UKBM X 3.2 4.2 1 notasi vektor

MTKP-3.2/4.2/2/3-1

1. Identitas

  a. Nama Mata Pelajaran : Matematika

  b. Semester : 2

  c. Materi Pokok : Pengertian dan Notasi Vektor

  d. Alokasi Waktu : 3 JP

  e. Kompetensi Dasar :

  3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

  

4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor,

panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

  f. Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menjelaskan definisi vektor, kesamaan vektor, notasi vektor dan vektor

posisi dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga dan dapat

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, kesamaan vektor, notasi vektor dan vektor posisi dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga , sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangakan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis, komunikasi, kolaborasi, kreativitas (4C).

  g. Materi Pembelajaran Buku Teks Pelajaran (BTP) : Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Yrama Widya halaman 198 - 256

  Petunjuk Umum

  1. Pastikan dan fokuskan apa yang akan anda pelajari hari ini.

  2. Baca dan pahami Pendahuluan (Apersepsi) untuk membantu anda memfokuskan permasalahan

yang akan dipelajari.

  3. Cari referensi/buku-buku teks yang terkait dengan topik/permasalahan yang anda hadapi.

  4. Jangan lupa browsing internet untuk menda- patkan pengetahuan yang up to date.

  5. Selalu diskusikan setiap persoalan yang ada

  6. Presentasikan hasil pemahaman anda agar bermanfaat bagi orang lain.

  Jika tahapan-tahapan telah kalian lewati, kalian boleh meminta tes formatif kepada Bp/Ibu guru sebagai prasyarat untuk melanjutkan ke UKBM berikutnya. Oke.?!

  h. Kegiatan Pembelajaran

  a) Pendahuluan Untuk mengingat dan memahami materi, cobalah amati gambar-gambar di bawah ini !.

  2

  1 Gambar 2. Bendera yang ditarik dari Gambar 1. Perahu yang akan menyeberang bawah ke atas sungai dipengaruhi oleh arus sungai, arah perahu, dan arah pergeseran perahu

  Sumber : Sumber :

  Cermati kejadian-kejadian pada gambar dan permasalahan di atas. Apakah ada hal-hal yang ingin Anda ketahui lebih jauh? Buatlah pertanyaan-pertanyaan berkaitan dengan kejadian pada tiap gambar yang disajikan dan tulislah pada bagian berikut. Pertanyaan-pertanyaan yang Anda buat tentu harus berkaitan dengan materi, dan keluasan pertanyaan dapat menunjukkan kemampuan Anda dalam aspek berpikir tingkat tinggi.

  ...................................................................................................... ............................................................... ................................................................................................................... ...................................................... ................................................................................................................... .....................................................

  ................................................................................................................... ...................................................... ................................................................................................................... ...................................................... .

  Setelah Anda sudah membuat pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan kejadian pada gambar, tunjukkanlah hasil Anda kepada guru Anda untuk mengetahui pemahaman Anda tentang pengertian, notasi, posisi yang berkaitan dengan vektor. Apabila belum paham, mintalah kepada guru atau rekan Anda untuk membimbing kembali terkait pengertian, notasi, posisi yang berkaitan dengan vektor. Perhatikan Persoalan Berikut !

  Apersepsi : Narasi, gambar, grafik, video, audio, dll (bersifat HOTS)

  Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi!

  Secara geometri vektor dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah. Nilai vektor dapat dinyatakan dengan panjang ruas garis dan arahnya dinyatakan dengan tanda panah. Pada gambar di bawah,

  AB → merupakan vektor dengan A sebagai titik pangkal (initial point) Andi dapat mengayuh Sepeda Air miliknya pada air yang tenang dengan kecepatan 20 km/jam. Namun hari ini ia ingin menyeberangi

sebuah sungai dengan kecepatan 10 km/jam ke arah kanannya.

  Pikirkan permasalahan berikut:

   Apa pengaruh arus sungai terhadap kecepatan dan arah dari Sepeda Air milik Andi?

   Bagaimana kita dapat menentukan kecepatan dan arah Sepeda Air Andi jika ia mencoba mengayuh sepeda airnya lurus menyeberangi sungai?

b) Peta Konsep

2. Kegiatan Inti

  Teman-teman, Kegiatan belajar ini berisikan kegiatan-kegiatan yang harus Anda kerjakan berdasarkan literasi, pengamatan, dan kinerja ilmiah. Ayo, ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi !!!

  Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah. Sedangkan besaran yang hanya mempunyai besar/nilai disebut skalar.

  Definisi

  1

  → dan B sebagai ujung (terminal point). Vektor juga dapat dinotasikan dengan sebuah

  AB → huruf, misalnya aatau . a

  Kegiatan

  Tuliskan lima besaran yang termasuk vektor dan lima besaran yang termasuk besaran skalar !

  Penyelesaian:

VEKTOR SKALAR

  1. ………………………………… 1. ……………………………… 2. ………………………………… 2. ……………………………… 3. ………………………………… 3. ……………………………… 4. ………………………………… 4. ……………………………… 5. ………………………………… 5. ………………………………

• Pengertian Vektor di R

2 Defnisi .

  Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor-vektor yang terletak pada bidang datar pengertian vektor yang lebih singkat adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah tertentu. Notasi Vektor Di R

2 Secara geometri, suatu vektor di R2 yang diwakili oleh ruas garis berarah dapat digambarkan pada

  bidang koordinat atau bidang kartesius, secara aljabar (non geometri), vektor di R2 dapat dinyatakan dengan matriks garis atau matriks kolom yang merupakan komponen-komponen vektor, yaitu (x,y) atau , dengan x sebagai komponen horizontal dan y sebagai komponen vertikal.

  Perhatikan gambar di samping!

  1. Koordinat kartesius = (x, y) = (4,2)

  a ⃗ x

  4

  2. Vektor kolom a = = atau

  ⃗ ( y ) ( 2 )

  vektor baris a = (x y) = (4, 2)

  ⃗

  3. Kombinasi linear vektor satuan i, j yaitu : Perhatikan gambar berikut , untuk kegiatan pembelajaran 2 !

  5 a = vektor kolom

  ⃗

  3 ( )

  = vektor baris

  (5 3)

  = 5i + 3j vektor basis

  Ayo Berlatih! Agar lebih memahami tentang vektor, ayo berlatih !

  Setelah Anda memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, coba diskusikan dengan teman Anda soal berikut ini :

  1. Sebutkan lima contoh aplikasi vektor dalam kehidupan sehari-hari!

  2. Dari kelima contoh tersebut, apa saja yang mempengaruhi besar dan arahnya, jelaskan jawaban Anda! Apabila Anda telah mampu menyelesaikan permasalahan di atas, maka Anda bisa melanjutkan pada kegiatan belajar berikutnya. Anda dapat memperkaya pemahaman dengan membaca materi pada Buku Teks Pelajaran yang sudah disediakan dan dapat menggunakan sumber lain (internet) sebegai pelengkap untuk memperkaya pemahaman konsep.

  Dengan menggunakan gambar vektor pada halaman 6. Tuliskan vektor-vektor tersebut dalam vektor kolom, vektor baris, dan vektor basis !

  Nama vektor Vektor kolom Vektor Baris Vektor Basis ⃗ b

  ⃗ c ⃗ d

  ⃗ e

  ⃗f

  Vektor Pada Ruang 3 ( Dimensi 3) Vektor di ruang 3 adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.

  Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk : Sebelum memperluas konsep vektor ke dalam tiga dimensi, kita harus mampu untuk mengidentifkasi titik-titik dalam sistem koordinat tiga dimensi. Kita dapat membangun sistem ini z yang memotong tegak lurus sumbu-x dan sumbu-z pada titik asal, seperti yang ditunjukkan Gambar 1. Jika kita memasangkannya, sumbu-sumbu tersebut akan membentuk tiga bidang koordinat: bidang- xy, bidang-xz, dan bidang-yz.

  Ketiga bidang koordinat ini akan memisahkan ruang menjadi delapan oktan. Oktan pertama berisi titik-titik yang semua koordinatnya positif. Dalam sistem tiga dimensi ini, suatu titik P dalam ruang ditentukan dengan tripel berurutan (x, y, z), dimana x, y, dan z dijelaskan sebagai berikut.

   x = jarak langsung dari bidang-yz ke P  y = jarak langsung dari bidang-xz ke P  z = jarak langsung dari bidang-xy ke P Beberapa titik ditunjukkan dalam Gambar 2 berikut. Secara umum koordinat kartesius p=(x , y , z)

  x

  1. vektor kolom p = y atau vector baris p = (x y z)

  ´ ´ z

  ( )

  2. kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p ´ = x + y + z

  ´i ´j ´k

  1

  dengan = , =

  1 , dan = ´k ´i ´j

  1 ( ) ( ) ( )

  = vektor satuan dalam arah OX

  ´i

  = vektor satuan dalam arah OY

  ´j

  = vektor satuan dalam arah OZ

  ´k Vektor posisi titik P adalah vektor yang berpangkal di titik dan berujung di titik

  O(0 , 0 , 0)

  , bila ditulis

  P(x , y , z)

  KESAMAAN DUA VEKTOR Defnisi 3

  Jika vektor direpresentasikan menggunakan anak panah, maka dua vektor sama jika vektor yang satu merupakan hasil pergeseran dari vektor yang kedua.

  Perhatikan jajar genjang ABCD diatas. Dengan menggunakan kesamaan vektor dapat diperoleh

  → → → → vektor sedangkan vektor .

  AB = DC AD = BC

  Definisi 4 Vektor Nol:

Vektor nol, dinotasikan dengan atau , adalah vektor dengan panjang nol.

  Vektor nol merupakan satu-satunya vektor yang tidak memiliki arah. = vektor di R2 dan = Vektor Negatif:

Perhatikan bahwa vektor dan saling sejajar dan memiliki panjang yang

sama namun memiliki arah yang berlawanan. Dalam hal ini, vektor

merupakan negatif dari dalam hal ini ditulis .

  Kegiatan Perhatikan gambar berikut Tentukan pasangan vektor-vektor yang i) Sejajar ii) Searah iii) Sama panjang Penyelesaian: i. ………………………………………………………………………. ii. ………………………………………………………………………. iii. ………………………………………………………………………. iv. ………………………………………………………………………. v. ………………………………………………………………………. vi. ……………………………………………………………………….

  Setelah Anda memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, coba diskusikan dengan teman Anda soal berikut ini : Gambar 1 Perhatikan gambar vektor diatas!

  1. Nyatakan vektor-vektor pada gambar 1, nyatakan ke dalam bentuk :

  a. Vektor kolom

  b. Vektor baris

  c. Vektor basis

  Agar lebih memahami kembali tentang vektor, ayo berlatih !

  Ayo Berlatih!

  Gambar 2

  2. Nyatakan titik- titik pada (gambar 2) dalam bentuk vector posisi

  3. Tentukan 2 vektor yang :

  −

  2

  a. searah dengan u ⃗ =

  ( 5 )

  3 b . sejajar dengan v =

  ⃗ ( 5 )

3. Penutup

  Bagaimana Anda sekarang ?

  Setelah Anda belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1,2, dan 3, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri Anda terhadap materi yang sudah Anda pelajari. Jawablah dengan jujur terkait dengan penguasaan materi pada UKBM MTKP-3.2/4.2/2/3-1 ini pada tabel berikut.

  Tabel Refeksi Diri Pemahaman Materi N

  Pertanyaan Ya Tidak o

  1. Apakah Anda telah memahami konsep tentang vektor?

  2. Dapatkah Anda menganalisis konsep vektor?

  3. Dapatkah Anda menjelaskan kembali pengertian vektor, notasi vektor, vektor posisi, dan kesamaan vektor?

  4. Dapatkah Anda menyelesaikan permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan vektor? Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2, dan 3 yang sekiranya perlu Anda ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi! Apabila Anda menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan kegiatan berikut !.

  Ukurlah diri Anda dalam menguasai materi pengertian vektor dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

  Nilai : …………………… …

  Lanjutkan kegiatan berikut untuk mengevaluasi penguasaan Konsep Anda terhadap materi pengertian vektor, notasi vektor, dan vektor posisi dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.

  Uji Kemampuan

  Agar dapat dipastikan bahwa Anda telah menguasai materi vektor, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja Anda masing-masing. i. Jika vektor a ´ = t – 2 + h dan vektor = (t + 2) + 2 + 3 , di mana vektor a ´ = – . Maka

  ´i ´j ´k ´b ´i ´j ´k ´b vektor a ´ dapat dinyatakan ….

  A.

  3´i+2 ´j+3 ´k B.

  5´i+2 ´j−3 ´k C.

  6´i−2 ´j+3 ´k D.

  − 6´i−2 ´j+3 ´k E.

  −´ i−2 ´j−3 ´k ´ ´

  ii. Titik A (1, 4, 2), B (3, 1, -1), C (4, 2, 2). Jika vektor = , vektor = , dan vektor =

  ´ a c ´ AB ´b CA ´b , maka vektor – adalah …. a ´ c ´

  A. (4, 5, 3)

  B. (-5, 5, 3)

  C. (-5, -4, 3)

  D. (-5, 3, 5)

  E. (-7, -3, 5) iii. Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui vektor a = dan vektor =

  2´i+ y ´j+3 ´k x ´i+4 ´j+z ´k ´b

  adalah dua vektor yang sama. Setelah menyelesaikan soal di atas dan mengikuti kegiatan belajar 1,2, dan 3, Bagaimana menurut pendapat Anda tentang penjelasan konsep vektor? Ini adalah bagian akhir dari UKBM MTKP-3.2/4.2 mintalah tes formatif kepada Guru Anda sebelum belajar ke UKB berikutnya. Sukses untuk Anda!!

  Anda Pasti