pelaksanaan terhadap strategi yang digunakan. Akibatnya pada beberapa
permasalahan yang semestinya mampu dijawab benar tetapi tidak memperoleh hasil
sempurna akibat tidak menjawab apa yang ditanyakan.
Sejalan dengan kemampuan pemecahan masalah, kemampuan komunikasi
matematika peserta olimpiade matematika di provinsi Bali juga tergolong baik dengan
rerata 65,40 dan standar deviasi 4,99. Variasi kemampuan komunikasi matematika
secara individual juga masih tergolong tinggi. Hal ini mencerminkan bahwa kemampuan
182
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
komunikasi matematika peserta tidak merata bahkan ada yang tergolong dalam
kualifikasi yang sedang-sedang saja.
Dalam mengomunikasikan gagasan penyelesaian masalah, peserta mampu
menggunakan informasi yang diberikan pada masalah, menggunakan konsep yang benar
dalam menyelesaikan masalah, dan menggunakan representasi matematika yang tepat.
Akan tetapi; kemampuan menyampaikan argumen secara tertulis dan kemampuan
membuat kesimpulan masih perlu ditingkatkan
Variasi kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi terhadap
suatu permasalahan yang penyelesaiaannya diperoleh peserta juga beragam. Pada
beberapa masalah kedua kemampuan ini ditampilkan dengan sangat baik tetapi pada
beberapa masalah yang lain hanya sebagian dari kedua kemampuan ini dapat
ditampilkan dengan baik. Kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi
sangat baik terlihat pada kasus berikut.
Penyelesaian di atas merupakan penyelesaian terhadap permasalahan berikut “Suatu
barang harganya dinaikkan 10% dari harga awal kemudian diturunkan 10%. Terhadap
harga awal, Apakah harga akhir naik, turun atau tetap? Hitung prosentase perubahan
harga tersebut!”. Pemecahan masalah yang diberikan di sini sangat komprehensif
dengan pemahaman masalah yang sangat baik, perencanaan dengan strategi
menggunakan hubungan-hubungan aljabar dengan menggunakan konsep-konsep
matematika yang benar. Pengerjaan secara aljabar sangat baik sehingga mampu
memperoleh hasil yang diharapkan dan mampu menjawab masalah yang diberikan
dengan benar. Pengecekan kembali juga sangat tegas dilakukan di sini. Pemamparan
pemecahan masalah yang dilakukan juga sangat jelas dengan memanfaatkan bahasa
matematika dan reprsentasi aljabar yang tepat.
©FMIPA Undiksha
183
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
Kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi matematika yang
belum sempurna dapat dilihat dari solusi yang diberikan peserta terhadap permasalahan
berikut. “Seorang penjual tepung ingin menimbang 7 gram tepung. Akan tetapi dia tidak
mempunyai batu timbangan yang beratnya 7 gram. Ia hanya memiliki batu timbangan
yang beratnya 3 gram, 5 gram, 6 gram, dan 9 gram. Bagaimana cara penjual tepung itu
memperoleh tepung seberat 7 gram?” Berikut salah satu solusi
Kemampuan pemecahan masalah dalam hal ini cukup baik dengan menggunakan logika
yang benar. Strategi pemecahan masalah dengan menggunakan gambar juga sangat baik.
Akan tetapi kejelasan dalam menyelesaikan strategi yang dipilih masih kurang. Hal ini
berakibat pada kemampuan pemecahan masalah secara komprehensif. Kemampuan
komunikasi matematika juga belum begitu baik. Penggunaan bahasa matematika dan
representasi cukup baik akan tetapi dalam menyajikan kesimpulan masih kurang
sehingga belum mampu memberikan gambaran utuh terhadap prosedur kerja dari
strategi yang digunakan dan juga belum mampu menggambarkan penyelesaian yang
tepat terhadap permasalahan.
184
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
Kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi matematika yang kurang
seperti pada permasalahan berikut.”Dua bersaudara masing-msing berumur 5 dan 8
tahun. Dalam berapa tahun lagi perbandingan umur mereka menjadi 3 : 4?”.
Pada penyelesaian ini, keempat langkah pemecahan masalah dari Polya tidak
tergambarkan secara jelas. Demikian pula dalam mengomunikasikan gagasan
matematikanya.
Penggunaan
bahasa
matematika
maupun
representasi
dalam
penyampaian ide matematika sangat kurang. Kesimpulan yang ditarik dari penyelesaian
yang ditampilkan tidak mempunyai dasar yang kuat karena argumen-argumen yang
dikemukakan tidak menunjukkan kohesivitas gagasan matematika.
Kualitas kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi matematika peserta
olimpiade matematika SD seperti di atas secara empiris mampu mengantarkan peserta
dari Bali untuk memperoleh juara di tingkat nasional. Hal ini dibuktikan dari tahun ke
tahun sejak tahun 2003 selalu memperoleh medali baik perak maupun perunggu. Hal ini
sangat rasional dan menguatkan praduga sebelumnya bahwa tingkat kemampuan peserta
sebelum berlomba dalam ajang olimpiade sains nasional sangat menentukan
keberhasilan mereka dalam merebut medali. Hal ini disebabkan karena soal-soal
matematika dalam olimpiade sains nasional sebagian besar merupakan soal-soal yang
berkategori pemecahan masalah yang memerlukan kreativits tinggi. Keberhasilan yang
telah diperoleh dengan kondisi kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi seperti
diatas bukanlah satu-satunya faktor penentu keberhasilan. Kondisi kemampuan
pemecahan masalah dan komunikasi matematika kompetitor dari daerah lain juga turut
berperan.
Perebutan medali dalam ajang OSN tentu saja sangat ketat karena para peserta
lomba telah mempersiapkan diri dengan baik. Apalagi para peserta merupakan wakil-
©FMIPA Undiksha
185
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
wakil provinsi yang telah diseleksi dengan ketat dan memperoleh pembinaan dalam
jangka waktu tertentu. Hasil seleksi dan pembinaan seperti ini tentu saja melahirkan
kualitas peserta dengan kemampuan pemecahan masalah yang baik dan bahkan sangat
baik. Kompetisi diantara peserta dengan kualifikasi seperti ini tentu cenderung
dimenangkan oleh peserta yang mempunyai kualifikasi kemampuan pemecahan masalah
yang sangat baik. Argumentasi ini dapat memberikan justifikasi berkaitan dengan belum
berhasilnya peserta dari Bali menjadi yang terbaik (memperoleh medali emas) karena
kemampuan pemecahan masalah mereka belum berkategori sangat baik.
Kemampuan pemecahan masalah yang baik dengan dukungan kemampuan
komunikasi yang baik pula tentu mempengaruhi kemampuan bersaing untuk
memeperebutkan medali dalam ajang olimpiade sains nasional. Dalam ajang kompetsisi
seperti itu kemampuan pemecahan masalah dan komunikasi matematika yang baik atau
bahkan sangat baik akan memungkinkan membawa hasil yang memuaskan sehingga
mampu memperoleh prestasi puncak. Hasil-hasil OSN matematika peserta dari Bali
yang diperoleh selama ini menunjukkan perlunya meningkatkan kemampuan pemecahan
masalah dan kemampuan komunikasi matematika calon peserta agar mencapai
kualifikasi sangat baik sehingga dapat memperbesar peluang menjadi juara.
5. Simpulan dan Saran
Berdasarkan hasil analisis data yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa
kemampuan pemecahan masalah matematika peserta olimpiade matematika SD di
provinsi Bali tergolong baik dengan rerata 71,71 dan simpangan baku 7,46 dan
kemampuan komunikasi matematika mereka tergolong sedang dengan rerata 65,40 dan
simpangan baku 4,99. Kemampuan pemecahan masalah yang baik namun belum
didukung oleh kemampuan komunikasi yang baik menjadi salah satu faktor penyebab
kegagalan peserta dari Bali memperoleh medali emas dalam olimpiade sains nasional
bidang matematika.
Kemampuan pemecahan masalah dan kemampuan komunikasi matematika
peserta olimpiade matematika SD dari provinsi Bali mutlak harus terus ditingkatkan agar
mampu memperoleh prestasi tertinggi dalam ajang OSN matematika. Peningkatan
186
©FMIPA Undiksha
Kemampuan Pemecahan Masalah dan Komunikasi Matematika Peserta Olimpiade... I Wayan Puja Astawa
kemampuan pemecahan masalah hendaknya diawali dari proses pembelajaran di kelas
dengan menanamkan konsep-konsep matematika secara benar dilanjutkan dengan
melatih keterampilan pemecahan masalah. Peningkatan kemampuan komunikasi juga
harus ditingkatkan dengan jalan memberilkan latihan-latihan soal yang mengharapkan
siswa mengorganisasi pemikirannya dan menuliskannya dengan menggunakan bahasa
dan simbol matematika dengan baik dan benar. Melatih kemampuan komunikasi
matematika juga dapat dilakukan dengan memberi kesempatan siswa mempresentasikan
gagasannya atau membantah pendapat temannya dalam pembelajaran di kelas melalui
diskusi kelas.
6. Daftar Pustaka
Anonim. 2003. Olimpiade Matematika dan IPA Nasional Tingkat SD/MI.
Jakarta:Direktorat TK dan SD Dirjen Dikdasmen Depdiknas.
Anonim. 2004. Olimpiade Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Sekolah
Dasar/Madrasah Ibtidaiyah Tingkat Nasional. Jakarta:Direktorat TK dan SD
Dirjen Dikdasmen Depdiknas.
Anonim. 2005. Olimpiade Sains Nasional Tingkat SD/MI. Jakarta:Direktorat TK dan SD
Dirjen Dikdasmen Depdiknas.
Erman Suherman, dkk., 2002. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer.
Bandung : UPI
Muchlis, A. 2003. Olimpiade Matematika Sekolah Dasar. Makalah disampaikan pada
rakor Direktorat TK SD di Banjarmasin Kalimantan Selatan
_______. 2004. Olimpiade Sains Nasional: Matematika Sekolah Dasar. Makalah
disampaikan pada rakor Direktorat TK SD di Pontianak Kalimantan Barat
_______. 2005. Olimpiade Sains Nasional (OSN) Bidang Matematika tingat Sekolah
Dasar. Makalah disampaikan pada rakor Direktorat TK SD di Medan Sumatra
Utara.
_______, dkk. 2006. Buku Referensi Maju dengan Olimpiade Matematika. Jakarta :
Karya Duta Wahana
Naskah Undang-undang No. 20 tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional
©FMIPA Undiksha
187
WAHANA MATEMATIKA DAN SAINS Vol. 6 No. 12, 173 – 188, ISSN : 1858 - 0629
Naskah Peraturan Pemerintah No. 19 tahun 2005 tentang Standar Nasional Pendidikan
Nurkencana dan Sunartana. 1992. Evaluasi Hasil Belajar. Surabaya : Usaha Nasional
online material available at: http://www.mysoly.org/elmentary/index.htm
Puja Astawa, I W. 2004. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika
Propinsi Bali dalam Rangka OSN 2004. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas
Disdik Bali
---------. 2005. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika Propinsi Bali
dalam Rangka OSN 2005. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas Disdik Bali
--------. 2006. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika Propinsi Bali
dalam Rangka OSN 2006. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas Disdik Bali
--------. 2006b. Pengembangan Model Pembinaan Olimpiade Matematika Sekolah
Dasar di Provinsi Bali. Laporan penelitian. tidak diterbitkan. Lembaga
Penelitian Univesitas Pendidikan Ganesha
--------. 2007. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika Propinsi Bali
dalam Rangka OSN 2007. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas Disdik Bali
--------. 2008. Laporan Bulanan Pakar Pendidikan Bidang Matematika Propinsi Bali
dalam Rangka OSN 2008. tidak diterbitkan. Subdin Dikdas Disdik Bali
--------. 2006b. Pengembangan Model Pembinaan Olimpiade Matematika Sekolah
Dasar di Provinsi Bali. Laporan penelitian. tidak diterbitkan. Lembaga
Penelitian Univesitas Pendidikan Ganesha
188
©FMIPA Undiksha